7.2.1 Classement des avions
Pour pouvoir trouver des solutions aux conflits entre avions avec une m´ethode de r´esolution d´eterministe, il est n´ecessaire de simplifier le probl`eme formul´e au chapitre pr´ec´edent. Une simplifi- cation intuitive consiste `a consid´erer les avions les uns apr`es les autres : dans ce contexte, le probl`eme ´el´ementaire `a r´esoudre est celui d’un seul avion devant en ´eviter d’autres (dont les trajectoires ont d´ej`a ´et´e calcul´ees et deviennent des contraintes du probl`eme `a r´esoudre pour l’avion). La r´esolution du probl`eme `a N avions se fait alors par it´erations de la r´esolution ´el´ementaire pour un avion, dans un ordre pr´ed´etermin´e.
Le classement initial des avions correspond ainsi `a des niveaux de priorit´e : le premier avion suit sa trajectoire optimale, tandis que les suivants ont de plus en plus de contraintes. Ce classement initial joue donc un rˆole majeur pour cette m´ethode de r´esolution de conflits : beaucoup de classements correspondent `a un probl`eme sans solution pour un avion, si par exemple un avion est moins bien class´e qu’un avion se trouvant derri`ere lui.
Donn´ees en entr´ee Notation Description
N Nombre total d’avions.
Dirmin Dur´ee minimale de roulage de l’avion i (sans attente et `a vitesse maximale). Hs Horizon de pr´ediction pour le calcul des s´equences de pistes.
Hr Horizon de pr´ediction pour la phase de roulage.
∆r Pas de rafraˆıchissement.
ti Heure d’acc`es `a la piste de l’avion i pr´evue dans la s´equence de piste.
nich Nombre de chemins disponibles pour l’avion i. natt Nombre maximal d’attentes pour chaque avion.
ωi Attente strat´egique calcul´ee pour l’avion i.
Variables Notation Description
ηi Chemin choisi pour l’avion i.
θi Niveau de priorit´e de l’avion i.
pi P´enalit´e pour l’avion i
Algorithme g´en´etique Notation Description
Tp Taille de la population.
fgi Fitness globale de l’individu i
fpa Fitness partielle de l’avion a au sein d’un individu.
K Constante ajout´e `a la p´enalit´e d’un avion lorsqu’il est en conflit avec un autre. M´ethode d´eterministe
Notation Description
θi0 Niveau de priorit´e pour l’avion i exprim´e en heure absolue.
δprio R´eduction du niveau de priorit´e des arriv´ees apr`es atterrissage (en minutes).
7.2. R ´ESOLUTION PAR UNE M ´ETHODE D ´ETERMINISTE 77 Dans le contexte de s´equences d’avions `a r´ealiser sur les pistes, cette m´ethode poss`ede un grand avantage : le lien entre les s´equences d’avions `a r´ealiser sur les pistes et la phase de roulage peut s’effectuer simplement, en prenant un classement initial en coh´erence avec ces s´equences. Dans le cas d’un a´eroport avec plusieurs pistes comme Roissy, les s´equences souhait´ees sur les pistes ne d´efinissent pas directement de relation d’ordre total entre les avions, mais un classement total peut ˆetre obtenu, en classant les avions par heures de d´ecollage et d’atterrissage programm´ees.
Une modification de ce classement peut de plus ˆetre op´er´ee, afin de r´eduire le niveau de priorit´e des arriv´ees, une fois qu’elles ont atterri : en effet, lors de la phase de roulage, les arriv´ees sont souvent consid´er´ees moins prioritaires que les d´eparts, car les retards imput´es en d´ebut de vol (avant mˆeme le d´ecollage) sont consid´er´es plus probl´ematiques par les op´erationnels. Une fois qu’elles ont lib´er´e l’aire de piste, les arriv´ees peuvent donc avoir un niveau de priorit´e inf´erieur `a celui de l’ensemble des d´eparts en cours : pour ce faire, un param`etre δprio d´etermine la perte du niveau de priorit´e des
arriv´ees, une fois pos´ees.
Le classement initial des avions est donc d´efini en fonction des heures (θi0)1≤i≤Nsuivantes :
∀i ∈ D, θ0 i = ti ∀i ∈ A, ti < t0 ⇒ θi0 = ti+ δprio t0 ≤ ti ⇒ θi0 = ti
Une fois ce classement d´efini, la r´esolution de l’ensemble des conflits peut s’effectuer par l’in- term´ediaire de deux algorithmes de type branch & bound :
– le premier consiste `a explorer l’arbre des trajectoires possibles de l’avion le long de l’un de ses chemins ;
– la second correspond `a des it´erations du premier, sur chaque chemin et pour chaque avion.
7.2.2 Calcul de la trajectoire d’un avion sur l’un de ses chemins
La recherche de la meilleure trajectoire pour un avion devant en ´eviter d’autres, en suivant l’un de ses chemins, peut s’exprimer par un parcours d’arbre :
– La racine de l’arbre correspond `a la position (ou zone d’incertitude) initiale de l’avion, au d´ebut de l’horizon de pr´ediction).
– Chaque nœud correspond `a une zone d’incertitude dat´ee de l’avion sur son chemin, associ´ee au nombre de positions d’attentes d´ej`a effectu´ees (car le nombre d’attentes possibles reste limit´e). Il se repr´esente par un quadruplet (z, t, na, λ) :
– z d´ecrit la zone d’incertitude de l’avion (elle est repr´esent´ee par l’indice des positions extrˆemes (pmin, pmax) dans le chemin) ;
– t est l’heure `a laquelle cette zone d’incertitude est atteinte ; – narepr´esente le nombre d’attentes d´ej`a effectu´ees par l’avion,
– λ indique si l’avion avance (λ = 1) ou est en position d’attente (λ = 0).
– Chaque nœud peut avoir au maximum deux fils, repr´esentant les zones d’incertitudes possibles et non conflictuelles de l’avion au pas de temps suivant, en fonction de l’action effectu´ee par l’avion `a l’instant t [Gotteland 04] :
1. soit l’avion attend, `a condition que le nombre maximal d’attentes ne soit pas atteint et que l’attente ne g´en`ere pas de conflit avec les avions d´ej`a trait´es ;
2. soit l’avion avance, si cela ne g´en`ere pas de conflit.
– Les feuilles dont l’heure correspond `a la fin de l’horizon de pr´ediction repr´esentent une solution admissible : elles correspondent `a une trajectoire sans conflit sur l’horizon de pr´ediction, depuis la position initiale de l’avion.
Choix Attentes(M, m, η, Pmax) : (M : avions devant ˆetre ´evit´es)
(m : avion dont la trajectoire doit ˆetre calcul´ee) (η : chemin ´etudi´e) (Pmax: p´enalit´e maximale souhait´ee)
soit γ : ∅ (Trajectoire trouv´ee)
soit Borne : Penalite Chemin(Pmax, m, η) (P´enalit´e maximale souhait´ee sur le chemin η)
Exploration(z, t, na, λ)
si Sans Conflit(M, z, t) et Penalite(m, t) < Borne alors
si t = Hralors (Nouvelle solution trouv´ee)
γ ← Trajectoire(m) Borne ← Penalite(m)
sinon si Attente(m) < Attente Strategique(m) et na< nattalors
Exploration(Attendre(z, t), t + 1, na+ λ, 0) Exploration(Avancer(z, t), t + 1, na, 1) sinon Exploration(Avancer(z, t), t + 1, na, 1)
si na< nattalors Exploration(Attendre(z, t), t + 1, na+ λ, 0)
Affecter Chemin(m, η) Exploration(z0, 0, 0, 1)
retourner γ
Algorithme III.1: Choix Attentes : meilleure trajectoire pour un avion, sur l’un de ses chemins L’exploration de cet arbre s’effectue par un parcours en profondeur d’abord, et peut ˆetre limit´ee par une valeur de p´enalit´e maximale pour l’avion. Dans le cas o`u l’avion est associ´e `a une attente strat´egique (cf. 6.4.4), il doit attendre d`es que possible : les nœuds fils correspondants `a l’attente de l’avion sont alors explor´es en premier. Dans le cas contraire (ou d`es que l’attente strat´egique est atteinte), l’avion doit chercher `a avancer et les nœuds correspondants sont alors explor´es en premier.
Lorsque l’algorithme trouve une solution, la p´enalit´e de l’avion correspondant `a cette derni`ere est d´efinie comme une borne pour les it´erations suivantes. Lors de l’exploration de chaque nœud, la p´enalit´e minimale r´esultante de la trajectoire courante est compar´ee `a cette borne et la branche n’est pas explor´ee si la borne est d´epass´ee. Lorsqu’une meilleure solution est trouv´ee, la borne est mise `a jour.
Ce mode d’exploration est mis en œuvre dans l’algorithme r´ecursif III.1 :
– La fonction Penalite Chemin renvoie la p´enalit´e maximale relative au chemin η de l’avion ; – Les fonctions Avancer et Attendre calculent la zone d’incertitude de l’avion au pas de temps
suivant, suivant l’action effectu´ee.
– La fonction Attente renvoie le temps d’attente cumul´e impos´e `a l’avion sur l’horizon de pr´ediction.
– La fonction Attente Strategique renvoie l’attente strat´egique ωicalcul´ee pour l’avion i.
7.2.3 R´esolution des conflits d’un groupe d’avions
Le second algorithme correspond ´egalement `a un parcours d’arbre de type branch & bound : il consiste `a appliquer l’algorithme III.1 pour chaque chemin possible de chaque avion afin de trouver les meilleures trajectoires possibles, dans l’ordre d´ecrit au 7.2.1. Chaque nœud de l’arbre correspond `a l’affectation d’un chemin `a un avion et chaque niveau de profondeur de l’arbre correspond donc `a un nouvel avion `a traiter.