Adaptation de l’ordre en temps et en espace

Dans cette sous-section, nous étudions la possibilité d’utiliser des éléments P1 dans la zone fine. Il est à noter que la méthode de Galerkine discontinue se prête tout à fait à ce genre d’expéri-ence grâce aux discontinuités des fonctions de base. En effet, on peut facilement affecter à tout élément du maillage un certain ordre et à son voisin un ordre différent. Il faut juste prendre garde au choix du paramètre de pénalisation entre deux éléments n’étant pas du même ordre. Le terme de pénalisation venant assurer la continuité du flux à l’interface entre deux éléments, il semble logique d’utiliser le coefficient de pénalisation le plus fort entre ces deux éléments. Ainsi, lorsque l’on rencontre, par exemple, une interface entre un élément d’ordre deux et un élément d’ordre quatre, on utilise le coefficient de pénalisation correspondant à un élément d’ordre 4, à savoir γ₁ = 8. En ce qui concerne la pénalisation de l’opérateur biharmonique, nous avons considéré

le paramètre qui nous avait semblé optimal numériquement dans le cas de maillage régulier (cf. chapitre 1) à savoir γ2,1= 10.

Dans les expériences qui sont présentées par la suite, nous utiliserons donc des éléments P1 dans la zone fine avec le schéma saute-moutons et des éléments P3 partout ailleurs (zone grossière et zone de transition) ce que nous noterons dans les légendes MES-4-LF et ∆2-schéma-LF (LF étant l’acronyme de “Leap-Frog scheme“ i.e. schéma saute-moutons). Les erreurs obtenues à T = 8s et 80s avec un pas d’espace fin hf =1/160et hg variant de 0.2 à 0.025 avec le MES-4 (resp. ∆2 -schéma) sont présentées dans le tableau 5.5 (resp. tableau 5.6). La figure 5.6 représente les erreurs des deux schémas à T = 8s en fonction du pas d’espace en échelle logarithmique (les résultats à T = 80s conduisent à des courbes similaires).

hg T = 8s T = 80s

0.2 1.9351 10⁻³ 8.6716 10⁻³ 0.1 1.7514 10⁻⁴ 1.0313 10⁻³ 0.05 1.0629 10⁻⁴ 7.2900 10⁻⁴ 0.025 1.0545 10⁻⁴ 7.2159 10⁻⁴

TABLE5.5 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le MES-4 (L = 0.2 et h_f =1/160). h_g T = 8s T = 80s 0.2 2.0069 10−3 9.4069 10−3 0.1 5.6599 10−4 3.8479 10−3 0.05 5.5002 10−4 3.7935 10−3 0.025 5.4989 10−4 3.7924 10−3

TABLE 5.6 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le ∆2-schéma (L = 0.2 et h_f =1/160) avec γ2,1 = 10.

FIGURE 5.6 – Courbes de convergence pour le schéma MES-4 et le ∆2-schéma (L = 0.2 et h_f =1/160).

Dans un premier temps, on peut constater sur ces tableaux et figure que la technique de l’équa-tion modifiée donne de meilleurs résultats que le ∆2-schéma.

Si l’on s’intéresse aux résultats de la figure 5.6, on constate, de la même façon que dans [6], que pour hg grand, les erreurs obtenues en utilisant des éléments du même ordre et celles obtenues avec des ordres différents sont extrêmement proches voire identiques. Lorsque le pas d’espace dans la zone grossière hgdiminue, l’erreur tend vers une constante ce qui signifie que l’erreur ef-fectuée dans la zone fine prédomine sur l’erreur efef-fectuée dans la zone grossière. Ce comportement

s’explique par le fait que l’erreur est cette fois de la forme E = C₁h⁴_g+ C₂h²_f. Comme nous ne faisons varier que hg, le terme C1h4

g devient négligeable devant C2h2

f pour hg

assez petit et l’erreur ne décroît plus. Remarquons que ce phénomène arrive beaucoup plus tard pour le MES-4 que pour le ∆2-schéma, ce qui semble montrer que le MES-4 est plus propice à l’adaptativité que le ∆2-schéma. Afin d’étudier l’influence du pas d’espace dans la zone fine, on présente le même type de résultats pour hg = 1/320 dans les tableaux 5.7 et 5.8. On représente sur la figure 5.7 (resp. figure 5.8), en échelle logarithmique l’erreur obtenue pour T = 8s avec la MES (resp. ∆2-schéma) que l’on comparera aux courbes obtenues sans adaptation de l’ordre ni en espace ni en temps. h_g T = 8s T = 80s 0.2 1.8824 10⁻³ 8.2807 10⁻³ 0.1 1.2554 10⁻⁴ 4.6554 10⁻⁴ 0.05 1.7494 10⁻⁵ 1.1134 10⁻⁴ 0.025 1.5443 10⁻⁵ 1.0433 10⁻⁴

TABLE 5.7 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le MES-4 (L = 0.1 et hf =1/320). hg T = 8s T = 80s 0.2 1.8912 10⁻³ 8.3655 10⁻³ 0.1 2.2733 10⁻⁴ 1.3670 10⁻³ 0.05 1.9232 10⁻⁴ 1.3125 10⁻³ 0.025 1.7906 10⁻⁴ 1.3124 10⁻³

TABLE 5.8 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le ∆2-schéma (L = 0.1 et hf =1/320) avec γ2,1 = 10.

FIGURE 5.7 – Courbes de convergence pour le schéma MES-4 (L = 0.1 et h_f =1/320).

FIGURE 5.8 – Courbes de convergence pour le ∆2-schéma (L = 0.1 et hf =1/320) avec γ2,1 = 10.

Lorsqu’on s’intéresse à la convergence du ∆2-schéma, on constate que l’ordre de convergence n’est même pas assuré à l’ordre minimal qu’est l’ordre deux. En effet, comparons par exemple les erreurs relatives des cas hg = 0.1 du tableau 5.5 et h_g = 0.05 du tableau 5.3. Le maillage utilisé dans le deuxième cas est deux fois plus fin que dans le premier cas (dans la zone grossière et dans la zone fine). Le rapport entre les deux erreurs est d’environ 10, ce qui correspond bien à un ordre de convergence d’une méthode mêlant schéma d’ordre 2 et schéma d’ordre 4. Par contre, si on

effectue le même rapport (grâce aux tableaux 5.6 et 5.8) dans le cas du ∆2-schéma, on obtient un rapport de 2.94, ce qui n’est pas du tout satisfaisant.

Nous avons donc décidé de refaire cette série d’expériences en considérant le ∆2-schéma sans paramètre de pénalisation sur l’opérateur biharmonique (γ2,1= 0). On rappelle que dans le chapitre 4, nous avions étudié ce cas et constaté que la seule pénalisation de l’opérateur harmonique suffit à assurer la stabilité du schéma. De plus, dans le cas présent, la condition CFL ne sera pas affectée par ce choix dans la mesure où celle-ci est dictée par la zone fine dans laquelle on considère le schéma saute-moutons avec des éléments P1. Les résultats sont présentés dans les tableaux 5.9 et 5.10 respectivement pour hf = 1/160et hf = 1/320. Les figures 5.9 et 5.10 permettent de com-parer la nouvelle courbe de convergence à celle du MES-4, respectivement pour hf = 1/160 et h_f = 1/320. On remarque que dans ce cas, les erreurs sont du même ordre. Ce résultat montre à nouveau l’importance du choix des paramètres de pénalisation.

h_g T = 8s T = 80s

0.2 1.9364 10⁻³ 8.6862 10⁻³ 0.1 1.7517 10⁻⁴ 1.0302 10⁻³ 0.05 1.0628 10⁻⁵ 7.2847 10⁻⁴ 0.025 1.0544 10⁻⁵ 7.2105 10⁻⁴

TABLE5.9 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le ∆2-schéma (L = 0.2 et hf =1/160) avec γ2,1= 0. h_g T = 8s T = 80s 0.2 1.8827 10⁻³ 8.2845 10⁻³ 0.1 1.2557 10⁻⁴ 4.6529 10⁻⁴ 0.05 1.7498 10⁻⁵ 1.1125 10⁻⁴ 0.025 1.5446 10⁻⁵ 1.0424 10⁻⁴

TABLE5.10 – Erreur relative L2([0, T ] , Ω) pour le ∆2-schéma (L = 0.1 et hf =1/320) avec γ2,1 = 0.

FIGURE 5.9 – Courbes de convergence pour le ∆²-schéma (L = 0.2 et h_f =1/160) avec γ2,1 = 0.

FIGURE 5.10 – Courbes de convergence pour le ∆²-schéma (L = 0.1 et h_f =1/320) avec γ2,1 = 0.

Les résultats présentés dans les tableux 5.9 et 5.10 sont à présent très proches de ceux obtenus dans les tableaux 5.5 et 5.3 avec l’équation modifiée. Si on s’intéresse au même rapport d’erreur que précédemment, on obtient aussi un rapport de 10, ce qui est bien plus acceptable. Nous allons maintenant nous intéresser au cas du ∆3-schéma.