On consid`ere maintenant un syst`eme dynamique `a N degr´es de libert´e, lin´eaire avec amortissement visqueux proportionnel, en supposant l’hypoth`ese de Basile(32). La r´eponse libre d’un tel syst`eme lin´eaire en termes de d´eplacement s’exprime comme la superposition des contributions de chaque mode. Le vecteur d´eplacement u(t) est d´efini par :
u(t) = Φ U (t) =
N
X
r=1
Ur(t) φr (3.11)
ou encore sous forme des composantes, uj(t) d´esignant la r´eponse en un point j du syst`eme :
uj(t) =
N
X
r=1
ΦjrUr(t) (3.12)
La r´eponse transitoire du mode r, de type d´eplacement, not´e Ur(t), peut se mettre sous la forme :
Ur(t) = e−τrωrt " ˙ Ur(0) + τrωrUr(0) e ωr sin eωrt + Ur(0) cos eωrt # Y(t) (3.13)
o`u τr, ωr et eωr sont respectivement pour le mode r, le taux d’amortissement, la pulsation propre du syst`eme conservatif associ´e et la pseudo-pulsation propre : eωr = ωr
p 1 − τ2
r. Ur(0) et ˙Ur(0) sont respectivement le d´eplacement et la vitesse initiale pour le mode r qui s’expriment `a partir des d´eplacements et des vitesses initiaux impos´es exprim´es dans les coordonn´ees g´eom´etriques du d´epart : Ur(0) = φ
t rM u(0) Mr et ˙Ur(0) = φ t rM v(0) Mr (33).
La relation (3.13) peut ensuite s’´ecrire :
Ur(t) = Ar(t) cos(ϕr(t)) = Bre−τrωrt Y(t) cos (eωrt − ψr) (3.14) en posant Ar(t) = Bre−τrωrtY(t) et ϕr(t) = eωrt − ψr o`u Br=p C2 r+ D2 r et tan(ψr) = √τr 1−τ2 r + U˙r(0) e ωrUr(0) avec Cr= Ur(0) et Dr= U˙r(0)+τrωrUr(0) e
ωr . La condition d’asymptoticit´e pour Ur(t) donn´ee en relation (3.9) se traduit par :
τrωr≪ eωr (3.15)
ce qui est v´erifi´e lorsque τr est tr`es inf´erieur `a √1
2 qui est la valeur pour laquelle on n’a plus d’amplification dynamique (ce qui est g´en´eralement le cas de vibrations de structures r´eelles).
B Repr´esentations temps-fr´equence
Ce paragraphe est consacr´e `a l’analyse temps-fr´equence en dimension 1 . Il est tr`es loin d’ˆetre exhaustif et la litt´erature scientifique sur les transformations ou distributions temps-fr´equence est d’ailleurs tr`es abondante. Deux transformations lin´eaires (transformations en gaborettes et en ondelettes) et une transformation non lin´eaire (la transformation de Wigner -Ville(34)) ont retenu mon attention. Seule, l’analyse par ondelettes que j’utilise depuis cinq ans environ pour le traitement des signaux vibratoires, est trait´ee ici avec plus de d´etails.
32L’hypoth`ese de Basile affirme que la matrice d’amortissement visqueux est diagonale dans la base des modes propres du syst`eme conservatif associ´e.
33Mrd´esigne la masse g´en´eralis´ee relative au mode r : Mr= φt rM φr.
B.1 Pr´esentation et d´efinition de trois repr´esentations temps-fr´equence
B.1.1 Analyse continue par gaborettes
Au milieu des ann´ees 1940, Gabor sugg´erait de rendre locale l’analyse de Fourier, en s’aidant de fenˆetres(35). En multipliant la fonction ´etudi´ee par une fenˆetre, on en obtient une version “locale”, dont on peut d´eterminer le contenu fr´equentiel par l’analyse de Fourier classique. On renouvelle alors l’op´eration en d´epla¸cant la fenˆetre d’analyse. L’ensemble de ces transform´ees de Fourier ainsi localis´ees forme la transform´ee de Gabor du signal :
Gg[u] (b, ω) = u, g(b,ω) ® L2(R)= Z R
u(t)g(t− b)e−iω(t−b)dt (3.16)
o`u g(b,ω)= g(t − b)eiω(t−b)est appel´ee ondelettes de Gabor ou gaborettes.
et fournit donc une analyse fr´equentielle locale. De mˆeme que la transform´ee de Fourier, la transform´ee de Gabor d’un signal contient toutes les informations port´ees par le signal. Par cons´equent, le signal peut ˆetre reconstruit `a partir de sa transform´ee de Gabor comme une somme de gaborettes, qui ne sont autres que des sinuso¨ıdes localis´ees par des fenˆetres du mˆeme type que celles utilis´ees pour la transformation de Gabor. A chacune de ces gaborettes sont attach´es une fr´equence et un temps bien d´etermin´es. Le poids d’une gaborette dans un signal n’est autre que la valeur de sa transform´ee de Gabor pour la fr´equence et le temps correspondants. Pour clˆoturer cette courte pr´esentation, nous allons ´ecrire la transform´ee de Gabor de u(t) comme une transform´ee de Gabor de sa transform´ee de Fourier bu(ω) (relation obtenue `a partir de la formule de Plancherel qui sera d´etaill´ee plus loin) :
Gg[u] (b, ω) = 1 2π
Z
Ru(ξ)b bg(ξ − ω)eiξ bdξ (3.17) B.1.2 Analyse continue par ondelettes
En 1982, pour rem´edier aux limitations de l’analyse de Fourier(36), Morlet propose une transformation qui permet une repr´esentation du signal dans le temps (ou l’espace) et dans les ´echelles. Grossmann et Morlet (1984) donnent un cadre rigoureux aux concepts de la nouvelle d`Ecomposition temps-`Echelle. Ils d`Emontrent notamment que pour qu’un signal temporel puisse ´Itre d`Ecompos`E sous forme d’une combinaison lin`Eaire de fonctions `El`Ementaires localis`Ees en diff`Erents instants et ayant des tailles diff`Erentes, il faut que la fonction m¨Ere pr`Esente quelques oscillations et donc ressemble ‡ une ondelette, une ’onde’ localis`Ee, par comparaison au terme ’onde’ seul, qui signifie une oscillation qui se propage ind`Efiniment. C’est ainsi que na ´Ot la th`Eorie des ondelettes.
L’analyse continue par ondelettes est apparue sous “ses formes modernes” au d´ebut des ann´ees 80, dans un article de Grossmann et Morlet qui donnent un cadre rigoureux aux concepts de la nouvelle d´ecomposition temps (ou espace)-´echelle(37). Ils d´emontrent notamment que pour que le signal ´etudi´e puisse ˆetre d´ecompos´e sous forme d’une combinaison lin´eaire de fonctions ´el´ementaires localis´ees en diff´erents points de l’espace et ayant des tailles diff´erentes, il faut que la fonction m`ere pr´esente quelques oscillations et donc ressemble `a une ondelette(38). C’est ainsi que naˆıt la th´eorie des ondelettes. Depuis elle connaˆıt un essor important avec no-tamment les travaux de Daubechies(39) et de Meyer qui ´etablissent le pendant discret de la d´ecomposition en
35Une fenˆetre est une fonction r´eguli`ere, lentement variable, et bien localis´ee (ce qui signifie qu’elle est nulle en dehors d’une certaine zone, son support).
36En 1982, Morlet est un ing´enieur chez Elf Aquitaine, int´eress´e par l’´etude des signaux sismiques intervenant dans la recherche p´etroli`ere. Il ´etudie le probl`eme suivant : on g´en`ere des ondes acoustiques `a la surface de la terre et on enregistre les ondes r´efl´echies ; parmi les donn´ees recueillies, Morlet cherche `a d´eterminer l’influence de chaque couche de s´ediments au moyen des fr´equences instantan´ees des ondes r´efl´echies (on utilise le fait que certaines ondes restent pi´eg´ees `a l’int´erieur d’une couche et d’autres non). Morlet s’aper¸coit que les d´ecompositions spectrales “classiques ” telles que la transformation de Fourier, la transformation de Fourier `
a fenˆetre glissante sont mal adapt´ees `a l’analyse de signaux combinant plusieurs ´echelles caract´eristiques. Ainsi les ondelettes de Gabor oscillent trop aux hautes fr´equences (introduisant une importante instabilit´e num´erique lors du calcul des coefficients : C(m, n) =R
Ru(t) g(t − nb) e−im ωtdt pour m ∈ Z et n ∈ Z) et pas assez aux basses fr´equences et de plus ne permettent pas de formule de reconstruction r´eellement pratique.
37A. Grossmann & J. Morlet, 1984. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shapes. SIAM J. Math. Anal. 15, pp. 723-736.
38La terminologie “ondelette” est employ´ee par comparaison au terme “onde” qui signifie une oscillation qui se propage ind´efiniment.
39Aux environs de 1985, Daubechies en collaboration avec Yves Meyer et Alex Grossmann, introduisit une approche discr`ete qui permet aux fonctions d’ˆetre reconstruites `a partir d’un ensemble discret de valeurs. En 1992, elle publia le livre : “Ten lectures on wavelets”.
ondelettes (approche algorithmique)(40). Les algorithmes rapides(41)mis au point, combin´es aux bases d’onde-lettes `a support compact construites par Daubechies font de la transformation en onded’onde-lettes un outil num´erique puissant(42). En d´epit de sa jeunesse, la transformation en ondelettes et ses applications font l’objet d’une abondante litt´erature. L’un des points essentiels qu’elle nous enseigne est qu’un objet math´ematique (fonction, signal, op´erateur,...) peut ˆetre repr´esent´e de multiples fa¸cons, chacune de ses repr´esentations permettant de mettre l’accent sur certaines caract´eristiques de l’objet ´etudi´e.
Soit une fonction ψ(t) ∈ L1(R)T
L2(R) qui va jouer le rˆole de l’ondelette m`ere. On d´efinit la famille d’ondelettes ψ(b,a)par ψ(b,a)(t) = 1aψ¡t−b
a
¢
. La transform´ee en ondelettes continue (TOC) avec l’ondelette m`ere ψ d’un signal u(t) d’´energie finie est donn´ee par l’int´egrale(43):
Tψ[u](b, a) = u, ψ(b,a) ® L2(R)= 1 a Z +∞ −∞ u(t) ψ µ t − b a ¶ dt (3.18)
La relation (3.18) peut ˆetre ´egalement vue comme un produit de convolution(44); ce qui permet d’´ecrire la TOC sous une forme duale(45) o`u apparaissent les transform´ees de Fourier de u(t) et de ψ(t) :
Tψ[u] (b, a) = 1 2π
Z ∞
−∞u(ω) bb ψ(aω) eiωbdω (3.19) B.1.3 Transformation de Wigner-Ville
On appelle transformation ou distribution de Wigner-Ville(46) d’un signal u(t), la fonction r´eelle Wu(b, ω) continue en l’ensemble des deux variables b et ω d´efinie par :
Wu(b, ω) = Z +∞ −∞ u³ b + τ 2 ´ u³ b − τ2´e−i ω τdτ = 1 2π Z +∞ −∞ bu µ ω +ξ 2 ¶ b u µ ω −ξ2 ¶ ei ξ bdξ (3.20)
La construction d’une telle transformation par J. Ville cherchait `a d´eployer l’´energie du signal dans le plan temps-fr´equence et d’obtenir une densit´e d’´energie qui poss`ede les deux propri´et´es suivantes :
Z +∞ −∞ Wu(t, ω)dω 2π = |u(t)|2 (3.21) Z +∞ −∞ Wu(t, ω) dt = |bu (ω) |2 (3.22)
40Ainsi un signal peut ˆetre d´ecrit `a l’aide d’une famille d´enombrable de fonctions ´el´ementaires. En 1986, Yves Meyer et ses collaborateurs proposent des fonctions m`eres pour lesquelles ces familles sont orthogonales et d´ecouvrent ainsi les premi`eres bases orthogonales d’ondelettes. La notion d’analyse multi-r´esolution introduite peu apr`es par St´ephane Mallat et Yves Meyer permet d’appr´ehender le probl`eme de construction de telles bases dans un cadre g´en´eral et conduit `a la mise au point d’algorithmes rapides. Citons l’ouvrage suivant : Meyer Y., (1992) Les ondelettes, algorithmes et applications. Armand Collin, Paris.
41Comme pour la transform´ee de Fourier, la transform´ee en ondelettes peut aussi donner lieu `a des algorithmes efficaces pour le calcul num´erique. Ainsi l’invention de la FFT(Fast Fourier Transform) vers le milieu des ann´ees 60 par Cooley et Tuckey a fait chuter le nombre d’op´erations, pour un signal discret de N valeurs, de N2 `a N log2(N ) (ce qui est un gain consid´erable !). Pour la transform´ee en ondelettes, les algorithmes rapides sont bas´es sur deux op´erateurs H et G, qui effectuent des convolutions avec deux suites h(n) et g(n). Par exemple, si on se limite `a une famille d’ondelettes formant une base orthonorm´ee, les op´erateurs H et G prennent la forme : (Hu)(n) =P
kh(k)u(2n − k) et (Gu)(n) =Pkg(k)u(2n − k). Ces convolutions sont des convolutions particuli`eres `a cause du facteur 2 intervenant dans le facteur u(2n − k) traduisant le fait que la convolution est suivie d’un sous-´echantillonnage. Ainsi chaque application de ces op´erateurs r´eduit la longueur de la suite d’un facteur 2. Si nous partons d’une suite discr`ete de N valeurs de u, on montre que la complexit´e de l’algorithme correspondant de d´ecomposition en base d’ondelettes est N .
42De par la richesse des concepts qu’elle met en jeu et l’efficacit´e de sa mise en œuvre algorithmique, l’analyse en ondelettes a ´et´e exploit´ee avec succ`es dans des domaines aussi vari´es que l’analyse fonctionnelle, la physique th´eorique, l’analyse et le traitement du signal et des images, la th´eorie des fractales.
43Nous avons retenu la normalisation des ondelettes en norme L1(R) de telle sorte que kψ(b,a)k1 = kψk1. On peut trouver diff´erentes normalisation en particulier la normalisation en norme L2(R) o`u ψ(b,a)(t) =√1aψ“
t−b a
”
44Tψ[u](b, a) = Pψa∗ u(b) o`u P est l’op´erateur de parit´e d´efini par P{u}(t) = u(−t) ;
∗ d´esigne le produit de convolution (u ∗ v) (t) =RRu(τ )v(t − τ )dτ et ψaest la dilatation de la fonction ψ : ψa=1 aψ`·
a
´ .
45Cette relation pour a fix´e peut ˆetre vue comme la transform´ee de Fourier inverse deu(ω) bb ψ(aω).
46La transformation de Wigner-Ville a ´et´e introduite pour la premi`ere fois par E. Wigner en 1932 dans le contexte de la m´ecanique quantique et reprise en 1948 par J. Ville dans la th´eorie du signal.
Ces deux propri´et´es sont insuffisantes pour d´efinir la transformation de Wigner-Ville par la relation (3.20)(47). La transformation de Wigner-Ville est bien adapt´ee pour une classe sp´ecifique de signaux `a cause de ses propri´et´es de localisation optimales(48). Ainsi, la localisation de la transformation de Wigner-Ville est optimale dans le domaine temporel pour les signaux de type Dirac et elle est encore optimale dans le domaine fr´equentiel pour des signaux avec une fr´equence pure et des chirps lin´eaires(49).
La transformation de Wigner-Ville est r´eelle et non-lin´eaire en u (50). Elle cr´ee des interactions entre temps ´eloign´es et fr´equences ´eloign´ees, ce qui rend l’usage de cette “ densit´e ” tr`es d´elicat mais apparemment tr`es efficace pour des signaux de courte dur´ee.