R´ eponses libres de structures m´ ecaniques 68

On consid`ere maintenant un syst`eme dynamique `aNdegr´es de libert´e, lin´eaire avec amortissement visqueux proportionnel, en supposant l’hypoth`ese de Basile⁽³²⁾. La r´eponse libre d’un tel syst`eme lin´eaire en termes de d´eplacement s’exprime comme la superposition des contributions de chaque mode. Le vecteur d´eplacementu(t) est d´efini par :

u(t) =ΦU(t) = XN r=1

Ur(t)φ_r (3.11)

ou encore sous forme des composantes,uj(t) d´esignant la r´eponse en un pointj du syst`eme : uj(t) =

XN r=1

ΦjrUr(t) (3.12)

La r´eponse transitoire du moder, de type d´eplacement, not´eUr(t), peut se mettre sous la forme : Ur(t) =e^−τrωrt

"

U˙r(0) +τrωrUr(0) e

ωr

sinωert+Ur(0) cosωert

#

Y(t) (3.13)

o`u τr, ωr et ωer sont respectivement pour le mode r, le taux d’amortissement, la pulsation propre du syst`eme conservatif associ´e et la pseudo-pulsation propre : ωer = ωr

p1−τ_r². Ur(0) et ˙Ur(0) sont respectivement le d´eplacement et la vitesse initiale pour le moderqui s’expriment `a partir des d´eplacements et des vitesses initiaux impos´es exprim´es dans les coordonn´ees g´eom´etriques du d´epart : Ur(0) = φ^t_rM u(0)

Mr et ˙Ur(0) = φ^t_rM v(0) Mr

(33).

La relation (3.13) peut ensuite s’´ecrire :

Ur(t) =Ar(t) cos(ϕr(t)) =Bre^−τrωrtY(t) cos (ωert−ψr) (3.14) en posantAr(t) =Bre^−τrωrtY(t) et ϕr(t) =ωert−ψr o`uBr=p

C_r²+D²_r et tan(ψr) = √^τr

1−τ_r² +_eω^U˙r(0)

rUr(0) avec Cr=Ur(0) etDr= ^U˙r(0)+τ_ωe^rωrUr(0)

r . La condition d’asymptoticit´e pourUr(t) donn´ee en relation (3.9) se traduit par :

τrωr≪ωer (3.15)

ce qui est v´erifi´e lorsque τr est tr`es inf´erieur `a ^√1₂ qui est la valeur pour laquelle on n’a plus d’amplification dynamique (ce qui est g´en´eralement le cas de vibrations de structures r´eelles).

B Repr´ esentations temps-fr´ equence

Ce paragraphe est consacr´e `a l’analyse temps-fr´equence en dimension 1 . Il est tr`es loin d’ˆetre exhaustif et la litt´erature scientifique sur les transformations ou distributions temps-fr´equence est d’ailleurs tr`es abondante.

Deux transformations lin´eaires (transformations en gaborettes et en ondelettes) et une transformation non lin´eaire (la transformation de Wigner -Ville⁽³⁴⁾) ont retenu mon attention. Seule, l’analyse par ondelettes que j’utilise depuis cinq ans environ pour le traitement des signaux vibratoires, est trait´ee ici avec plus de d´etails.

32L’hypoth`ese de Basile affirme que la matrice d’amortissement visqueux est diagonale dans la base des modes propres du syst`eme conservatif associ´e.

33Mrd´esigne la masse g´en´eralis´ee relative au moder:Mr=φ^t_rM φr.

34Ville 1948 Th´eorie et applications de la notion de signal analytique, Cables et Transmission. Vol. 2A, pp. 61-74.

B.1 Pr´ esentation et d´ efinition de trois repr´ esentations temps-fr´ equence

B.1.1 Analyse continue par gaborettes

Au milieu des ann´ees 1940, Gabor sugg´erait de rendre locale l’analyse de Fourier, en s’aidant de fenˆetres⁽³⁵⁾. En multipliant la fonction ´etudi´ee par une fenˆetre, on en obtient une version “locale”, dont on peut d´eterminer le contenu fr´equentiel par l’analyse de Fourier classique. On renouvelle alors l’op´eration en d´epla¸cant la fenˆetre d’analyse. L’ensemble de ces transform´ees de Fourier ainsi localis´ees formela transform´ee de Gabor du signal :

Gg[u] (b, ω) =­ u, g(b,ω)

®

L²(R)= Z

R

u(t)g(t−b)e^{−iω(t−b)}dt (3.16)

o`ug(b,ω)=g(t−b)e^iω(t−b)est appel´ee ondelettes de Gabor ou gaborettes.

et fournit donc une analyse fr´equentielle locale. De mˆeme que la transform´ee de Fourier, la transform´ee de Gabor d’un signal contient toutes les informations port´ees par le signal. Par cons´equent, le signal peut ˆetre reconstruit

`a partir de sa transform´ee de Gabor comme une somme de gaborettes, qui ne sont autres que des sinuso¨ıdes localis´ees par des fenˆetres du mˆeme type que celles utilis´ees pour la transformation de Gabor. A chacune de ces gaborettes sont attach´es une fr´equence et un temps bien d´etermin´es. Le poids d’une gaborette dans un signal n’est autre que la valeur de sa transform´ee de Gabor pour la fr´equence et le temps correspondants. Pour clˆoturer cette courte pr´esentation, nous allons ´ecrire la transform´ee de Gabor deu(t) comme une transform´ee de Gabor de sa transform´ee de Fourieru(ω) (relation obtenue `a partir de la formule de Plancherel qui sera d´etaill´ee plusb loin) :

Gg[u] (b, ω) = 1 2π

Z

Ru(ξ)b bg(ξ−ω)e^{iξ b}dξ (3.17)

B.1.2 Analyse continue par ondelettes

En 1982, pour rem´edier aux limitations de l’analyse de Fourier⁽³⁶⁾, Morlet propose une transformation qui permet une repr´esentation du signal dans le temps (ou l’espace) et dans les ´echelles. Grossmann et Morlet (1984) donnent un cadre rigoureux aux concepts de la nouvelle d`Ecomposition temps-`Echelle. Ils d`Emontrent notamment que pour qu’un signal temporel puisse ´Itre d`Ecompos`E sous forme d’une combinaison lin`Eaire de fonctions `El`Ementaires localis`Ees en diff`Erents instants et ayant des tailles diff`Erentes, il faut que la fonction m¨Ere pr`Esente quelques oscillations et donc ressemble‡une ondelette, une ’onde’ localis`Ee, par comparaison au terme ’onde’ seul, qui signifie une oscillation qui se propage ind`Efiniment. C’est ainsi que na ´Ot la th`Eorie des ondelettes.

L’analyse continue par ondelettes est apparue sous “ses formes modernes” au d´ebut des ann´ees 80, dans un article de Grossmann et Morlet qui donnent un cadre rigoureux aux concepts de la nouvelle d´ecomposition temps (ou espace)-´echelle⁽³⁷⁾. Ils d´emontrent notamment que pour que le signal ´etudi´e puisse ˆetre d´ecompos´e sous forme d’une combinaison lin´eaire de fonctions ´el´ementaires localis´ees en diff´erents points de l’espace et ayant des tailles diff´erentes, il faut que la fonction m`ere pr´esente quelques oscillations et donc ressemble `a une ondelette⁽³⁸⁾. C’est ainsi que naˆıt la th´eorie des ondelettes. Depuis elle connaˆıt un essor important avec no-tamment les travaux de Daubechies⁽³⁹⁾ et de Meyer qui ´etablissent le pendant discret de la d´ecomposition en

35Une fenˆetre est une fonction r´eguli`ere, lentement variable, et bien localis´ee (ce qui signifie qu’elle est nulle en dehors d’une certaine zone, son support).

36En 1982, Morlet est un ing´enieur chez Elf Aquitaine, int´eress´e par l’´etude des signaux sismiques intervenant dans la recherche p´etroli`ere. Il ´etudie le probl`eme suivant : on g´en`ere des ondes acoustiques `a la surface de la terre et on enregistre les ondes r´efl´echies ; parmi les donn´ees recueillies, Morlet cherche `a d´eterminer l’influence de chaque couche de s´ediments au moyen des fr´equences instantan´ees des ondes r´efl´echies (on utilise le fait que certaines ondes restent pi´eg´ees `a l’int´erieur d’une couche et d’autres non).

Morlet s’aper¸coit que les d´ecompositions spectrales “classiques ” telles que la transformation de Fourier, la transformation de Fourier

`

a fenˆetre glissante sont mal adapt´ees `a l’analyse de signaux combinant plusieurs ´echelles caract´eristiques. Ainsi les ondelettes de Gabor oscillent trop aux hautes fr´equences (introduisant une importante instabilit´e num´erique lors du calcul des coefficients : C(m, n) =R

Ru(t)g(t−nb)e^{−im ωt}dtpourm∈ Zetn∈Z) et pas assez aux basses fr´equences et de plus ne permettent pas de formule de reconstruction r´eellement pratique.

37A. Grossmann & J. Morlet, 1984. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shapes. SIAM J. Math. Anal. 15, pp. 723-736.

38La terminologie “ondelette” est employ´ee par comparaison au terme “onde” qui signifie une oscillation qui se propage ind´efiniment.

39Aux environs de 1985, Daubechies en collaboration avec Yves Meyer et Alex Grossmann, introduisit une approche discr`ete qui permet aux fonctions d’ˆetre reconstruites `a partir d’un ensemble discret de valeurs. En 1992, elle publia le livre : “Ten lectures on wavelets”.

ondelettes (approche algorithmique)⁽⁴⁰⁾. Les algorithmes rapides⁽⁴¹⁾mis au point, combin´es aux bases d’onde-lettes `a support compact construites par Daubechies font de la transformation en onded’onde-lettes un outil num´erique puissant⁽⁴²⁾. En d´epit de sa jeunesse, la transformation en ondelettes et ses applications font l’objet d’une abondante litt´erature. L’un des points essentiels qu’elle nous enseigne est qu’un objet math´ematique (fonction, signal, op´erateur,...) peut ˆetre repr´esent´e de multiples fa¸cons, chacune de ses repr´esentations permettant de mettre l’accent sur certaines caract´eristiques de l’objet ´etudi´e.

Soit une fonctionψ(t)∈L¹(R)T

L²(R) qui va jouer le rˆole de l’ondelette m`ere. On d´efinit la famille d’ondelettes ψ(b,a)parψ(b,a)(t) = ¹_aψ¡_t−b

a

¢. La transform´ee en ondelettes continue (TOC) avec l’ondelette m`ereψd’un signal u(t) d’´energie finie est donn´ee par l’int´egrale⁽⁴³⁾:

Tψ[u](b, a) =­

La relation (3.18) peut ˆetre ´egalement vue comme un produit de convolution⁽⁴⁴⁾; ce qui permet d’´ecrire la TOC sous une forme duale⁽⁴⁵⁾ o`u apparaissent les transform´ees de Fourier deu(t) et deψ(t) :

Tψ[u] (b, a) = 1 2π

Z _∞

−∞u(ω)b ψ(aω)b e^iωbdω (3.19) B.1.3 Transformation de Wigner-Ville

On appelle transformation ou distribution de Wigner-Ville⁽⁴⁶⁾ d’un signal u(t), la fonction r´eelleWu(b, ω) continue en l’ensemble des deux variablesb etω d´efinie par :

Wu(b, ω) =

La construction d’une telle transformation par J. Ville cherchait `a d´eployer l’´energie du signal dans le plan temps-fr´equence et d’obtenir une densit´e d’´energie qui poss`ede les deux propri´et´es suivantes :

Z +∞

40Ainsi un signal peut ˆetre d´ecrit `a l’aide d’une famille d´enombrable de fonctions ´el´ementaires. En 1986, Yves Meyer et ses collaborateurs proposent des fonctions m`eres pour lesquelles ces familles sont orthogonales et d´ecouvrent ainsi les premi`eres bases orthogonales d’ondelettes. La notion d’analyse multi-r´esolution introduite peu apr`es par St´ephane Mallat et Yves Meyer permet d’appr´ehender le probl`eme de construction de telles bases dans un cadre g´en´eral et conduit `a la mise au point d’algorithmes rapides.

Citons l’ouvrage suivant : Meyer Y., (1992) Les ondelettes, algorithmes et applications. Armand Collin, Paris.

41Comme pour la transform´ee de Fourier, la transform´ee en ondelettes peut aussi donner lieu `a des algorithmes efficaces pour le calcul num´erique. Ainsi l’invention de la FFT(Fast Fourier Transform) vers le milieu des ann´ees 60 par Cooley et Tuckey a fait chuter le nombre d’op´erations, pour un signal discret deN valeurs, deN<sup>2</sup> `aN log2(N) (ce qui est un gain consid´erable !). Pour la transform´ee en ondelettes, les algorithmes rapides sont bas´es sur deux op´erateursH etG, qui effectuent des convolutions avec deux suitesh(n) etg(n). Par exemple, si on se limite `a une famille d’ondelettes formant une base orthonorm´ee, les op´erateursH etGprennent la forme : (Hu)(n) =P

kh(k)u(2n−k) et (Gu)(n) =P

kg(k)u(2n−k). Ces convolutions sont des convolutions particuli`eres `a cause du facteur 2 intervenant dans le facteuru(2n−k) traduisant le fait que la convolution est suivie d’un

sous-´echantillonnage. Ainsi chaque application de ces op´erateurs r´eduit la longueur de la suite d’un facteur 2. Si nous partons d’une suite discr`ete deNvaleurs deu, on montre que la complexit´e de l’algorithme correspondant de d´ecomposition en base d’ondelettes estN.

42De par la richesse des concepts qu’elle met en jeu et l’efficacit´e de sa mise en œuvre algorithmique, l’analyse en ondelettes a ´et´e exploit´ee avec succ`es dans des domaines aussi vari´es que l’analyse fonctionnelle, la physique th´eorique, l’analyse et le traitement du signal et des images, la th´eorie des fractales.

43Nous avons retenu la normalisation des ondelettes en normeL¹(R) de telle sorte que kψ(b,a)k¹ = kψk¹. On peut trouver

45Cette relation pourafix´e peut ˆetre vue comme la transform´ee de Fourier inverse deu(ω)b ψ(aω).b

46La transformation de Wigner-Ville a ´et´e introduite pour la premi`ere fois par E. Wigner en 1932 dans le contexte de la m´ecanique quantique et reprise en 1948 par J. Ville dans la th´eorie du signal.

Ces deux propri´et´es sont insuffisantes pour d´efinir la transformation de Wigner-Ville par la relation (3.20)⁽⁴⁷⁾. La transformation de Wigner-Ville est bien adapt´ee pour une classe sp´ecifique de signaux `a cause de ses propri´et´es de localisation optimales⁽⁴⁸⁾. Ainsi, la localisation de la transformation de Wigner-Ville est optimale dans le domaine temporel pour les signaux de type Dirac et elle est encore optimale dans le domaine fr´equentiel pour des signaux avec une fr´equence pure et des chirps lin´eaires⁽⁴⁹⁾.

La transformation de Wigner-Ville est r´eelle et non-lin´eaire en u ⁽⁵⁰⁾. Elle cr´ee des interactions entre temps

´eloign´es et fr´equences ´eloign´ees, ce qui rend l’usage de cette “ densit´e ” tr`es d´elicat mais apparemment tr`es efficace pour des signaux de courte dur´ee.