Nous allons dans ce paragraphe, nous limiter `a une composante de la somme dans la relation (3.1) que nous notons pour la suite :
u(t) = A(t) cos(ϕ(t)) (3.4) o`u A(t) est une fonction positive causale (nulle pour des instants n´egatifs).
On peut d’ailleurs noter que n’importe quel signal r´eel arbitraire peut se mettre sous cette forme. Le spectre moyen de puissance de u(t) vaut : Eu=12R∞
0 A2(t) cos2(ϕ(t)) dt. La d´eriv´ee de u(t) vaut :
˙u(t) = A(t) s ˙ A2(t) A2(t)+ ˙ϕ 2(t) [cos(ϕ(t) + χ(t))] (3.5)
o`u χ(t) est tel que : tg(χ(t)) = ϕ(t) A(t)˙A(t)˙ ( cos(χ(t)) =r 1
˙ A2(t) A2(t)+ ˙ϕ2(t) ˙ A(t) A(t). )
Les trois qualificatifs associ´es `a u(t) `a savoir : signal complexe , signal analytique et signal asymptotique seront examin´es dans les trois paragraphes suivants et quelques exemples de signaux seront pr´esent´es ; en particulier, le cas o`u on peut mettre ϕ(t) sous la forme : ϕ(t) = ω0t + ϕ0(t) avec ω0= 2πf0 et o`u ϕ0(t) appartient `a L∞(R).
A.2.1 Signal complexe associ´e
Le signal complexe ou exponentiel associ´e `a u(t) est d´efini par :
uq(t) = A(t) eiϕ(t)= u(t) + iA(t) sin(ϕ(t))
La partie r´eelle et imaginaire de uq sont en quadrature de phase (en d´ephasage de π2). On note que comme u(t), uq(t) est causal. On d´eduit que : u(t) = ℜ {uq(t)} o`u ℜ {·} d´esigne la partie r´eelle du nombre complexe. On a encore :
2bu(ω) = buq(ω) +ubq(−ω). (3.6) On v´erifie la propri´et´e d’hermitivit´e(21) de bu(ω) li´ee au fait que u(t) est un signal r´eel. On trouve aussi que : |bu(ω)|2= |buq(ω)|2+ |buq(−ω)|2+ 2ℜ {buq(ω) buq(−ω)} .Par suite Eu= 2Euq+π1R+∞
0 ℜ {buq(ω) buq(−ω)} dω. L’´energie totale de uq(t) vaut : Euq = 1
2
R∞
0 |uq(t)|2dt = 1 2
R∞
0 A2(t) dt. Il est imm´ediat que : Eu≤ Euq. Finalement, la d´eriv´ee de uq(t) s’´ecrit : duq(t)
dt = uq(t) (A ′ (t) A(t) + i ϕ′(t)) ⇒ u′ q(t) uq(t)= A ′ (t) A(t) + i ϕ′(t).
A.2.2 Signal analytique associ´e
Il est imm´ediat que la repr´esentation de u(t) donn´ee en relation (3.1) par le couple (A(t),ϕ(t)) n’est pas unique. Un autre choix possible(22), propos´e classiquement, est le signal analytique, not´e ua(t) et qui s’obtient `a partir du signal r´eel u(t) en annulant les valeurs du spectre pour les fr´equences n´egatives ; ceci a pour effet de “complexifier” le signal initial :
ua(t) = (1 + iH) {u(t)} (3.7) o`u H d´esigne la transformation de Hilbert(23). On obtient :
c
ua(ω) = 2Y(ω) bu(ω) = Y(ω)(buq(ω) + buq(−ω)) o`u Y(ω) est la fonction de Heaviside.
Finalement, on a(24) : u(t) = ℜ {ua(t)}
20Citons par exemple, le paragraphe “Transformation en ondelettes et analyse des singularit´es” (pp. 24-28) de l’ouvrage de A. Arn´eodo, F. Argoul, E. Bacry, J. Elezgaray et J-F. Muzy, 1995. Ondelettes, multifractales et turbulences (de l’ADN aux croissances cristallines), Diderot Editeur, Arts et Sciences.
21bu(−ω) = bu(ω).
22J. Ville, en 1948, propose un couple canonique (Aa(t),ϕa(t)) o`u Aa(t) est `a valeurs r´eelles strictement positives et ϕa prend ses valeurs dans l’intervalle [0, 2π]. On peut alors introduire une notion de fr´equence instantan´ee d´efinie par : ν(t) = 2π1 dϕa
dt .
23On rappelle que la transform´ee de Fourier de H {u(t)} vaut : \
H {u(t)}(ω) = −i sgn(ω) bu(ω).
24ua(t) = 22π1 R∞
L’´energie totale Eua de ua(t) est le double de celle Eu de u(t)(25). On note que l’´energie de la partie r´eelle de ua(t) qui est en fait u(t) est ´egale `a celle de la partie imaginaire H {u(t)} : Eℜ{ua(t)}= Eu= EH{u(t)}. On obtient les relations suivantes : Eu≤ Euq et Eua = 2Eu≤ 2Euq.
Le signal analytique associ´e `a u(t) n’a a priori aucune raison d’ˆetre ´egal au signal exponentiel associ´e ; d’un point de vue physique, on se rapprochera d’autant plus de cette situation que les effets de modulations seront faibles. Nous ´etudions donc la diff´erence ua(t) − uq(t) qui est imaginaire pur et nous cherchons `a majorer sa norme. On trouve que : ua(t) − uq(t) = −1πi ℑnR0
−∞ubq(ω)eiωtdωo
(26)
dont on peut majorer la valeur absolue par : |ua(t) − uq(t)| < π1
R0
−∞|cuq(ω)| dω
Etudions pour finir, le rapport de l’´energie de la diff´erence : ua(t) − uq(t) sur l’´energie totale du signal u(t) :
∆Eaq
Eu . Il constitue une mesure relative de l’approximation de ua(t) par uq(t). De fa¸con g´en´erale, on trouve que(27): ∆Eaq= 1 2π Z 0 −∞|cuq(ω)|2dω (3.8) et finalement : ∆Eaq Eu = R0 −∞|cuq(ω)|2dω R∞ 0 |bu(ω)|2dω . A.2.3 Signal asymptotique
Le signal u(t) est dit asymptotique lorsque les variations relatives de A(t) sont tr`es lentes par rapport `a celle de la phase ϕ(t), c’est-`a-dire : | ˙ϕ(t)| ≫ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ˙ A(t) A(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (3.9)
Dans ce cas, le signal analytique peut ˆetre approch´e par le signal complexe : ua(t) ≈ uq(t). Le qualiificatif “asymptotique” est li´e comme son nom l’inndique `a un comportement `a la limite. Plus pr´ecis´ement, Carmona et al.(28) montrent le lemme suivant : Soit λ un nombre positif (grand) et soit u(λ)(t) = A(t) cos(λφ(t)) o`u A(t) et φ(t) sont respectivement des fonctions deux et quatre fois continˆument diff´erentiables, alors le signal analytique u(λ)a (t) = A(t) eiλφ(t)+ O(λ−1.5) lorsque λ → ∞ .
En pratique, le param`etre λ n’est pas `a notre disposition et le lemme pr´ec´edent peut ˆetre interpr´et´e par le fait que, lorsque les oscillations provenant du terme de phase ϕ(t) sont beaucoup rapides que les variations provenant du terme d’amplitude A(t), alors
ua(t) ≈ uq(t) = A(t) eiϕ(t)
Asymptoticit´e du signal d´eriv´e
On se pose maintenant la question si u(t) d´efini plus haut, est asymptotique, qu’en est-il pour sa d´eriv´ee ˙u(t) ? u(t) est asymptotique donc : | ˙ϕ(t)| ≫¯¯¯A(t)A(t)˙
¯ ¯ ¯. On en d´eduit : ˙u(t) = A(t)p ˙ ϕ2h cos(ϕ(t) +π2sgn( ˙A ˙ϕ))i
= sgn( ˙A ˙ϕ) A(t) | ˙ϕ| sin(ϕ(t)) = sgn( ˙A) A(t) ˙ϕ(t) sin(ϕ(t))
On suppose ensuite que A(t) est une fonction d´ecroissante alors sgn( ˙A) = −1 et ˙u(t) = − A(t) ˙ϕ(t) sin(ϕ(t)) Si on pose B(t) = A(t)p
˙
ϕ2et ψ(t) = ϕ(t) − π
2sgn( ˙ϕ))
On a alors : B(t)B(t)˙ =A(t)A(t)˙ +ϕϕ¨˙ et ˙ψ(t) = ˙ϕ(t) − πδ ( ˙ϕ) ¨ϕ o`u δ ( ˙ϕ) =P
nδ(t−tn)
| ¨ϕ(tn)| avec ˙ϕ(tn) = 0 et ¨ϕ(tn) 6= 0. Pour que ˙u(t) soit asymptotique, il faut que
¯ ¯ ¯ϕϕ¨˙
¯ ¯
¯ soit tr`es inf´erieur `a | ˙ϕ(t)|.
25Eua= 1 2 R∞ −∞|ua(t)|2dt =1 22π1 R∞ −∞|bua(ω)|2dω = 21 2π R∞ 0 |bu(ω)|2dω = 2Eu.
26ua(t) − uq(t) = i (ℑ {ua(t)} − ℑ {uq(t)}) = i (H {u(t)} − A(t) sin(ϕ(t))) = 2π1 R−∞0 hubq(ω)e−iωt − buq(ω)eiωti dω = −2π2 i ℑnR0 −∞ubq(ω)eiωtdωo . 27∆Eaq=1 2 R+∞ −∞|ua(t) − uq(t)|2dt =1 22π1 R+∞
−∞|bua(ω) − buq(ω)|2dω. Or, on sait que : b
ua(ω) − buq(ω) = Y(ω)(buq(ω) +ubq(−ω)) − buq(ω) et par suite ∆Eaq= 1 2π
R0
−∞|cuq(ω)|2dω.
28Ren´e Carmona a ´ecrit avec B. Torr´esani et W-L. Hwang un ouvrage publi´e en anglais en 1998 par Academic Press : “Practical time-frequency analysis. Gabor and wavelet transforms with an implementation in S”.
A.2.4 Quelques exemples d’applications analytiques
Examinons le cas o`u ϕ(t) = ω1t + ϕ0(t) avec ω1 = 2πf1 avec une phase instantan´ee ϕ0(t) appartenant `a L∞(R). Le signal u(t) d´efini en relation (3.4) s’´ecrit donc :
u(t) = A(t) cos(ω1t + ϕ0(t)) (3.10)
Au lieu de la d´ecomposition en amplitude et en phase ; on trouve parfois la d´ecomposition en quadrature : u(t) = m(t) cos(ω1t) + n(t) sin(ω1t)
avec m(t) = A(t) cos(ϕ0(t)) et n(t) = −A(t) cos(ϕ0(t)).
On introduit ensuite la fonction u0(t) qui est l’amplitude complexe de u(t) : u0(t) = A(t)eiϕ0(t). On s’int´eresse ensuite `a la TF de u0(t) : cu0(ω) = F[u0](ω) =R+∞
−∞ A(t)eiϕ0(t)e−iωtdt . On d´eduit de (3.6) que : bu(ω) =12n
c
u0(ω − ω1) +cu0(−ω − ω1)o
et que : b
uq(ω) = cu0(ω − ω1).
De plus, ∆Eaq d´efini en relation (3.8) s’´ecrit(29) : ∆Eaq= 1
2π
R−ω1
−∞ |cu0(ω)|2dω
Si le spectre cu0(ω) de A(t)eiϕ0(t) est voisin de z´ero pour ω < −ω1 , alors ∆Eaq ≈ 0 et par suite, le signal analytique est sensiblement ´egal au signal complexe associ´e : ua(t) ≈ uq(t)
Le rapport ∆Eaq
Eu vaut alors : ∆Eaq
Eu =
R−ω1
−∞ |cu0(ω)|2dω R∞
0 |bu(ω)|2dω .
Nous allons ensuite regarder deux types int´eressants de signaux d´efinis en (3.10) : le signal quasi-monochromatique et le signal avec une phase constante.
A◦) Cas du signal quasi-monochromatique
Un signal quasi-monochromatique ou `a bande ´etroite(30)est d´efini de telle sorte que sa TF est `a support born´e dans une bande ∆f autour de la fr´equence ±f1= ω1
2π telle que : ∆ff
1 ≪ 1. L’amplitude A(t) et la phase ϕ0(t) d’un signal quasi-monochromatique sont tr`es lentement variables, de telle sorte que sur un intervalle d’observation assez petit (de l’ordre de plusieurs p´eriodes), A(t) et ϕ0(t) sont pratiquement constantes et donc que u(t) se pr´esente comme un sinus pur.
B◦) Cas o`u ϕ0(t) est une constante
ϕ0(t) = −ϕ0 = Cte (notons que lorsque ϕ0 = 0 , Torr´esani dans son livre (cf. note de bas de page n◦(63)), appelle u(t) = A(t) cos(ω1t) une ligne spectrale). On a alors :
c
u0(ω) = F[u0](ω) = e−iϕ0R+∞
−∞ A(t) e−iωtdt = e−iϕ0A(ω) et :b b
uq(ω) = e−iϕ0R∞
0 A(t) ei(ω1−ω)tdt = bA(ω − ω1) e−iϕ0. ∆Eaq= 2π1 R−ω1 −∞ ¯ ¯ ¯ bA(ω) ¯ ¯ ¯2dω. On a encore : bu(ω) =1 2 n
e−iϕ0A(ω − ωb 1) + eiϕ0A(−ω − ωb 1)o
. Lorsque ϕ0= 0 (cas de la ligne spectrale), on a : b u(ω) =1 2 n b A(ω − ω1) + bA(−ω − ω1)o .
Nous allons ensuite regarder deux formes particuli`eres de l’amplitude A(t) :
– A(t) est une fonction C∞ `a d´ecroissance exponentielle
A(t) = A0e−ζω0tY(t) avec 0 < ζ < 1 et A0 > 0 (Y(t) d´esigne la distribution de Heaviside). On a : b
A(ω) = A0
ζω0+iω et d’apr`es ce qui pr´ec`ede : b
u(ω) = A0cos(ϕ−ω20)(ζω+2iζω0+iω)+ω0ω+ω21sin(ϕ0) 1+ζ2ω2 0 et ∆Eaq = 1 2πA2 0 R−ω1 −∞ 1 ζ2ω2 0+ω2dω = A2 02πζω1 0 h π 2 − Arctg(ω1 ζω0)i = A20 2πω0 Arctg(ζω0ω1) ζ (31). Lorsque ζ tend vers 0, ∆Eaq tend vers A20
2πω1. Euq = 1 2 R∞ 0 A2(t) dt = A20 4ζω0. 29∆Eaq= 1 2π R0 −∞|cuq(ω)|2dω = 1 2π R0 −∞|cu0(ω − ω1)|2dω = 1 2π R−ω1 −∞ |cu0(ω)|2dω.
30qualificatif provenant de la th´eorie du signal (cf. B. Picinbono 1977. El´ements de th´eorie du signal, Dunod Universit´e, Bordas, Paris).
– A(t) est une fonction C∞ `a d´ecroissance asymptotique rapide A(t) = A0e−α t2
2 Y(t) avec α > 0 . Lorsque B(t) = A0e−α t2
2 , sa transform´ee de Fourier vaut : b B(ω) = A0 2 q 2π αe−ω2 2α et ℜnA(ω)b o =12B(ω) =b A0 4 q 2π αe−ω2 2α Euq = 1 2 R∞ 0 A2(t) dt = A20 2 R∞ 0 e−α t2 dt = A20 4 R∞ −∞e−α t2 dt = A20 4 pπ α