R´esolution

On a maintenant deux ´equations et deux inconnues µ et ∆ et deux ´equations 7.12 et 7.14, on peut r´esoudre num´eriquement le probl`eme.

Deux types de r´esonance

Avant cela, il est int´eressant de noter quelles sont les diff´erentes ´energies caract´eristiques du probl`eme physique. On peut en d´enombrer trois, l’´energie de Fermi EF, l’´energie as-soci´ee au couplage E<sub>0</sub>, et le d´ecalage par rapport `a la r´esonance δ − δ0. Ce dernier pa-ram`etre est celui en fonction duquel on veut ´etudier le syst`eme. Les deux autres ´energies caract´eristiques sont plus ou moins fix´ees. On a alors deux situations limites E0  EF

et E0  EF qui correspondent respectivement `a des r´esonances de Feshbach ´etroites et larges [146,152,153]. La valeur de E0 peut ˆetre d´etermin´ee quand on connait le comporte-ment de la longueur de diffusion en fonction du champ magn´etique ainsi que la diff´erence de moment magn´etique ∆µ entre les ´etats atomiques et l’´etat mol´eculaire qui induit la r´esonance de Feshbach a = a_bg − ~√

2E0

√

m∆µ(B−B0).

Dans le cas des r´esonances du 40K utilis´ees dans le groupe de D. Jin, E0/kB ≈ 1 mK, qu’il faut comparer `a une ´energie de Fermi typique EF/kB ≈ 1 µK. Ce sont donc des r´esonances larges. Dans le cas de la r´esonance `a 834 G du 6Li , on trouve E0/kB ≈ 100 K. Cette grande valeur est en partie due `a la tr`es grande longueur de diffusion triplet ∼ −110 nm dans le cas du6Li . Il faut, dans ce cas, consid´erer un syst`eme de deux r´esonances coupl´ees [85] et l’analyse simple de la partie 2.2.2 ne s’applique alors pas directement. N´eanmoins, on peut estimer que cette r´esonance est extrˆemement large. Pour la r´esonance ´etroite du 6Li situ´ee vers 545 G et utilis´ee par le groupe R. Hulet, E0/kB ≈ 1 µK est de l’ordre de la temp´erature de Fermi des syst`emes d’atomes ultrafroids.

R´esonance ´etroite

Dans le cas d’une r´esonance ´etroite, d`es que |µ|/E0  1, on peut n´egliger le terme int´egral dans l’´equation du gap et on obtient 2µ = (δ − δ0). L’´equation du nombre per-met ensuite de trouver la valeur du gap et donc de la fraction des atomes dans l’´etat mol´eculaire. Le r´esultat est le suivant. Pour δ − δ0 < 0, `a gauche de r´esonance, on a un condensat pur de mol´ecules fortement li´ees. Pour 0 < δ −δ0 < 2EF, on a un m´elange entre un gaz de Fermi dans un r´egime BCS caract´eris´e par un potentiel chimique (δ − δ0)/2 et un condensat de mol´ecules fortement li´ees. Pour δ − δ0 > 2EF, il ne reste plus qu’un gaz BCS dans un r´egime d’interaction tr`es faible. Ces r´esultats sont r´esum´es sur le sch´ema de la figure 7.1.

R´esonance large

Etudions maintenant les diff´erents r´egimes correspondant `a une r´esonance large. A gauche de r´esonance, dans la limite o`u |δ−δ0|  E0, on retrouve un condensat de mol´ecules

97

E

0

BEC+BCS BCS

BEC

a b c

Figure 7.1 – Balayage du champ magn´etique `a travers une r´esonance de Feshbach ´etroite. Les ´etats dans le pi`ege harmonique sont les ´etats atomiques. La ligne pointill´e repr´esente l’´etat mol´eculaire fortement li´e. Son d´ecalage par rapport `a l’´energie de deux atomes au repos est δ − δ0. a : δ − δ0 < 0, condensat de mol´ecules fortement li´ees. b : 0 < δ − δ0 < 2EF, m´elange entre un condensat de mol´ecules fortement li´ees et une phase atomique BCS. c : δ −δ0 > 2EF, phase de type BCS. Le syst`eme, en interaction tr`es faible, occupe simplement tous les ´etats de plus basses ´energies disponibles. Les paires BCS ne se forment qu’au voisinage imm´ediat de EF.

fortement li´ees comme dans le cas d’une r´esonance ´etroite. Dans la limite inverse et pour des valeurs `a droite de la r´esonance, la fraction mol´eculaire dans le canal ferm´e devient n´egligeable. On peut alors n´egliger le premier terme dans l’´equation du nombre. De mˆeme, on a toujours µ  E0 et on peut n´egliger le deuxi`eme terme dans l’´equation du gap. Les deux ´equations se r´eduisent alors `a :

δ − δ0 √ E0 =√ 2√^~ ma ⁼ 4 π p |µ|Igap(∆/|µ|) (7.16) 1 = ³ 2  |µ| EF 3/2 Inombre(∆/|µ|) (7.17)

En introduisant, la longueur de diffusion a, l’´energie caract´eristique de la r´esonance E0

n’apparaˆıt plus dans les ´equations. On retrouve donc, `a partir du mod`ele `a deux canaux, les r´esultats connus dans un mod`ele `a un canal de la transition BEC-BCS [49].

Pour k_Fa → 0−, on trouve une phase BCS caract´eris´ee par les param`etres suivants :2

µ ≈ EF (7.18)

∆ ≈ 8e⁻²exp(−π/2kF|a|) (7.19)

On retrouve donc l’expression classique de la valeur du gap dans la th´eorie BCS. Dans le cadre de cette th´eorie qui n’inclut pas la possibilit´e de fluctuation de densit´e, il est normal que l’on ne trouve pas les corrections dues `a Gorkov et Melik-Barkhudarov [154].

2Pour trouver ces param`etres, il suffit de d´evelopper les int´egrales pour µ > 0 et ∆/µ → 0. Igap(x) ∼ −ln(8x) + 2 et Iden∼ 2/3.

Pour kFa → 0+, on trouve les param`etres suivants :3 µ = − ^~ 2 2ma2 + ^2π~ 2an m ^(7.20) ∆ ≈ r 16 3π EF √ kFa ^(7.21)

Le premier terme du potentiel chimique est simplement la moiti´e de l’´energie de liaison des dim`eres. Le deuxi`eme terme est un terme de champ moyen. Cette ´energie correspond `a une longueur de diffusion entre mol´ecules am ´egale `a 2a. On sait depuis le travail de D. Petrov, C. Salomon et G. Shlyapnikov [107], que la valeur exacte est 0.6a `a 2 % pr`es. Cette diff´erence s’explique simplement par le fait que notre d´erivation est approximative et suppose une fonction d’onde de type BCS. Cette hypoth`ese est fausse car elle ne tient compte que des corr´elations `a deux particules. Pour obtenir la bonne longueur de diffusion entre dim`eres, il faut inclure des corr´elations d’ordre sup´erieures [143]4.

La fraction de la fonction d’onde α2 dans l’´etat mol´eculaire `a courte port´ee est : α² = 2 r EF E0 1 kFa ^(7.22)

Pour une r´esonance large ce nombre est petit. Cependant, pour kFa = 1 et EF/E0 = 10−3

correspondant au cas des r´esonances du 40K, α2 vaut d´ej`a 6%, le syst`eme n’est donc pas compl`etement dans la limite d’une r´esonance large 5. Cela pourrait ´eventuellement expliquer la dur´ee de vie plus courte du gaz de mol´ecules 40K₂ [135] proche de r´esonance compar´e au gaz de6Li2 [61, 20] pour lequel la fraction de la fonction d’onde dans le canal ferm´e est plus faible.

Le r´egime o`u kF|a| & 1 est la zone de transition entre les r´egime BEC et BCS. Le point important est que, dans ce mod`ele, la transition est continue entre les deux r´egimes. L’allure de la fonction vk change progressivement avec la valeur de δ − δ0. De la mˆeme fa¸con, le gap et le potentiel chimique changent progressivement. Pour illustrer ce point, la figure 7.2 montre la distribution des paires v_k² pour diff´erentes valeurs de kFa, et la figure 7.3 montre l’´evolution du gap et du potentiel chimique en fonction de kFa. On retrouve les deux limites discut´ees auparavant quand kFa → 0±. Dans la zone de transition BEC-BCS, il faut cependant avoir conscience que le mod`ele pr´esent´e ci-dessus est qu’une approximation.

3

Pour trouver ces param`etres, il suffit de d´evelopper les int´egrales pour µ < 0 et ∆/µ → 0. Igap(x) ∼ −π/2 − πx2/32 et Iden∼ πx2/8.

4D’apr`es cet article de M. Holland, C. Menotti, et L. Viverit, dans un mod`ele `a deux canaux, il suffit d’inclure les corr´elations entre un boson dans le canal ferm´e et les paires de fermions dans le canal ouvert pour retrouver la bonne longueur de diffusion entre dim`eres dans le r´egime BEC ainsi que les corrections au-del`a du champ moyen dans le r´egime BCS [154]. Les mˆemes auteurs sont maintenant en train de d´evelopper une th´eorie de la transition BEC-BCS incluant ces corr´elations.

5On peut imaginer mesurer cette fraction en utilisant une transition radio-fr´equence non r´esonante [155], qui est sensible aux corr´elations `a courte port´ee.

99

v

(k)

2

k [k ]

Figure 7.2 – Probabilit´e d’occupation v2(k) d’une paire dans le mod`ele BCS pour 1 : kFa = 1, 2 : `a r´esonance, et pour 3 : kFa = −1

Figure7.3 – Potentiel chimique (trait continu) et gap (trait pointill´e) dans la transition BEC-BCS, dans le cadre de l’approximation BCS `a temp´erature nulle.