4.2 D´emonstration du Th´eor`eme 4.1
5.1.1 R´esultats connus pour l’´equation de Ginzburg-Landau complexe
L’´equation (CGL) entre dans une classe plus g´en´erale d’´equations de Ginzburg-Landau complexes
∂tu = γu + (a + iα)∆u − (b + iβ)f(u), (5.1)
o`u a, b, α, β et γ sont des param`etres r´eels tels que a, b > 0 et γ ≥ 0, et o`u la non-lin´earit´e f v´erifie certaines hypoth`eses de croissance. Typiquement, f est donn´ee par
f (u) = u|u|2σ, σ > 0.
L’´equation (CGL) est obtenue en prenant a = b = γ = κ, α = β = 1 et f (u) = u|u|2 (c’est-`a-dire σ = 1) dans (5.1) et en posant
u(t, x) = eitv(t, x),
o`u v est une solution de (5.1). Pour l’´equation (5.1), le probl`eme de Cauchy a ´et´e ´etudi´e par Ginibre et Velo dans les articles [56,57] dont [58] constitue une synth`ese. Afin de simplifier la pr´esentation des r´esultats de [56, 57] et surtout de les relier `a l’´equation (CGL), nous nous restreindrons au cas αβ ≥ 0 et
f (u) = u|u|2, soit σ = 1, cadre qui contient bien sˆur (CGL).
5.1. Introduction. 93 (1) Les m´ethodes de compacit´e, utilis´ees dans [56], permettent d’´etablir des r´esultats d’existence globale grˆace `a des estimations d’´energie et fournissent des solutions obtenues comme limites (faibles) de solutions d’´equations r´egularis´ees. Ces estimations d’´energie permettent ´egalement d’´etablir l’unicit´e des solutions sous des hypoth`eses suppl´ementaires sur les coefficients α, β, a et b. Celles-ci ne sont pas v´erifi´ees pour (CGL) `a cause de l’hypoth`ese κ << 1.
Il est `a noter que les solutions ainsi obtenues sont plus r´eguli`eres et davantage int´e- grables que la donn´ee initiale, ce qui constitue une caract´eristique bien connue de l’´equation parabolique. Citons par exemple le r´esultat suivant pour les espaces locaux.
Th´eor`eme 5.1 ( [56], Proposition 6.1 pour les espaces locaux). Soit u0 ∈ Hloc1 ∩ L4loc.
L’´equation (5.1) admet une solution globale v´erifiant
u ∈ C(R+, Hloc1 ∩ L4loc) ∩ L2loc(R+, Hloc2 ) ∩ L6loc(R+, L6loc)
telle que u(0) = u0.
Ce r´esultat ne fournit a priori pas de solution si la donn´ee initiale appartient seulement `
a Hloc1 . D’apr`es l’inclusion de Sobolev Hloc1 ⊂ L2loc∗, nous voyons toutefois que Hloc1 ⊂ L4loc d`es que (N − 2) ≤ 2. Ceci fait apparaˆıtre la notion de criticalit´e pour l’´equation (5.1). En fait, l’exposant σ = 1 est critique (respectivement sous ou sur-critique) si N = 4 (respectivement N < 4 ou N > 4) pour des donn´ees H1. De mani`ere g´en´erale, l’exposant σ ≥ 1 est critique en dimension N telle que (N − 2)σ = 2 pour des donn´ees H1.
(2) Les m´ethodes de contraction, d´ecrites dans [57], consistent `a chercher des solutions u en tant que points fixes de l’application
Φ(u) : t 7→ U(t)u0+
Z t
0 U (t − s)f(u(s)) ds, t ≥ 0,
o`u U (t) est le semi-groupe engendr´e par l’´equation lin´eaire correspondant `a (5.1). Ce dernier est repr´esent´e par la convolution en espace
U (t) = exp(γt + (a + iα)t∆) = S(t, ·)∗x,
o`u
S(t, x) = 1
(4π(a + iα)t)N2 exp γt −
|x|2 4(a + iα)t
, x ∈ RN.
Puisque a > 0, S(t) pr´esente exactement les mˆemes propri´et´es de d´ecroissance gaussienne que le noyau de l’´equation de la chaleur. En particulier, U (t) est continu sur les espaces de Lebesgue. Il reste alors `a d´efinir un espace norm´e sur lequel Φ soit une contraction. Par ailleurs, comme nous le verrons par la suite, il peut ˆetre int´eressant de chercher des solutions qui ne tendent pas vers z´ero `a l’infini. `A cet ´egard, les espaces uniform´ement locaux, introduits dans [57], s’av`erent tr`es ad´equats. La solution locale ainsi obtenue est ensuite prolong´ee en une solution globale `a l’aide des r´esultats globaux de la premi`ere partie. La m´ethode de point fixe dans ces espaces pr´esente l’avantage de fournir l’unicit´e de la solution pour de petites dimensions (cas sous-critique et critique N ≤ 4), mais ne permet pas d’´etablir de r´esultats en grande dimension (cas sur-critique N > 4).
94 Chapitre 5. Probl`eme de Cauchy
5.1.2 L’espace d’´energie associ´e `a l’´equation (CGL).
Revenons `a pr´esent `a (CGL). Notre ´equation se distingue des ´equations plus g´en´erales par l’existence d’une fonctionnelle coercive qui d´ecroˆıt le long du flot. Cette fonctionnelle, appel´ee ´energie de Ginzburg-Landau, est d´efinie pour un champ u : RN → C par
E(u) := Z RN h|∇u|2 2 + (1 − |u|2)2 4 i dx.
Il est par ailleurs connu que cette ´energie est conserv´ee par le flot de l’´equation de Gross- Pitaevskii. Il est donc naturel d’´etudier les questions d’existence et d’unicit´e dans l’espace d’´energie associ´e
E := {u ∈ Hloc1 (RN) t.q. E(u) < +∞}.
Chercher une solution u ∈ E revient en quelque sorte `a imposer que |u| tende vers un `a l’infini, contrairement aux r´esultats [56, 57] relatifs aux espaces globaux, pour lesquels les solutions sont nulles `a l’infini.
En petite dimension 1 ≤ N ≤ 4, le probl`eme de Cauchy dans l’espace d’´energie pour l’´equation de Gross-Pitaevskii a ´et´e trait´e par G´erard [55] puis par Gallo [54] pour des potentiels f (u) plus g´en´eraux. Le point de d´epart consiste `a d´ecomposer E de mani`ere judicieuse afin de le munir d’une structure d’espace m´etrique complet. Ceci permet ensuite de mettre sur pied une m´ethode de point fixe utilisant les estimations de Strichartz pour l’op´erateur de Schr¨odinger exp(it∆).
Th´eor`eme 5.2 ( [55]). Soit N = 2 ou N = 3. Pour tout u0 ∈ E, il existe une unique
solution u ∈ C(R, E) `a l’´equation de Gross-Pitaevskii avec donn´ee initiale u0, telle que
pour tout t ∈ R E(t) = E(u0). De plus, pour tout T > 0, le flot u07→ u, E → C([−T, T ], E)
est lipschitzien sur les sous-ensembles born´es de E.
En dimension N = 4, il existe δ > 0 tel que pour tout u0 ∈ E avec E(u0) ≤ δ, il
existe une unique solution globale u ∈ C(R, E) v´erifiant de plus ∇u ∈ L2
loc(R, L4(R4)) avec
donn´ee initiale u0, d’´energie constante et telle que u0 7→ u ait les propri´et´es de r´egularit´e
´enonc´ees plus haut.
Puisque nous disposons ´egalement des estimations de Strichartz pour l’op´erateur exp((κ+ i)t∆) lorsque t ≥ 0, ce r´esultat se transpose `a l’´equation complexe (CGL) en rempla¸cant R par R+. Grˆace `a l’effet r´egularisant de la partie parabolique, on peut en outre ´etablir
que la solution est r´eguli`ere `a temps positif.
En dimension sup´erieure, alors que les m´ethodes de point fixe ´echouent, on n’esp`ere pas obtenir de r´esultat d’unicit´e et on se restreint `a la question de l’existence globale. Comme nous le verrons plus tard, on a en toute dimension l’inclusion
E ⊂ Hloc1 (RN) ∩ L4loc(RN).
En particulier, le Th´eor`eme 5.1 ´etablit pour u0 ∈ E l’existence d’une solution globale
u ∈ C R+, Hloc1 (RN)
telle que u(0) = u0. Cependant, ce r´esultat n’assure pas que u reste
d’´energie finie.
En alliant les m´ethodes de point fixe de [55] et celles de compacit´e de [56], nous ob- tiendrons le premier r´esultat suivant.
5.1. Introduction. 95 Th´eor`eme 5.3. Soient N ≥ 1 et u0 ∈ E. L’´equation (CGL) admet une solution globale
u ∈ C R+, Hloc1 (RN)
telle que u(0) = u0 et u(t) ∈ E pour tout t ∈ R+. Cette solution
v´erifie en outre
∇u et (1 − |u|2) ∈ C R+, L2(RN), ∆u ∈ L2loc R+, L2(RN), ∂tu ∈ L2(R+× RN),
et enfin d dtE(u(t)) = − κ κ2+ 1 Z RN|∂tu| 2dx dans L1(R +).
La d´emonstration de ce th´eor`eme, qui sera pr´esent´ee `a la Section 5.2 de ce chapitre, comprend deux ´etapes. La premi`ere consiste `a ´etablir l’existence (et l’unicit´e) de la solution uη d’une suite d’´equations approchant formellement l’´equation (CGL) lorsqu’un param`etre
η tend vers z´ero. Dans la seconde ´etape, on montre que uη converge vers une fonction
v´erifiant les conclusions du Th´eor`eme 5.3.
5.1.3 Le cas sp´ecifique de la dimension deux et des donn´ees de type