3.4.1 Le cas de plusieurs points vortex.
La g´en´eralisation du Th´eor`eme 3.2 au cas de plusieurs points vortex n´ecessite en pre- mier lieu de supposer que toutes les intensit´es des points sont de mˆeme signe, ce qui assure l’existence d’une solution globale au syst`eme mixte Euler-points vortex. Cette hypoth`ese de signe sur les intensit´es permet de plus d’´etendre le Th´eor`eme 3.1 de la fa¸con suivante. Th´eor`eme 3.3. Soient ω0 ∈ L∞c (R2) `a support compact Λ0 inclus dans B(0, R0). Soient
z1, . . . , zldes points deux `a deux distincts et d1, . . . , dldes r´eels tous positifs. Soit (ωt, z1(t), . . . , zl(t))
une solution globale au syst`eme mixte Euler-points vortex. Il existe une constante C0, ne
d´ependant que de max |zi|, R0 et kω0kL∞, telle que
supp (ωt) ⊂ B(0, C0(1 + t)), ∀t ≥ 0.
D´emonstration. De mˆeme que dans la section pr´ec´edente, les Ck, k = 1, 2, . . . d´esignent des
constantes ne d´ependant que de max |zi|, R0 et kω0kL1∩L∞. Marchioro et Pulvirenti [28]
ont mis `a profit l’hypoth`ese de signe sur les intensit´es di pour ´etablir que
|zi(t)| ≤ C1(1 + t), ∀i = 1, . . . , l. (3.5)
Pour obtenir cette estimation, on consid`ere le moment d’inertie associ´e aux vortex I(t) =
l
X
i=1
di|zi(t)|2,
qui est une quantit´e conserv´ee lorsque ω ≡ 0. Dans le cas pr´esent, on a ˙ I(t) = 2 l X i=1 dizi·v(zi) + X j6=i djK(zi− zj)= 2 l X i=1 dizi· v(zi),
apr`es ´echange des indices i et j dans la double somme. Puisque les disont positifs, l’´egalit´e
pr´ec´edente m`ene `a | ˙I(t)| ≤ 2kvkL∞ l X i=1 di|zi(t)| ≤ C2 p I(t), d’o`u I(t) ≤ C3(1 + t)2,
et l’on obtient ainsi la borne (3.5) pour chacun des points vortex. Une fois cette borne obtenue, il ne reste plus qu’`a r´ecrire la preuve de la Proposition 2.2 du Chapitre 2 pour obtenir la conclusion du Th´eor`eme 3.3.
Dans le cas de plusieurs points, le centre et le moment d’inertie sont d´efinis par c = Z R2 xωt(x) dx + l X i=1 dizi(t), I = Z R2|x| 2ω t(x) dx + l X i=1 di|zi(t)|2,
un calcul rapide montre que ces quantit´es sont conserv´ees. Par cons´equent, lorsque toutes les intensit´es di sont de mˆeme signe que ω0, on obtient l’extension suivante du Th´eor`eme
3.4. Commentaires et extensions. 77 Th´eor`eme 3.4. Soient ω0 ∈ L∞c (R2) `a support compact et de signe constant positif.
Soient z1, . . . , zl des points deux `a deux distincts et d1, . . . , dl des r´eels tous positifs. Soit
(ωt, z1(t), . . . , zl(t)) une solution globale au syst`eme mixte Euler-points vortex. Il existe une
constante C0, ne d´ependant que de m0, i0, max |zi|, R0 et kω0kL∞, telle que
supp (ωt) ⊂ B(0, R(t)), ∀t ≥ 0,
o`u t 7→ R(t) est une fonction croissante telle que R(t) ≤ C0(t
1
4 ln ln(t + 2) + 1).
Remarque 3.3. Par analogie avec l’hypoth`ese (i) du Th´eor`eme 3.2, il serait naturel d’´etudier la g´en´eralisation du Th´eor`eme 3.4 `a la situation o`u les di sont tous de mˆeme
signe (afin d’assurer l’existence d’une solution globale au syst`eme mixte), de signe oppos´e ` a celui de ω, et v´erifient l X i=1 |di| = l X i=1 di >Z R2 ω0(x) dx. 3.4.2 Le cas de ω0 ∈ L1∩ Lp, p >2.
Supposons que ω0 ∈ Lpc(R2) avec p > 2 et que tous les di soient de mˆeme signe.
Par r´egularisation de ω0, il est possible de montrer l’existence d’une solution globale
(ωt, z1(t), . . . , zl(t)) au syst`eme mixte Euler-points vortex en formulation lagrangienne28.
Plus pr´ecis´ement, si ω0ε∈ L∞c (R2) converge vers ω0 dans Lp lorsque ε tend vers z´ero et si
(ωtε, z1ε(t), . . . , zlε(t)) d´esigne une solution correspondante du syst`eme mixte Euler-points vortex, on v´erifie que les zε
i(t) convergent localement uniform´ement vers les zi(t) et ωεt vers
ωt faiblement dans L∞loc(R+, Lp(R2)). Ceci r´esulte en particulier de la Proposition 1.3, qui
assure que Z S |ωε t(y)| |x − y|dy ≤ C kω ε tkL1(S), kωtεkLp(S)= C kω0εkL1(S), kω0εkLp(S).
En particulier, dans toutes les majorations obtenues au cours de la d´emonstration du Th´eo- r`eme 3.2, la norme kωε
0kL∞ peut ˆetre remplac´ee par la norme kω0εkLp. Cette derni`ere ´etant
uniform´ement born´ee en ε, on obtient ainsi l’estimation du Th´eor`eme 3.2 pour supp (ωεt), o`u la constante peut ˆetre choisie ind´ependamment de ε. Finalement, la mˆeme estimation a lieu pour supp (ωt) apr`es passage `a la limite.
Chapitre 4
Nappes de tourbillon et points
vortex
80 Chapitre 4. Nappes de tourbillon et points vortex
4.1
Introduction.
L’objectif de ce bref chapitre est d’´etablir un r´esultat d’existence globale pour l’´equation d’Euler ∂tω + div (uω) = 0, u = K ∗ ω, o`u K(x) = 1 2π x⊥ |x|2, x ∈ R 2 \ {0},
lorsque la vorticit´e ω est une mesure de Radon d’une forme particuli`ere. Dans le contexte du th´eor`eme de Yudovich, c’est-`a-dire lorsque ω appartient `a L∞ R+, L1∩ L∞(R2), la
vitesse u = K ∗ ω est uniform´ement born´ee et div (uω) est bien une distribution. Comme l’a remarqu´e Schochet [33, 34], les propri´et´es de sym´etrie de K et la formule de Fubini permettent d’´ecrire div (uω) au sens des distributions sous la forme
Z
R2u(t, x) · ∇ϕ(x)ω(t, x) dx =
ZZ
R2×R2
Hϕ(x, y)ω(t, x)ω(t, y) dx dy, (4.1)
pour toute fonction test ϕ, o`u la fonction Hϕ(·, ·) d´efinie par
Hϕ(x, y) =
1
2K(x − y) · (∇ϕ(x) − ∇ϕ(y)) est born´ee par CkD2ϕk
L∞sur R2, continue en dehors de la diagonale ∆ = {(x, x), x ∈ R2},
et tend vers z´ero `a l’infini. Contrairement `a l’int´egrale simple dans (4.1), la double int´egrale est bien d´efinie tant que ω est une mesure de Radon born´ee et diffuse. Ceci est le cas par exemple lorsque ω est une mesure de Radon qui en outre appartient `a H−1(R2) (nappe
de tourbillon). En revanche, lorsque ω comporte une partie atomique, il est n´ecessaire d’assigner `a Hϕune valeur sur la diagonale ∆. Pour cette raison, on remplacera dor´enavant
K par bK, o`u
b
K(x) = K(x) pour x 6= 0 et bK(0) = 0.
Notre d´efinition de solution g´en´eralis´ee de l’´equation d’Euler pour des vorticit´es de type mesure, qui s’appuie sur la formulation (4.1), est extraite de l’article de Poupaud [32]. On introduit d’abord quelques notations : M(R2) d´esigne l’ensemble des mesures de Radon finies sur R2 et M+(R2) l’ensemble des mesures positives et finies. L’espace M(R2) est identifi´e au dual de l’espace C0(R2) des fonctions continues sur R2, tendant vers 0 `a l’infini,
et est muni de la topologie de la convergence vague (ou faible∗). L’espace L∞ R+, M(R2)
est identifi´e au dual de L1 R+, C0(R2)
. Enfin, on notera C(R+, M+(R2) −w∗) l’ensemble
des mesures µ ∈ L∞loc R+, M(R2) telles que pour chaque ϕ ∈ C0(R2), la fonction t 7→
R
R2ϕ(x)µ(t, x) dx =
R
R2ϕ(x)µt(x) dx est continue sur R+.
D´efinition 4.1. Soit µ0 ∈ M(R2). On dit que µ ∈ L∞loc R+, M(R2)
est solution g´en´eralis´ee (globale) de l’´equation d’Euler avec donn´ee initiale µ0 si pour toute fonction ϕ ∈ Cc∞(R+×
R2), on a Z +∞ 0 Z R2 ∂tϕ(t, x) µt(x) dx dt + Z +∞ 0 ZZ R2×R2 Hϕ(x, y) µt(x)µt(y) dx dy dt + Z R2 ϕ(0, x)µ0(x) dx = 0.
4.2. D´emonstration du Th´eor`eme 4.1. 81