Résultats 1D

Ces deux lemmes sont prouvés dans les sous-sections 1.A.5 et 1.A.6.

Par définition de Rn, et en appliquant l’inégalité triangulaire, on obtient l’inégalité

kRⁿk0 ≤ ∆tkr⁰k0+ ∆t

N −1X

m=1

kr^mk0.

Grâce aux lemmes 1.3.11 et 1.3.12, ∀n ∈ {1 . . . N − 1}, on sait qu’il existe une constante C > 0 indépendante de h, ∆t et T telle que

kRnk0 ≤ C∆t4 k∂5 tuk_C(J,L2(Ω)) + k∂t⁶ukL1(J,L2(Ω))  +Chp+1 k∂tuk_C(J,Hp+1(Ω)) + k∂t²uk_C(J,Hp+1(Ω))  (1.30)

En combinant (1.27), (1.28), (1.29) et (1.30), on obtient donc max n=0,...,Nkeⁿk0 ≤ Ch^p+1kukC2(J;Hp+1(Ω)) + C∆t⁴  k∂t⁵ukC(J;L2(Ω)) + k∂t⁶ukL1(J;L2(Ω))  , ce qui prouve que

max

n=0,...,Nkuⁿ− Uⁿk ≤ C h^p+1+ ∆t⁴
.

1.4 Résultats numériques

Dans cette section, nous présentons des résultats numériques en dimension un et deux pour comparer les performances des ∆2− et ∆3-schémas à celles des schémas MES-4 et MES-6. Nous comparons la précision et les coûts de calculs des deux techniques. Nous avons également mis en oeuvre la méthode des éléments finis de Hermite en 1D dans des milieux homogènes. Les détails sur cette méthode sont donnés en annexe 1.B.

1.4.1 Résultats 1D

Dans toute cette partie, nous considérons la simulation de la propagation d’une onde dans un domaine 1D homogène Ω = [0, 10] avec une vitesse c = (µ/ρ)^1/2

= 1ms⁻¹. Pour calculer de manière plus aisée la solution exacte, nous imposons des conditions de bord périodiques à chaque extrémité du domaine. Néanmoins des conditions de bords de Neumann et de Dirichlet seront considérées en dimensions d’espace supérieures. Le terme source est supposé nul et les données initiales sont u₀(x) =        (x − x0) e−  2π (x − x0) r0 2 si |x − x0| ≤ r0 0 sinon,

et u₁(x) =         8 (x−x0)π r0 2 − 1  e−  2π (x − x0) r₀ 2 si |x − x0| ≤ r0 0 sinon

de telle sorte que le signal soit à support strictement inclus dans le domaine de calcul. Ainsi, la solution exacte est donnée par :

u^ex(x, t) =

+∞

X

i=0

u₀(x + 10i − t) .

Dans la suite, nous fixons x0 = 3 et r0 = 4.

Afin de discrétiser l’équation des ondes (1.1), nous avons considéré

1. le schéma MES-4, basé sur une discrétisation en espace utilisant des polynômes de La-grange de degré 3 et un paramètre de pénalisation γ1 = 8. Avec ces fonctions de base et ce paramètre, la condition CFL du schéma saute-moutons est (expérimentalement) ∆tLF4 = 0.1533h. Ainsi la condition CFL du schéma MES-4 est ∆t_{M ES−4} = 0.1533√

3h = 0.2655h. 2. le schéma MES-6, basé sur une discrétisation en espace utilisant des polynômes de Lagrange

de degré 5 et un paramètre de pénalisation γ1 = 20. Avec ces fonctions de base et ce paramètre, la condition CFL du schéma saute-moutons est (expérimentalement) ∆tLF6 = 0.073h. Ainsi la condition CFL du schéma MES-6 est ∆t_{M ES−6} = 1.38 × 0.073h = 0.101h.

3. Le ∆2-schéma, avec des fonctions de base de Lagrange P3et des paramètres de pénalisation γ₁ = 8, γ_2,1 = 10 et γ_2,2 = 0. La condition CFL de ce schéma est (expérimentalement) ∆t_∆2 = 0.1821h.

4. Le ∆3-schéma, avec des fonctions de base de Lagrange P5et des paramètres de pénalisation γ₁ = 20, γ_2,1 = 20, γ_2,2 = 0, γ_3,1 = 20, γ_3,2 = 0 et γ_3,3 = 0. Avec ces paramètres, la condition CFL est (expérimentalement) ∆t_∆3 = 0.077h.

5. Le ∆2-schéma avec des éléments finis de Hermite. La condition CFL est (expérimentale-ment) ∆tHerm = 0.4471h.

Remarque 1.4.1. En suivant ce qui a été fait dans [2], nous choisissons α₁ > α0

1 = p (p + 1) /2. Puisque nous n’avons pas une expression explicite des autres coefficients de pénalisation, nous les évaluons numériquement dans le but d’obtenir une solution stable. Néanmoins, comme nous l’avons déjà dit, nous étudierons ces coefficients ainsi que les conditions CFL de ces schémas de manière plus précise dans les chapitres 2 et 3.

Remarquons que les conditions CFL du ∆2-schéma et du ∆3-schéma sont légèrement plus grandes que la condition CFL des schémas saute-moutons ∆tLF4 et ∆tLF6. Puisque les ∆p -schémas nécessitent seulement une multiplication matricielle par itération, cela signifie que les coûts de calcul associés à ces schémas sont moins importants que ceux du schéma saute-moutons (tout du moins pour p = 2 et 3).

1.4.1.1 Evolution de l’erreur en fonction du pas d’espace

Dans cette partie, nous calculons l’erreur relative L2([0, T ] , Ω), donnée parRT 0

R

Ω(u^ex− uh)²dx dt1/2

pour différents pas d’espace : h = 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 pour les schémas d’ordre qua-tre et h = 1, 0.5, 0.25, 0.125 pour les schémas d’ordre six. Dans la Table 1.1 (resp. Table 1.2), nous présentons l’erreur L2([0, T ] , Ω) de chaque schéma et dans la Fig. 1.1 (resp. Fig. 1.2) nous représentons l’erreur relative L2comme une fonction de la taille du maillage pour le schéma MES-4 (resp. MES-6) (courbe cyan avec losange) et le ∆2-schéma (resp. ∆3-schéma) (courbe verte avec carrés) en échelle logarithmique. On constate que tous les schémas convergent bien à l’ordre voulu et que les ∆p-schémas donnent d’aussi bons résultats que le schéma d’ordre correspondant MES-p. Puisque la condition CFL des ∆p-schémas est légèrement supérieure à la condition CFL des schémas saute-moutons et que cette méthode ne requiert qu’une multiplication matricielle à chaque itération, cela signifie qu’elle nous permet d’avoir une précision d’ordre élevé avec un coût plus petit que le schéma saute-moutons. A titre de comparaison, nous rappelons que les coûts numériques du schéma MES-4 et du schéma MES-6 sont respectivement 1.15 et 2.17 fois plus grands que le coût des schémas saute-moutons (cf. section 1.1.2).

A titre indicatif, nous donnons les résultats obtenus en considérant les éléments finis d’Hermite (HFEM) dans la Table 1.1. La convergence du schéma avec de tels éléments finis est bien d’ordre 4 mais on peut également constater que les résultats obtenus sont bien moins bons qu’avec les deux autres méthodes. Cela nous conforte donc dans le choix d’une discrétisation en espace de type Galerkine Discontinue.

h MES-4 ∆²-schéma HFEM

0.25 1.1 10⁻³ 2.0 10⁻³ 4.2 10⁻² 0.125 7.4 10⁻⁵ 4.5 10⁻⁵ 2.1 10⁻³ 0.0625 5.6 10⁻⁶ 2.1 10⁻⁶ 1.2 10⁻⁴ 0.03125 3.7 10⁻⁷ 1.2 10⁻⁷ 7.9 10⁻⁶

TABLE 1.1 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) au temps T = 100s pour les schémas d’or-dre quatre. h MES-6 ∆³-schéma 1 2.4 10⁻¹ 2.8 10⁻¹ 0.5 2.3 10⁻⁴ 4.1 10⁻⁴ 0.25 2.1 10⁻⁶ 2.5 10⁻⁶ 0.125 4.6 10⁻⁸ 4.2 10⁻⁸

TABLE 1.2 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) au temps T = 100s pour les schémas d’or-dre six.

FIGURE 1.1 – Courbes de convergence pour les schémas d’ordre 4 en 1D.

FIGURE 1.2 – Courbes de convergence pour les schémas d’ordre 6 en 1D.

1.4.1.2 Evolution de l’erreur en fonction du pas de temps

Dans cette partie, on va comparer les schémas MES aux ∆p-schémas en fonction du pas de temps. Nous calculons l’erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour un pas d’espace fixé et pour différents pas de temps égaux à a∆t où a est une constante et ∆t le pas de temps utilisé dans la sous-section précédente. Les autres paramètres étant identiques à ceux de la partie précédente.

Dans la Table 1.3 (resp. Table 1.4 et Table 1.5), nous présentons l’erreur L2([0, T ] , Ω) obtenue pour les schémas d’ordre quatre et un pas d’espace h = 0.5 (resp. h = 0.25 et h = 0.125). On constate que le MES-4 et le ∆2-schéma donnent des résultats similaires même si le MES-4 semblent donner de meilleurs résultats lorsque le pas d’espace est suffisamment raffiné. Lorsque l’on diminue le pas de temps les erreurs obtenues diminuent jusqu’à atteindre une certaine con-stante à partir de laqulle celles-ci augmentent très légérement, cela étant probablement dû au phénomène de dispersion numérique.

a MES-4 ∆²-schéma a MES-4 ∆²-schéma

1 5.27 10⁻² 1.27 10⁻¹ 0.5 3.60 10⁻² 5.50 10⁻² 0.9 4.59 10⁻² 8.94 10⁻² 0.4 3.57 10⁻² 4.81 10⁻² 0.8 4.16 10⁻² 8.00 10⁻² 0.3 3.54 10⁻² 4.25 10⁻² 0.7 3.89 10⁻² 7.12 10⁻² 0.2 3.52 10⁻² 3.86 10⁻² 0.6 3.73 10−2 6.29 10−2 0.1 3.53 10−2 3.61 10−2

TABLE1.3 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour les schémas d’ordre quatre et un pas d’espace h = 0.5.

a MES-4 ∆²-schéma a MES-4 ∆²-schéma

1 1.06 10⁻³ 1.97 10⁻³ 0.5 5.61 10⁻⁴ 4.42 10⁻⁴ 0.9 5.89 10⁻⁴ 1.36 10⁻³ 0.4 6.04 10⁻⁴ 4.81 10⁻⁴ 0.8 3.74 10⁻⁴ 9.30 10⁻⁴ 0.3 6.24 10⁻⁴ 5.40 10⁻⁴ 0.7 3.97 10⁻⁴ 6.38 10⁻⁴ 0.2 6.31 10⁻⁴ 5.90 10⁻⁴ 0.6 4.88 10⁻⁴ 4.78 10⁻⁴ 0.1 6.33 10⁻⁴ 6.22 10⁻⁴

TABLE1.4 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour les schémas d’ordre quatre et un pas d’espace h = 0.25.

A présent nous présentons l’erreur L2([0, T ] , Ω) obtenue pour les schémas d’ordre six et un pas d’espace h = 0.5 (resp. h = 0.25 et h = 0.125) dans la Table 1.6 (resp. Table 1.7 et Table 1.8). Les conclusions sont similaires à celles effectuées pour l’ordre quatre. En effet, les deux méthodes présentent un comportement similaire lorsque le pas de temps diminue.