4.4.1. Analyse quantitative des éléments procéduraux constitutifs de la démarche de la mise en équation
Le tableau 11 ci-dessous résume permet de comparer le nombre de répondants sur un total de186 copies. Notons qu’environ 86,7% sont des non-réponses à l’une des procédures au moins.
En se limitant au nombre de réponses effectives, les résultats des productions analysées représentés dans le tableau 11, nous permet de constater qu’une grande majorité d’élèves
Considérer l'inconnu4
Représenter l'inconnu par une lettre4 Choix de l'inconnu est correct4 Utiliserlettre pr représenter relations4 Utiliserlettre pr représenter équation4 représenter relations et équations4 Ensemble
AA APA AI TOTAL
15,4% ( 4) 73,1% ( 19) 11,5% ( 3) 100% ( 26) 15,4% ( 4) 65,4% ( 17) 19,2% ( 5) 100% ( 26) 15,4% ( 4) 11,5% ( 3) 73,1% ( 19) 100% ( 26) 23,1% ( 6) 0,0% ( 0) 76,9% ( 20) 100% ( 26) 26,1% ( 6) 0,0% ( 0) 73,9% ( 17) 100% ( 23) 28,6% ( 6) 0,0% ( 0) 71,4% ( 15) 100% ( 21) 20,3% ( 30) 26,4% ( 39) 53,4% ( 79) 100% (148)
Tableau 11 : les niveaux d’atteinte des procédures pour le problème 5 sans non-réponses
n’ayant pas réussi à atteindre le niveau requis des procédures de mise en équation de ce problème 5. En effet, environ 73,1% (19) ont choisi l’inconnue de façon inappropriée, 11,5%
(3) ont choisi l’inconnue de façon partiellement appropriée et seulement 15,4% (4) ont choisi l’inconnue correctement. Nous constations aussi que plus de 84% (21) des élèves interrogés ont considéré l’inconnue et la représentée par une lettre, mais en commettant des erreurs les deux niveaux de procédures.
D’autre part, plus de 76,9% (20) ont de sérieuses difficultés à opérer sur l’inconnue pour représenter les relations entre les quantités inconnues. Ensuite, vers 71,4%(15) ont du mal à représenter les relations et les équations.
4.4.2. Catégories de raisonnements
En se limitant aux réponses effectives, les données du tableau 12 ci-dessous mettent en évidence les catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves relativement à la résolution du problème 5.
Nous remarquons qu’il y a moins de raisonnements réussis 19,4%(6) que de raisonnements non réussis 80,6%(25). En effet, pour les 29 raisonnements analytiques, 82,8% (24) sont des raisonnements non réussis. Tandis que, pour les deux autres raisonnements, nous notons qu’il y a un seul raisonnement à tendance analytique réussi et un seul raisonnement synthétique non réussi.
4.4.3. Les défauts de représentations à l’origine des difficultés de mise en équation
Nous avons recensé les fréquentes erreurs commises par les élèves dans le processus de mise en équation et nous les avons associées aux types de défaut de représentation respectifs. Ci-dessous, nous analyserons les productions développées par quelques élèves, bien qu’il soit parmi les 24 des 29 élèves qui n’ont pas résolu correctement le problème 5, en tentant de procéder dans leurs résolutions par un raisonnement analytique (tableau 12). Relativement au
Raisonnement analytique4
Risonnement à tendance analytique4 Raisonnement synthétique4 Ensemble
Réussie Non réussie TOTAL
17,2% ( 5) 82,8% ( 24) 100% ( 29) 100% ( 1) 0,0% ( 0) 100% ( 1) 0,0% ( 0) 100% ( 1) 100% ( 1) 19,4% ( 6) 80,6% ( 25) 100% ( 31)
Tableau 12 : Catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves
registre de représentation sémiotique de l’algèbre conventionnel.
La figure 15 représente la démarche de résolution du problème 5 de l’élève E3-77 : « Soit x le nombre de produits de chaque type. 5x+3x = 441 ».
Pour considérer l’inconnue, cet élève traduira la consigne du problème « combien y a-t-il de produits de chaque type ? » en exprimant comme inconnue les quantités dont on demande de trouver la valeur ; il a repéré l’inconnue par le libellé « soit x le nombre de produits de chaque type ». Dans la formulation de l’équation « 5x+3x = 441 », il a converti la dénomination de base « il compte 5 fois plus de produites de conserve que de produits nettoyage » par la quantité inconnue 5x et il a converti la dénomination de base « il compte 3 fois plus de produits laitiers que de produits en conserve » par la quantité inconnue 3x. Nous remarquons qu’il a établi alors de fausses correspondances entre l’inconnue, c’est-à-dire la lettre utilisée comme dénomination de base dans la traduction algébrique de l’équation et les quantités inconnues.
Deux défauts de représentation interfèrent donc, dans la production de cet élève, le premier défaut de représentation est attaché au bloc référentiel de forme multiplicative (introduire l’expression 3x en négligeant sa dimension sémantique) et le deuxième défaut de représentation est accordé au défaut de l’égalité de correspondance ; le signe égal dans l’expression
« 5x+3x = 441 » représente une correspondance et non une égalité.
La figure 16 représente la démarche de résolution du problème 5 de l’élève E2-21 :
Figure 15 : Résolution de l’élève E3-77 au problème 5
« Produits de nettoyage : x×5=441, conserve : x× 3=441 et les produits laitiers, sans rien noté
».
Cet élève n’a
pas choisi explicitement l’inconnue en la représentant par un symbole. Il a considéré
« Produits de nettoyage : x×5=441, conserve : x× 3=441 et les produits laitiers. ». Il a exprimé, promptement, les quantités inconnues en les représentant par l’expression x×5, pour représenter le nombre de produits de nettoyage et l’expression x×3 pour représenter le nombre de produits en conserve. Nous pensons qu’à côté de l’erreur commise dans l’identification des relations (x× 3), une autre erreur s’est probablement introduite lorsqu’il a assigné aux quantités inconnues x×5et x× 3 la quantité connue 441 qui représente le total des nombres de produits de la boutique. Il a établi alors de fausses correspondances entre l’inconnue, c’est-à-dire la lettre utilisée comme dénomination de base dans la traduction algébrique de l’équation et les quantités inconnues.
Dans sa représentation, le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est une action particulière (un seul objet). Nous pensons que le défaut de représentation manifesté dans la solution de cet élève est accordé au défaut de la variable référentielle.
La figure 17 représente la démarche de résolution du problème 5 de l’élève E3-76 :
« Soit x le nombre de produits de chaque type. Formulation de l’équation : x+x+5x+3x = 441».
Figure 16 : Résolution de l’élève E2-21 au problème 5
La production de cet élève rejoint en partie celles des élèves E3-77 et E3-102. L’erreur de son raisonnement se produit au niveau de l’identification des relations entre les quantités inconnues traduisant la dénomination de base « il compte 3 fois plus de produits laitiers que de produits en conserve », aussi au niveau de l’identification du nombre de relations à établir pour traduire les quantités inconnues. Ce défaut de représentation est attaché au bloc référentiel de forme multiplicative, car il a introduit l’expression 3x en négligeant sa dimension sémantique et il n’a pas procédé par une réduction du nombre de dénominations de base. Un deuxième défaut de représentation est apparu, il est accordé au défaut de l’égalité de correspondance ; car, le signe égal dans l’expression « x+x+5x+3x = 441» représente une correspondance et non une égalité.
Conclusion
Cette recherche consistait à analyser la nature des représentations sémiotiques utilisées par des élèves marocains de 2e et 3e années du collège dans la résolution de problèmes algébriques ainsi que les difficultés éprouvées par ces élèves lors de la démarche de mise en équation d’un problème. Pour ce faire, nous avons administré un questionnaire formé de cinq problèmes de type comparaison à un échantillon de 186 élèves de deuxième et troisième année du secondaire collégial.
A la lumière des résultats obtenus, ces élèves ont déjà reçu un enseignement de l’algèbre et pourtant dans leurs productions nous avons constaté un taux élevé d’erreurs dans la démarche de mise en équation de problèmes. Ces erreurs se manifestent à travers les actions menées autour des composantes du raisonnement analytique. En effet, une grande majorité des élèves interrogés, de 2e et 3e années du collège, n’était pas en mesure d’utiliser les symboles correctement pour représenter une inconnue et exprimer les relations entre les quantités connues et inconnues.
L’ensemble des résultats a dévoilé que la démarche de mise en équation d’un problème est apparue comme une activité qui se révèle difficile pour ces élèves. La conversion d’un texte de l’énoncé d’un problème à l’écriture d’une équation s’avère souvent ardue à effectuer correctement. On voit dès lors, l’apparition des défauts sémiotiques dans le choix des variables, des fausses interprétations du texte de l’énoncé en langage courant ou des oublis dans la détermination des relations entre les variables à prendre en compte.
Nous retenons de l’analyse des productions des élèves de notre échantillon que quatre défauts de représentations sémiotiques sont les plus problématiques dans le processus de mise en équation, relativement aux problèmes de type comparaison. Le premier est associé au défaut de représentation de la somme référentielle ; une somme non homogène est alors effectuée, c’est-à-dire, le seul aspect pris en compte par l’élève pour effectuer une somme est celui des différents objets désignés dans le texte, en négligeant la dimension sémantique dont ces objets relèvent. Dans le second défaut qui est accordé au défaut de la variable référentielle, les élèves
ont établi de fausses correspondances entre l’inconnue, c’est-à-dire la lettre utilisée comme dénomination de base dans la traduction algébrique de l’équation, et les quantités inconnues ; dans leur représentation, le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est une action particulière (un seul objet). Nous pouvons associer le troisième défaut, à celui du défaut de l’égalité de correspondance ; dans la formulation de l’équation, l’expression représente une correspondance, mais ne peut pas être une égalité. On peut associer donc, au dernier défaut de représentation, à celui du bloc référentiel de forme multiplicative, car, les élèves ont utilisé ce boc multiplicatif sans en comprendre précisément sa signification.
Dans les principales perspectives, il serait particulièrement intéressant de questionner les pratiques d’enseignement de la mise en équation, en travaillant sur des problèmes qui manifestent davantage l’émergence des références et des dimensions.
Une des pistes de recherche future consiste à réaliser une étude empirique en deux volets : l’un concerne l’analyse de pratiques d’enseignement au regard des représentations de la démarche de mise en équation privilégiés par des enseignants de mathématiques et leur possible évolution à court terme lors d’un atelier de formation. L’autre concerne l’élaboration d’un scénario d’enseignement s’appuyant sur le développement du potentiel des élèves dans la démarche de mise en équation, en tenant compte des défauts de représentations sémiotiques qui sont à l’origine des difficultés des élèves. Enfin, mesurer l’effet possible à long terme de cette formation sur ces défauts et conclure en donnant des pistes de remédiation.
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