Application au cas d’une charge mobile sur une poutre

Le pont est sch´ematis´e par une poutre d’Euler-Bernoulli en appui simple en ses deux extr´emit´es. La poutre est homog`ene, de longueurℓ, de section constanteS, de masse par unit´e de longueurµ et de module d’Young E.

Pour la poutre seule sur appuis simples, l’´equation aux d´eriv´ees partielles qui r´egit les vibrations libres transverses de la poutre :

EI ∂⁴y(x, t)

∂x⁴ +µ∂²y(x, t)

∂t² = 0 (4.14)

avec les conditions aux limites suivantes : y(0, t) = 0, ∂²y(x, t) m´ethode de s´eparation des variablesy(x, t) =φ(x)q(t) permet d’obtenir les pulsations propres :ωn =¡_nπ

ℓ

. Finalement, la r´eponse transverse globale est la superposition des r´eponses modales :

sont d´etermin´ees `a partir des conditions initiales⁽⁷⁰⁾. Finalement, la solution s’´ecrit : y(x, t) = 2

Par la suite, on introduit dans le comportement de la poutre, un amortissement visqueux proportionnel `a la vitesse de vibration. L’´equation (4.14) devient :

EI ∂⁴y(x, t)

”. On remarque que si l’on prolonge y0(x) en tant que fonction dexpar imparit´e, puis par

p´eriodicit´e de p´eriode 2ℓ, l’´egalit´e pr´ec´edente est le d´eveloppement en s´eries de Fourier du prolongement de y0(x). On a donc : An= ²_ℓRℓ

et en suivant le mˆeme raisonnement, on obtient que : Bn =_ω²

On suppose qu’`a l’instant initial o`u la charge arrive en l’extr´emit´e situ´ee `a gauche (x= 0), la poutre est au repos, i.e ; sa d´eflection et sa vitesse sont nulles en tout point. Les conditions initiales s’´ecrivent alors :

y(x,0) = 0 et ∂y(x, t)

Plusieurs mod`eles de charges circulant `a vitesse constanteV ont ´et´e ´etudi´es :(1) une charge statiqueM , (2) une charge statique `a deux essieux, constitu´ee de deux charges statiquesM1 et M2 s´epar´ees par une distance d. et(3)un oscillateur form´e d’une massempos´ee sur un ressort de rigidit´eken parall`ele avec un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissementc. On suppose que la masse de la charge mobile est faible compar´ee `a celle de la poutre, ce qui entraˆıne que seuls les effets de la gravit´e sur la masse mobile seront pris en compte.

La d´emarche pour obtenir la r´eponse analytique de la d´eflection de la poutrey(x, t) est donn´ee ici uniquement pour le cas (1) de la charge statiqueM circulant `a la vitesseV sur la poutre. L’´equation aux d´eriv´ees partielles qui r´egit les vibrations transverses de la poutre s’´ecrit alors :

EI ∂⁴y(x, t)

∂x⁴ +µ∂²y(x, t)

∂t² + 2µωb∂y(x, t)

∂t =δ(x−V t)M g (4.18)

En s’inspirant de la r´eponse obtenue en relation (4.15), on recherche la solution de l’edp (4.18) sous la forme : y(x, t) = 2

dx. On multiplie ensuite l’edp (4.18) par sin¡ nπ^x_ℓ¢

et on int´egre suivant x entre 0 etℓet on utilise les conditions aux limites ainsi que les propri´et´es de la fonction de Dirac. Finalement, en posantβn =_ω^ωb

n et Ω = ^πV_ℓ , on obtient l’´equation diff´erentielle du second ordre suivante : Y¨(n, t) + 2βnωnY˙(n, t) + ω²_nY(n, t) =M g

µ sin (nΩt) (4.20)

Les conditions initales (4.17) permettent d’´ecrire que :

Y(n,0) = 0 et ˙Y(n,0) = 0. Pourn fix´e, l’´equation diff´erentielle (4.20) avec les conditions initiales pr´ec´edentes peut ˆetre vue comme celle qui r´egit la r´eponse d’un oscillateur lin´eaire visqueux soumis `a une force harmonique F(t) =F0sin (nΩt) avecF0= ^{M g}_µ , avec des conditions initiales nulles et dont la pulsation propre de l’oscillateur conservatif associ´e vaut :ωn=¡_nπ

La solution globale de l’´equation (4.20)⁽⁷¹⁾s’´ecrit comme la somme de la solution g´en´erale en r´egime transitoire Y1(n, t)⁽⁷²⁾et de la solution en r´egime permanent Y2(n, t)⁽⁷³⁾: En tenant compte des conditions initiales, on obtient :

An = M g A partir de la relation (4.19), on obtient l’expression g´en´erale dey(x, t) :

71La technique la plus courante pour r´esoudre l’´equation diff´erentielle (4.20) est l’utilisation de la transform´ee de Laplace. La transform´ee de Laplace deY(n, t) s’´ecrit alors :T.L.{Y(n, t)}(p) = ^{M gnΩ}_{µ p}2+n^p2Ω²

y(x, t) = 2M g rappelle l’expression de la d´eflection en milieu de trav´ee d’une poutre sur appuis simples soumise `a une charge statiqueM gqui vaut :y0=^{M g ℓ}_48EI³. Il approche ensuite^{2M g ℓ}_π4EI³ =_µℓω^{2M g}2

1 pary0et par suite _{µℓ ω}^{2M g}2 n =_n¹4

2M g

µℓω²₁ ≃ _n¹⁴y0

et la relation pr´ec´edente (4.21) devient⁽⁷⁵⁾ : y(x, t) = y0

Dans le cas d’un oscillateur de masse m, de raideur k et d’amortissement c, la pr´esence de l’oscillateur fait intervenir un couplage entre les oscillations de la charge not´eesu(t) et celles de la poutrey(x, t), on obtient le syst`eme diff´erentiel suivant :

La technique utilisant le filtrage de Kalman a ´et´e test´ee sur la d´eflection d’une poutre simplement appuy´ee avec un oscillateur en mouvement. Le but est de d´eterminer la masse et la vitesse de l’oscillateur en mouvement sur une poutre `a partir de la r´eponse transverse de la poutre `a son passage. Les caract´eristiques m´ecaniques et g´eom´etriques de la poutre sont connues. Elle n´ecessite une repr´esentation d’´etat du syst`eme ´etudi´e et nous a permis une estimation de l’´etat et des param`etres de l’oscillateur. La r´esolution de ce probl`eme est faite `a l’aide d’une proc´edure d’estimation lin´eaire ou non suivant le vecteur d’´etat retenu par filtrage de Kalman.

Les caract´eristiques de la poutre sont : longueur : 50m, section 7.5m², moment d’inertie I = 6.0m², module d’YoungE= 3.34 10¹⁰N/m² et masse lin´eique de la poutreµ= 1800kg/m. Deux cas ont ´et´e examin´es suivant que l’oscillateur a ou n’a pas d’´energie initiale en arrivant sur la poutre. Le vecteur d’´etat est form´e des d´eflections de la poutre `a un instant donn´e plus des param`etres `a identifier. Les d´eflections de la poutre ont ´et´e calcul´ees par le logiciel NASTRAN et ont ´et´e perturb´ees par plusieurs s´equences bruit´ees dont l’amplitude peut atteindre jusqu’`a 15% du maximum de la d´eflection mesur´ee. Le tableau ci-dessous pr´esente les r´esultats des simulations num´eriques obtenues lorsque l’on prend pour mesure d’observation la d´eflection de la poutre (y(x0, tk))_k∈I :

Les r´esultats des diverses simulations num´eriques sont d’une pr´ecision satisfaisante. On peut noter la pr´ecision des estimations de la masse de la charge mˆeme si certains autres param`etres tels l’amortissement de la poutre sont identifi´es de fa¸con plus grossi`ere. Mais la difficult´e d’estimer certaines quantit´es ne vient pas directement d’une faiblesse de l’algorithme mais plutˆot de la faible influence de ces quantit´es sur la r´eponse de la poutre.

Production r´ealis´ee

– 2rapports de stage de DEA : de Jacques Sainte-Marie 1995 et de Houman Kamalzadeh 1996.

74Ladislav Fryba. 1999, Vibration of solids and structures under moving loads, 3rd Edition, Thomas Telford Editors.

75`a l’aide des changements suivants :βnωn=ω_bet

cas M^{est Mest}_M^−M V^{est Vest}_V^−V ω^{est ωest}_ω^−ω β^{est βest}_β^−β

(1) 20 926 4.63% 20.8 4.0% 10.45 4.5% 0.159 59%

(2) 20 734 3.67% 20.5 2.5% 9.70 −3.0% 0.166 66%

Tab. 4.4Vecteur d’´etat g´en´eralis´e estim´e `a partir de la d´eform´ee du syst`eme poutre-charge calcul´e avec NASTRAN

– 2publications dans colloque avec actes :

– 1 au 12`eme Congr`es fran¸cais de M´ecanique, 1995 [CONF24].

– 1 `a Int. Symposium on New Advances in Modal Synthesis of Large Structures Non-linear, Damped and Non-determistic Cases, Lyon 1995 [CONF26].