R´ esultant et discriminant

10.3.1 Notion de r´ esultant de deux polynˆ omes.

Commentaire.Dans toute cette partie, Kest un corps alg´ebriquement clos. On cherche `a r´esoudre la question suivante : ´etant donn´es deux polynˆomes distinctsP etQde degr´e≥1 dansK[X], trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’ils admettent au moins un z´ero commun. Dire que P et Qadmettent un z´ero commun α∈ K ´equivaut `a dire que le polynˆomeX−αdivise `a la foisP etQdansK[X], ce qui ´equivaut `a dire que leur pgcd dans l’anneauK[X] est de degr´e≥1.

D´ efinition. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Soient P et Q deux polynˆ omes non-nuls dans K[X] de degr´ es respectifs m

≥

1 et n

≥

1. Notons :

On appelle

r´esultant de

P

et

Q le d´ eterminant d’ordre m + n suivant :

R(P, Q) =

Remarque.On a suppos´e ci-dessus quem > n, pour fixer clairement l’´ecriture du d´eterminant.

L’analogue pourm≤ns’en d´eduit mutatis mutandis.

Lemme. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Soient P et Q deux polynˆ omes dans K[X] de degr´ es respectifs m

≥

1 et n

≥

1. Ils admettent un z´ ero commun dans K si et seulement s’il existe des polynˆ omes R et S dans K [X] tels que :

deg R

≤

m

−

1, deg S

≤

n

−

1, RQ = SP .

Preuve.Supposons les trois conditions du lemme v´erifi´ees. Appelonsα1, α2, . . . , αmles z´eros (non n´ecessairement distincts) de P dans K. Alors, pour tout 1 ≤ i ≤ m, le polynˆome

X−αi diviseP, donc diviseRQ, dansK[X]. PuisqueX−αi est premier (car irr´eductible

Th´ eor` eme. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Deux polynˆ omes de K[X] non-nuls et non constants ont au moins un z´ ero commun dans K si et seulement si leur r´ esultant est nul.

Preuve. Soient P =

En faisant “tout passer” dans le premier membre, on obtient un syst`eme lin´eaire homog`ene, dem+n´equations `am+ninconnues, qui sontµn−1, µn−2, . . . , µ0,−λm−1,−λm−2, . . . ,−λ0. Il admet une solution non-nulle si et seulement si son d´eterminant est nul. Or ce dernier n’est autre que le r´esultantR(P, Q), d’o`u le r´esultat.

Corollaire. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Deux polynˆ omes de K[X] non-nuls et non constants sont premiers entre eux dans K[X] si et seulement si leur r´ esultant est non-nul.

Preuve. On a d´ej`a observ´e au d´ebut du paragraphe que l’existence d’un z´ero commun `a P et Q´equivaut au fait que leur pgcd est de degr´e≥1, c’est-`a-dire que P et Qne sont pas premiers entre eux. D’o`u le r´esultat d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent.

Exemples en petits degr´es.

•

Si P = aX + b et Q = cX + d, alors R(P, Q) = ad

−

bc.

•

Si P = aX

²

+ bX + c et Q = pX + q, alors R(P, Q) = p

²

c + q

²

a

−

pqb.

•

Si P = aX

²

+ bX + c et Q = pX

²

+ qX + r, alors R(P, Q) = (ar

−

cp)

²−

(aq

−

bp)(br

−

cq).

Exercice.Soita∈K un param`etre quelconque. Montrer qu’il existe au plus 7 valeurs de a pour lesquelles les polynˆomes P =X⁴+X³+X+a+ 1 etQ=aX³+X+a ont un z´ero commun. (Indication : v´erifier que R(P, Q) =a⁷+ 2a⁴+ 3a³+a²+a+ 1.)

10.3.2 Expression du r´ esultant en fonction des z´ eros

Th´ eor` eme. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Soient P et Q deux polynˆ omes non-nuls dans K[X] de degr´ es respectifs m

≥

1 et n

≥

1. Notons :

Deuxi`eme ´etape.Reprenons les expressions d´evelopp´eesP =Pm

i=0aiXⁱ etQ=Pn i=0biXⁱ. L’expression du d´eterminant R(P, Q) vu en 10.3.2 permet de voir R(P, Q) comme un po-lynˆome en les n+m+ 2 ind´etermin´ees a₀, a₁, . . . , a_m, b₀, b₁, . . . , b_n. Plus pr´ecis´ement, la forme du d´eterminant permet d’observer que ce polynˆome est homog`ene de degr´e nen les ind´etermin´eesa<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, . . . , a<sub>m</sub>et homog`ene de degr´emen les ind´etermin´eesb₀, b₁, . . . , b_n. Dans

Cette relation appliqu´ee aux polynˆomes P1et Q1 d´evelopp´es comme `a la fin de la premi`ere

´ si R(P, Q) = 0, c’est-`a-dire d’apr`es le th´eor`eme 10.3.1 si et seulement s’il existe un couple (i, j) avec 1≤i≤met 1≤j≤ntel queαi=βj.

Remarque. On a donc les expressions suivantes du r´ esultant :

qui rendent explicite la conclusion du th´ eor` eme 10.3.1 10.3.3 Discriminant d’un polynˆ ome.

D´ efinition. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. On appelle

discriminant

d’un polynˆ ome P de degr´ e au moins ´ egal ` a 2 dans K[X] le r´ esultant de P et de son polynˆ ome d´ eriv´ e P

⁰

. On note :

∆(P) = R(P, P

⁰

).

Th´ eor` eme. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Soient P un polynˆ ome de degr´ e au moins

´

egal ` a 2 dans K[X] et P

⁰

son polynˆ ome d´ eriv´ e. Les conditions suivantes sont ´ equivalentes.

(i) Le polynˆ ome P a au moins un z´ ero multiple dans K.

(ii) Les polynˆ omes P et P

⁰

ne sont pas premiers entre eux.

(iii) Les polynˆ omes P et P

⁰

ont au moins un z´ ero commun dans K.

(iv) Le discriminant ∆(P ) du polynˆ ome P est nul.

Preuve. L’´equivalence de (ii) et (iii) est claire. Par d´efinition du discriminant, l’´equivalence de (iii) et (iv) est une cons´equence du th´eor`eme 10.3.1. Il suffit donc de montrer l’´equivalence de (i) et (ii).

Supposons d’abord que P a un z´ero multiple α. Alors il existe un polynˆome Q de degr´e n−2, o`u n d´esigne le degr´e de P, tel que P(X) = (X −α)²Q(X). On a alors P⁰(X) = 2(X−α)Q(X) + (X−α)²Q⁰(X), de sorte queX−αest un diviseur commun deP etP⁰ de degr´e non-nul. DoncP et P⁰ ne sont pas premiers entre eux.

Supposons r´eciproquement que P et P⁰ ne sont pas premiers entre eux. Leur pgcd D est de degr´e strictement positif. CommeK est alg´ebriquement clos, il admet au moins un z´ero α∈K. Le polynˆomeX−αdiviseD, donc diviseP etP⁰. Il existe en particulier un polynˆome Q de degr´e n−1, o`u nd´esigne le degr´e deP, tel que P(X) = (X −α)Q(X). On a alors P<sup>0</sup>(X) =Q(X) + (X−α)Q<sup>0</sup>(X). Mais commeX−αdivise aussiP<sup>0</sup>, on en d´eduit qu’il divise Q. Et doncP est divisible par (X−α)<sup>2</sup>, ce qui ach`eve la preuve.

Corollaire. Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Un polynˆ ome P de degr´ e au moins ´ egal

`

a 2 dans K[X] n’admet que des z´ eros simples dans K si et seulement si son discriminant est non-nul.

L’application du corollaire ci-dessus montre que P n’a que des z´ eros simples si et seulement si

b

²−

4ac

6= 0, r´

esultat bien connu !

Supposons que ∆(P) = 0, et notonsαle z´ero multiple deP dansK(il est forc´ement unique puisque P est de degr´e 3). Commeαest alors aussi z´ero deP⁰, on aα²=−^p₃.

Si p = 0, alors la nullit´e de ∆(P) = 4p³+ 27q² implique que l’on a aussi q = 0, donc P(X) =X³, qui admet 0 comme z´ero triple.

Si p 6= 0, alors la nullit´e de ∆(P) = 4p³+ 27q² implique que l’on a p = −^27q_4p2², d’o`u α²=−^p₃ = ^9q_4p²2. On v´erifie que seul α=−^3q_2p est z´ero deP, et c’est un z´ero double.

Proposition (expression du discriminant en fonction des z´ eros). Soit K un corps alg´ ebriquement clos. Soit P = a

_n

X

ⁿ

+

· · ·

+ a

₁

X + a

₀

un polynˆ ome de degr´ e n

≥

2 dans K[X]. Soient α

₁

, . . . , α

_n

les z´ eros de P dans K . Alors le discriminant de P est donn´ e par :

∆(P ) = (−1)

^n(n−1)2

a

²ⁿ⁻¹_n Y

1≤i<j≤n

(α

i−

α

j

)

²

.

Preuve.On a :P(X) =a_n Q

1≤k≤n

(X−α_k), donc : P⁰(X) =a_n P

1≤j≤n

Q

1≤k≤n,k6=j

(X−α_k) d’o`u, pour tout 1≤i≤n, l’´egalit´e :

P⁰(α_i) =a_n(α_i−α₁)(α_i−α₂). . .(α_i−α_i−1)(α_i−α_i+1). . .(α_i−α_n).

On calcule alors en utilisant les expressions de la remarque finale de 10.3.2 :

∆(P) =R(P, P⁰) =aⁿ⁻¹_n Q

1≤i≤n

P⁰(αi)

=aⁿ⁻¹_n Q

1≤i≤n

a_n(α_i−α₁)(α_i−α₂). . .(α_i−α_i−1)(α_i−α_i+1). . .(α_i−α_n)

=a²ⁿ⁻¹_n Q

1≤i≤n

(α_i−α₁)(α_i−α₂). . .(α_i−α_i−1)(α_i−α_i+1). . .(α_i−α_n)

=a²ⁿ⁻¹_n Q

1≤i≤n

(−1)ⁱ⁻¹(α1−αi)(α2−αi). . .(αi−1−αi)(αi−αi+1). . .(αi−αn)

=a²ⁿ⁻¹_n (−1)^n(n−1)/2 Q

1≤i<j≤n

(αi−αj)².

Remarque.

Cette relation justifie le nom de discriminant des ind´ etermin´ ees donn´ e ` a l’exemple

(3) du paragraphe 10.2.2.

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