Les défauts de représentations sémiotiques à la genèse des difficultés de mise en équation chez des élèves de 2e et 3e années du collège

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Les défauts de représentations sémiotiques à la genèse des difficultés de mise en équation chez des élèves de 2e et 3e années du collège

Said Abouhanifa⁽¹⁾, Hassane Squalli,⁽²⁾Belkassem Seddoug⁽³⁾ et Mohammed El Ibbaoui⁽⁴⁾

(1) CRMEF- CS –Settat

(2) Université Sherbrooke, Qc, Canada

(3) CRMEF - Rabat

(4) AREF Casablanca –Settat.

Résumé :

Cette étude a porté sur l’analyse de la nature des représentations sémiotiques (Duval, 1995) utilisées par des élèves de 2e et 3e années du collège dans la résolution de problèmes algébriques. L’étude s’est aussi intéressée à l’analyse des difficultés éprouvées par ces élèves lors de la démarche de mise en équation. Elle s’est basée sur les travaux de Kourkoulos (1990) concernant les difficultés en lien avec le travail de représentation en jeu dans le processus menant de la lecture de l’énoncé d’un problème à la formation de l’équation et aussi sur les travaux de Cordier (1993) concernant les difficultés dans la mise en équation.

Les résultats montrent que la démarche de mise en équation des données d’un problème est une activité qui se révèle difficile pour la majorité des élèves de notre échantillon. Ces difficultés peuvent se manifester à différents moments de la démarche de mise en équation : le choix non judicieux ou non exhaustif des variables et des relations pertinentes, la traduction erronée d’une relation en langage mathématique, le traitement des relations erroné ou non efficace pour la formation de l’équation. En outre, cette analyse nous a permis de dégager certaines caractéristiques de représentations les plus problématiques dans le processus de mise en équation.

Mots clés : mise en équation, algèbre, pensée algébrique, représentation sémiotique, résolution de problème.

1. Introduction

Dans l’enquête menée par le groupe de l’Observatoire Marocain de la Pensée Algébrique (OMPA), (Abouhanifa et al., 2018), sur le sujet de la transition entre l’arithmétique et l’algèbre élémentaire dans le contexte de résolution de problèmes de comparaison, nous avons constaté un taux élevé d’erreurs dans la démarche de mise en équation de problèmes. Nous avons observé que chez une grande majorité des élèves de 2^e et 3^e années du secondaire collégial, l’utilisation du langage algébrique conventionnel, pour représenter les relations et pour élaborer les équations, posait problème. Ces élèves ont souvent eu recours à des représentations personnelles qui se sont avérées inefficaces dans le travail de mise en équation.

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Ces élèves ont déjà reçu un enseignement d’un chapitre sur les équations et pourtant leurs productions ont fait l’émergence des difficultés dans la démarche de mise en équation de problèmes. Ces difficultés se manifestent à travers les actions menées autour des composantes du raisonnement analytique, qui sont : la considération de l’inconnue, la représentation de cet inconnu par une lettre ou un symbole, l’utilisation de cette lettre pour représenter les relations et les équations, et ensuite opérer sur ses représentations pour trouver la valeur de l’inconnue.

La démarche de mise en équation d’un problème est complexe, car elle fait appel à la mobilisation coordonnée de plusieurs habiletés mathématiques. En effet, l’élève doit être capable d’identifier les données pertinentes (constantes, inconnues ou variables) ainsi que les relations qu’elles entretiennent entre elles, de représenter ces relations et d’opérer pertinemment sur ces représentations pour former l’équation modélisant le problème.

Dans des travaux de Vergnaud et ses collaborateurs (1986), ils ont constaté que le processus de mise en équation est une tâche difficile pour certains élèves. Ils ont recommandé que l’extraction des informations pertinentes et leur traduction algébrique doivent être l’objet d’un enseignement plus systématique.

Selon une étude effectuée sur les défauts primitifs de représentation concernant les objets à identifier dans un énoncé de problème, (Kourkoulos, 1990) a établi un inventaire méthodique des causes des difficultés de mise en équation. Il reste bien à explorer et identifier les difficultés des élèves qui raccordent entre la compréhension du problème relevant du registre du langage courant et l’écriture algébriques des équations correspondantes, issues du registre du langage algébrique. Dans ce cas, le travail de conversion, de traduction et de traitement dans le registre de représentation sémiotique choisi est déterminant (Duval, 1995).

On peut se demander donc, quelles sont les défauts de représentations sémiotiques qui sont à la cause des difficultés des élèves dans la démarche de mise en équation, notamment, dans la résolution de problèmes de comparaison ?

A travers cette question, nous nous proposons d’analyser la nature des représentations sémiotiques (Duval, 1995) utilisées par des élèves marocains de 2e et 3e années du collège dans la résolution de problèmes algébriques ainsi que les difficultés éprouvées par ces élèves lors de la démarche de mise en équation d’un problème.

De part, les principaux éléments épistémologiques et didactiques de l’enseignement de l’algèbre au collège, nous dégageons dans un premier temps certaines caractéristiques des

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les dimensions essentielles de l’analyse du passage d’un texte de l’énoncé d’un problème à l’écriture de l’équation algébrique, ainsi que le pressentiment des défauts de représentations sémiotiques sur le choix des variables, les fausses interprétations du texte de l’énoncé en langage courant ou les oublis dans la détermination des relations entre les variables à prendre en compte. Enfin, nous dégageons les défauts de représentations les plus problématiques dans le processus de mise en équation, qui devraient nous permettre d’identifier les tendances de l’enseignement de la mise en équation dans le domaine de l’algèbre élémentaire.

2. Les principaux éléments épistémologiques et didactiques de l’enseignement de l’algèbre au collège

2.1. Les registres de représentations sémiotiques

Les représentations sémiotiques indiquent un moyen d’extériorisation des représentations mentales. Elles sont les résultats exhibés par le recours aux signes appartenant à un système de représentation (une figure géométrique, un énoncé en langage courant, une formule ou une expression algébrique, un graphe, un schéma), Duval (1991).

Duval (1995) a pu analyser la fonction des différents langages dans l’activité cognitive. Il a décrit l’activité mathématique comme étant un processus qui fait intervenir trois activités cognitives :

 La formation : Constitution d’une trace dans un système déterminé qui respecte certaines règles de façon à avoir du sens pour celui qui ne va pas lui- même produire.

 Le traitement : Transformation des représentations par des opérations qui s’effectuent dans un même registre.

 La conversion : c’est la transformation d’une représentation en une représentation d’un autre registre.

La traduction des énoncés mathématiques d’un langage à un autre est une activité de conversion qui ne s’opère pas de façon aisée. Selon Duval (1998), les problèmes de mise en équation renvoient aux situations où deux registres de représentations sémiotiques viennent s’articuler : le registre du langage naturel et celui des écritures algébriques. Par conséquent, selon Duval, pour que la conversion entre deux registres soit possible, il faut qu’il y ait d’une part une maîtrise de chacun des registres en question et, d’autre part, une coordination entre ces deux systèmes de représentation. En effet, les élèves commettent des erreurs d’interprétation, car ils expriment des confusions entre deux formes de langage, le langage naturel et celui algébrique.

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À travers cette analyse nous tentons de dégager certaines caractéristiques des représentations sémiotiques les plus problématiques dans la démarche de mise en équation, dont la question essentielle est comment peut-on passer d’un texte de l’énoncé du problème à une traduction algébrique sous forme d’équation.

2.2. Le développement de la pensée algébrique

Le passage de l’arithmétique à l’algèbre impose une rupture entre deux modes de pensée impliquant une évolution dans la façon d’interpréter certains concepts mathématiques.

Plusieurs études (Booth, 1988 ; Chevallard, 1989; Kieran, 1994; Vlassis & Demonty, 1999;

Subramaaiam, 2004) ont déjà étudié cette problématique. Les concepts du langage algébrique ne sont pas toujours accessibles par les sens ; ils sont constitués de notions abstraites qui existent seulement dans la pensée, ce qui cause des difficultés aux élèves. Selon Freiman et Lee (2004), l’algèbre constitue un obstacle majeur pour un nombre significatif d’élèves du début du secondaire. Pour l’élève, il ne s’agit pas uniquement de transférer ou généraliser des connaissances, mais de procéder à un changement de mode de raisonnement qui ne s’opère pas de façon spontanée.

Le développement de la pensée algébrique dans le contexte de résolution de problèmes est conditionné par le développement du raisonnement analytique, qui consiste à considérer les inconnues, les représenter par des symboles, à opérer sur ces symboles pour former les relations et équations et à, finalement, à trouver les valeurs des inconnues. (Squalli et al., accepté). Pour Sierpinska (1999), l’algèbre est un produit de la pensée analytique qui nécessite un fonctionnement cognitif particulier. C’est-à-dire, une pensée qui s’appuie sur des systèmes de représentation externes et conventionnels, qui permettent d’entrer en contact avec un objet à partir d’une description verbale.

Dans notre analyse, le type de raisonnement analytique, s’explique donc, par la capacité de réfléchir sur les relations et à de se servir de l’inconnue comme si elle était déjà connue pour en tirer des conclusions nécessaires, (Adihou et al, 2015). Nous qualifions qu’un raisonnement est de tendance analytique, toute catégorie de raisonnements hypothéticodéductifs, qui ne peut pas être classée dans la catégorie des raisonnements de type analytique (Squalli et al., accepté). Sous cette catégorie nous retrouvons les raisonnements de

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l’inconnue, sachant qu’elle est fausse, fait comme si l’inconnue possède cette valeur, opère sur les relations et génère les valeurs des autres inconnues. En se basant sur l’écart obtenu entre le nombre total désiré et le nombre total obtenu, ajuste en conséquence la valeur du nombre de départ en prenant en compte les relations entre les inconnues (Ibid.). Nous retrouvons aussi dans la catégorie des raisonnements à tendance analytique, les raisonnements où l’élève considère l’inconnue, la représente explicitement, utilise cette représentation pour traduire les relations entre les inconnues et les connues, mais il n’opère pas sur ces représentations pour trouver les valeurs des inconnues (Ibid.).

Par ailleurs, notre cadre d’analyse devrait nous permettre de distinguer le raisonnement algébrique du raisonnement arithmétique dans la résolution de problèmes se ramenant à la recherche de valeurs d’inconnues. À cet effet, nous avons pris en compte dans l’analyse les deux dimensions suivantes : le caractère analytique ou non du raisonnement et le registre de représentation sémiotique (Duval, 1995) des inconnues et des équations.

Le tableau 1, ci-dessous, illustre les catégories de raisonnements selon le degré d’analycité et la nature du registre de représentation sémiotique.

Raisonnements

synthétiques Raisonnements à tendance analytique Raisonnements analytiques - Calcul direct, registre

numérique

- Essais-erreurs, registre numérique

- Ajustement simple - Ajustement raisonné - Raisonnement fonctionnel, registre intermédiaire (table de valeurs)

- Type fausse position, - registre numérique - registre intermédiaire - Inconnues explicites, registre algébrique conventionnel

- Inconnues non représentées explicitement, registre numérique - Inconnue intermédiaire, registre numérique

- Registre algébrique

conventionnel, sans perte de lien avec le contexte

- Registre algébrique

conventionnel, avec perte de lien avec le contexte

Tableau 1 : Catégories de raisonnements selon le degré d’analycité et la nature du registre de représentation (Squalli et al., accepté)

2.3. La conversion du langage naturel au langage algébrique

L’analyse du passage d’un texte de l’énoncé d’un problème à l’écriture de l’équation algébrique doit porter sur deux dimensions essentielles :

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 L’identification des quantités inconnues décrites ou désignées dans l’énoncé et la conversion de leur expression linguistique en une expression algébrique,

 L’identification des expressions correspondant aux relations (Didierjean et al., 1997).

L’identification des quantités inconnues et la conversion du langage naturel au langage algébrique qui porte sur la conversion du texte en écriture algébrique comporte une difficulté spécifique. Cette difficulté apparait lorsque la traduction du texte de l’énoncé décrivant les quantités inconnues en expressions algébriques décrivant ces mêmes quantités, ne possède pas nécessairement le même nombre de dénominations de base dans chacun des deux registres.

En effet, l’écriture algébrique conventionnelle d’une équation n’autorise qu’une seule dénomination de base, une lettre désignant l’inconnue, pour exprimer les autres quantités inconnues, alors que le nombre de dénominations de base utilisées dans le texte de l’énoncé peut varier. Une dénomination de base est une expression désignant ou décrivant une quantité inconnue (Didierjean et al., 1997).

La compréhension d’un énoncé de problème consiste donc, dans l’identification des objets que l’énoncé décrit et dans l’identification des relations qu’il établit entre ces objets. Le choix de l’inconnue se fait après avoir décortiqué le texte de l’énoncé ; ce choix n’est pas la première action à effectuer lorsqu’on aborde un problème de mise en équation comme le pensaient les élèves interrogés dans l’étude de Didierjean et al. (1997). Ces chercheurs ont montré qu’on ne peut donc pas être surpris de voir les élèves emprunter toutes les fausses pistes possibles. Ces dernières conduisent à une grande variété d’erreurs que l’on retrouve toujours pour les énoncés qui relèvent du cas d’opacité (Ibid).

2.4. Défauts de représentation à la cause des difficultés de mise en équation

Pour expliquer les représentations manifestées par les élèves dans la résolution de problèmes, nous avons fait état des travaux de Kourkoulos (1990), qui nous permettent d’interpréter les représentations provoquant des difficultés. À cet effet, il est nécessaire de prendre en compte dans l’analyse les deux éléments suivants : la référence et la dimension.

La référence est attachée à une action, à une situation, à un objet. Tandis que, la dimension concerne les unités choisies (Kourkoulos, 1990).

Nous présentons dans le tableau 2, ci-dessous, une synthèse des défauts primitifs de représentation à l’origine des difficultés de mise en équation et leurs définitions respectives identifiées par Kourkoulos (1990).

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Défauts de représentation Définition de ce défaut

La variable référentielle Le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est une action particulière ou une situation concrète.

La somme référentielle Le seul aspect pris en compte pour effectuer une somme est celui de différents objets désignés dans le texte en négligeant la dimension sémantique ou conceptuelle dont ces objets relèvent.

La variable indice L’indice dimensionnel d’une quantité connue est choisi comme inconnue.

L’égalité de correspondance Prise en compte seulement les objets de référence que le texte met en correspondance.

La variable indicée Le bloc ax représente une correspondance et non une multiplication.

Le coefficient de

proportionnalité référentiel

L’unité et la quantité qui lui correspond sont représentées par le même symbole.

La variable dimensionnelle Le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est la dimension selon laquelle les quantités relatives à deux objets sont variées.

Le bloc référentiel de forme multiplicative

Seul l’aspect référentiel est pris en compte ; l’élève utilise le bloc ax sans comprendre précisément la signification.

Le coefficient de

proportionnalité unité

Pour un coefficient de proportionnalité, le bloc ax est posé pour une quantité dont la valeur est égale à x, alors que a est différent de 1.

La non mise en parenthèses Oubli de parenthèses ou usages erronés des parenthèses Tableau 2 : Défauts primitifs de représentation à l’origine des difficultés

de mise en équation, (Kourkoulos,1990).

Cordier (1993) a aussi affirmé qu’un des défauts les plus répondus dans la mise en équation est de prendre en compte uniquement la référence ou uniquement la dimension.

3. Méthodologie

Pour étudier la nature des défauts de représentation sémiotique qui ont été à l’origine des difficultés de mise en équation manifestées par des élèves de 2^e et 3^e années du collège, deux dimensions d’analyse sont prises en compte. Une dimension sémiotique liée à la conversion entre les registres de représentation sémiotiques, en particulier au changement de langage d’enseignement qui intervient dans le passage de l’arithmétique à l’algèbre, en tant que rupture entre deux modes de pensée. Et une dimension pragmatique qui consiste à recenser les erreurs fréquentes manifestées dans le processus de raisonnement relativement, aux problèmes de mises en équation et à repérer les défauts de représentation qui ont été à l’origine des difficultés des élèves.

3.1. Choix des problèmes

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Les données ont été collectées au moyen d’un questionnaire composé de cinq problèmes de type comparaison et administré à un échantillon de186 élèves, dont 67 élèves de deuxième et 119 de troisième année du secondaire collégial (14 et 15 ans). Les réponses des élèves sont codifiées par le code Ei-j, où i désigne le niveau scolaire et la lettre j désigne le j^ème élève.

Le tableau 3 suivant illustre les énoncés des problèmes avec leurs structures et les relations de comparaison, soumis aux élèves de 2^e et 3^e années du collège :

Type Problèmes Structures

Problème arithméti que

Problème 1 : Club de Sport (arithmétique)

Un Club de Sport propose trois types de jeux au cours de la journée, sachant que chaque participant ait le droit de choisir un seul jeu. Le nombre estimé de participants dans le football est quatre fois le nombre de participants dans le basket-ball et sept fois le nombre de participants au hand- ball. Si vous savez que 252 personnes avaient participé au football, quel est le nombre de participants dans chacun du jeu, le hand-ball et le basket-ball ?

Réponse, le nombre de participants : basket-ball: 36, et hand-ball : 63, total : 351

Puits XX Problème 2 : Production de souliers

Une usine produit trois types de souliers. Le nombre de souliers fabriqué pour les enfants est de 7 fois de celui fabriqué pour les hommes et 4 fois le nombre de souliers pour les femmes. Si cette usine produit un total de 429 souliers par jour. Quel est le nombre de chaque type de souliers produit par jour ?

Réponse, le nombre de souliers produit : hommes 44: , enfants : 308, femmes: 77

Source + +

Problème 3 : Dépense d’une famille

Une famille dépense par mois, dans l’enseignement, 870dh de plus que les frais de l’alimentation de ses enfants. Elle dépense aussi, sur l’habillement 850dh de plus que les frais d’alimentation. Elle compte un total de dépense par mois de 4960dh, combien dépense-t-elle dans l’alimentation, l’enseignement de ses enfants et l’habillement ?

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Réponse, les dépenses : Alimentation : 1080dh ; Enseignement des enfants :1950dh ; l’habillement : 1930dh

compositi on +X

Problème 4 : Partage d’argents

Trois personnes partagent une somme d’argent. La part de Khalid est de 27 dhs de plus que celui de Tariq et que la part de Samir est 4 fois plus que celui de Khalid. Si au total ils ont 441dhs, combien ont-ils chacun ?

Réponse, la part de : Samir : 312, Khalid : 78 et Tariq : 51

Source XX

Problème 5 : La boutique

Abdellah fait l’inventaire de trois produits de sa boutique.

Il compte 5 fois plus de produites de conserve que de produits nettoyage et il compte 3 fois plus de produits laitiers que de produits en conserve. S’il y a 441 produits en tout, combien y a-t-il de produits de chaque type ? Réponse, le nombre de produits : nettoyage : 21, laitiers : 315 et conserve : 105

Tableau 3 : Enoncés des problèmes avec leurs structures et les relations de comparaison

Les énoncés soumis aux élèves ont été élaborés de telle sorte que les problèmes se distinguent selon deux sortes de problèmes, Bednarz et Janvier (1996) :

Ainsi, le premier problème proposé est un problème de type connecté, il peut être facilement résolu à partir du nombre de pratiquants du football qui est 252, en exprimant les relations 4 fois et 7 fois, il devient possible de déterminer le nombre de pratiquant du basket et du handball, respectivement ; en réalisant des opérations arithmétiques sur les quantités connues.

Les quatre autres problèmes déconnectés apparaissent comme des problèmes relevant d’une tendance algébrique. A cet égard, dans cette classe de problèmes, trois types de problèmes se distinguent selon leurs structures, qui ont été pris en compte :

o Type source, les deux relations ont la même donnée comme point de départ (les problèmes 3 et 5).

o Type composition, une des données est le point d’arrivée d’une relation soit le point de départ de l’autre relation (problème 4).

o Type puits, les deux relations ont la même donnée comme point d’arrivée (problème 2).

Trois paramètres ont été pris en compte dans chaque structure du problème, à savoir : o Le nombre de branches est de trois ;

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o Les relations entre les données (additive, multiplicative ou additive et multiplicative) ;

o La nature des quantités mises en jeu.

Nous retenons que le choix de la classe de problèmes de comparaison favorise un double retombé ; d’une part, elle permet de générer des problèmes variés pouvant entrainer des démarches de raisonnements variés et d’autre part, elle amène également à distinguer les problèmes en fonction de type de raisonnement arithmétique ou algébrique.

Ainsi, le premier problème proposé est de type connecté (Bednarz et Janvier, 1996) et les quatre autres problèmes, qui nous intéressent dans cette étude, sont de type déconnecté (Ibid.) ; ils apparaissent comme des problèmes ne pouvant être résolus arithmétiquement (à moins d’un raisonnement de type essai-erreurs) et nécessitant la mobilisation d’un raisonnement algébrique.

3.2.Méthode d’analyse

Nous avons fait référence au cadre d’analyse sur l’analycité d’un raisonnement construit par Squalli et al. (2018) (accepté), pour analyser les productions des élèves en réponse aux problèmes proposés et nous avons ainsi caractérisé de façon concrète l’influence des différences institutionnelles observées sur la construction de rapports personnels des élèves aux objets de savoirs algébriques considérés.

Afin de pouvoir documenter les difficultés des élèves lors du processus de mise en équation algébrique, il nous a semblé pertinent au cours de la passation de ce questionnaire de demander aux élèves de noter en dos de la feuille ou dans les marges, toutes les remarques ou les difficultés rencontrées lors de la résolution ainsi que d’expliquer la justification de leurs réponses. Ces traces nous ont servi d’appui dans notre observation pour parvenir à identifier les défauts de représentations manifestés par les élèves.

Dans le processus d’analyse des copies des élèves, nous avons fait état des éléments procéduraux constitutifs du raisonnement analytique. Nous avons considéré que l’identification des données pertinentes de l’énoncé est une tâche à part entière. Dans ce cas, nous cherchons si les élèves, au début de leurs raisonnements distinguent les quantités nécessaires introduites dans l’énoncé et établissent les relations entre ces quantités. Ensuite, ils doivent chercher comment les représenter par des lettres ou des symboles algébriques et rapporter leurs relations.

De cette manière, nous avons pu établir un regard introductif sur les difficultés des élèves dans la démarche de la mise en équation. Cette démarche, prend fin quand l’équation

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modélisant le problème est formulée ou construite ; du fait que la mise en équation désigne une transformation d’un problème, exprimé en langage ordinaire, en une équation. Nous avons procédé à un découpage de la technique de mise en équation en termes de procédures, car nous visons en particulier, la compréhension de l’origine des erreurs des élèves. Notre analyse vise ensuite à répondre aux deux questions suivantes : Dans quels registres les difficultés des élèves se manifestent ? Quels sont les défauts de représentation sémiotiques qui sont à l’origine de ces difficultés ?

Dans ce cas, nous avons utilisé la grille, qui est appliquée à chaque problème (de 2 à 5). Le tableau 4 suivant, présente cette grille composée, en lignes, par des niveaux de procédures du raisonnement analytique conduisant à une mise en équation et en colonnes, elle est constituée par les modalités de jugement : AA, APA et AI.

AA : signifie que l’Action est appropriée

APA : action partiellement appropriée, ou action non-réussite (l’action contient une erreur ou loin de ce qui est demandé), par exemple pour

la procédure « considérer l’inconnu » dans une réponse du problème 2 : « soit x le nombre de souliers produit de l’usine pour chaque catégorie de personnes ». Cet élève a considéré l’inconnue, il la représente par une lettre, mais son choix n’est pas approprié. Donc ce cas, on attribue une note à la procédure « Choix de l’inconnue est correct » comme étant une action inappropriée.

AI : action inadéquate (aucune action, ne rien noter, ou non-réponse).

Nous avons différentié entre APA et AI, même si les deux actions ne sont pas toutes les deux réussies, car nous supposons qu’un élève qui a laissé quelques traces est tout à fait différent de celui qui n’a rien noté dans sa copie.

Dans un deuxième temps de l’analyse, nous exploitons la grille d’analyse développée par Squalli et al. (2018) (Accepté). Cette grille permet de classer les raisonnements selon les catégories : raisonnements de type synthétique, raisonnements à tendance analytique et raisonnements analytiques.

Les niveaux de procédures conduisant à une mise en

équation

A

A AP

A AI

Considérer l’inconnu Représenter l’inconnu par une lettre

Choisir l’inconnu correctement

Utiliser cette lettre pour représenter les relations Utiliser cette lettre pour représenter les équations Utiliser cette lettre pour représenter les relations et les équations

Tableau 4 : Les niveaux de procédures conduisant à une mise en équation

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Pour caractériser les différents types de raisonnements selon leur degré d’analycité et la nature du registre sémiotique de représentation, nous avons identifié les registres de représentation au sens du Duval. À travers cette étape, nous avons recensé les erreurs fréquentes produites par les élèves, en essayant par la suite de dévoiler les défauts de représentation sémiotiques qui sont à l’origine de ces difficultés, pour les 4 problèmes.

Notons que les élèves qui avaient traité l’un des problèmes avec un raisonnement synthétique ou avec un raisonnement à tendance analytique, ils n’ont pas permis de conclure avec certitudes qu’ils avaient effectivement des défauts de représentation, puisqu’ils n’ont pas procédé par une mise en équation explicite, conformément à la démarche du raisonnement analytique. Pour cette raison, nous avons choisi d’analyser les difficultés de mise en équation en demeurant dans le même registre algébrique conventionnel.

4. Analyses et interprétations des résultats

Nous présentons ici, les résultats de l’analyse des copies des élèves en réponse aux problèmes posés. Ces résultats sont présentés, dans un premier temps, sous forme de tableaux définissant les niveaux des procédures qui ont été établies pour analyser chaque problème. Cette présentation est suivie d’une analyse des scores obtenus sur les catégories de raisonnement effectués par les élèves. Enfin, nous exprimons les défauts de représentations à l’origine des difficultés de mise en équation dans le cas où la solution du problème présente l’inconnu et l’équation de façon explicite.

4.1. Résultats obtenus pour le problème 2 « Production de souliers »

4.1.1. Analyse quantitative des éléments procéduraux constitutifs de la démarche de mise en équation

Le recueil des résultats nous a permis de comparer le nombre de répondants sur un total de186 copies. Nous notons qu’il y a environ 51%(95) des copies ne comportent aucune réponse au problème 2.

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Représenter l'inconnu par une lettre1 Choix de l'inconnu est correct1 Considérer l'inconnu1

Utiliserlettre pr représenter relations1 Utiliserlettre pr représenter équation1 représenter relations et équations1 Ensemble

AA APA AI TOTAL

15,3% ( 13) 75,3% ( 64) 9,4% ( 8) 100% ( 85) 15,3% ( 13) 8,2% ( 7) 76,5% ( 65) 100% ( 85) 13,1% ( 11) 76,2% ( 64) 10,7% ( 9) 100% ( 84) 18,3% ( 15) 3,7% ( 3) 78,0% ( 64) 100% ( 82) 18,1% ( 13) 1,4% ( 1) 80,6% ( 58) 100% ( 72) 21,5% ( 14) 1,5% ( 1) 76,9% ( 50) 100% ( 65) 16,7% ( 79) 29,6% (140) 53,7% (254) 100% (473)

Tableau 5 : les niveaux d’atteinte des procédures pour le problème 2 sans non-réponses

En se limitant au nombre de réponses effectives, c’est-à-dire 49%(91), les résultats des productions analysées représentées dans le tableau 5, nous permettent de constater qu’une grande majorité d’élèves n’ayant pas réussi à atteindre le niveau requis des procédures de mise en équation de ce problème 2. En effet, environ 75% (64) ont considéré l’inconnue et l’ont représenté par une lettre en commettant des erreurs et 10% (9) ont considéré l’inconnue et l’ont représenté par une lettre de façon inadéquate. Ensuite, 15% (12) ont choisi l’inconnue de façon correcte. Mais, plus de 80% (67) d’entre eux ont des difficultés à utiliser cette lettre pour représenter les relations entre les quantités inconnues.

4.1.2. Catégories de raisonnements

Les données, du tableau 6 ci-dessous, présentent la distribution des catégories de raisonnements des élèves qui ont manifesté une réponse au problème 2, par rapport à leurs exactitudes, réussies ou non réussies.

Raisonnement analytique1

Risonnement à tendance analytique1 Raisonnement synthétique1

Ensemble

Réussie Non réussie TOTAL

12,7% ( 9) 87,3% ( 62) 100% ( 71) 21,4% ( 3) 78,6% ( 11) 100% ( 14) 0,0% ( 0) 100% ( 6) 100% ( 6) 13,2% ( 12) 86,8% ( 79) 100% ( 91)

Tableau 6 : Catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élève

Nous remarquons tout d’abord qu’il y a un faible taux de raisonnements réussis 13,2%(12).

Nous pouvons déduire de ces résultats que 87,3% (62/71) des raisonnements analytiques sont des raisonnements non réussis ; tandis que 78,6% (11/14) des raisonnements à tendance analytique sont des raisonnements non réussis. On note une absence de raisonnement synthétique réussi vu que le problème 2 est de type déconnecté.

Les élèves ont l’habitude de recourir à une démarche arithmétique, mais les problèmes de type déconnecté ont constitué un obstacle pour une majorité des élèves de notre échantillon. Nous

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avons recueilli plusieurs commentaires qui montrent que les élèves qui ont entamé la résolution du problème 2 par un raisonnement synthétique n’ont pas réussi leurs démarches :

« Je ne comprends pas ce genre de problème », « il y a un manque de données », « c’est difficile », etc.

4.1.3. Les défauts de représentations à l’origine des difficultés de mise en équation

Nous avons recensé les erreurs fréquentes commises par les élèves dans le processus de mise en équation et nous les avons associées aux types de défaut de représentation respectifs. Ci- dessous, nous analysons les productions développées par quelques élèves qui, bien qu’ils soient parmi les 62 des 71 élèves qui n’ont pas résolu correctement le problème 2, en tentant de procéder dans leurs résolutions par un raisonnement analytique (tableau 6), relativement au registre de représentation sémiotique conventionnel de l’algèbre.

 La figure 1 représente la démarche de résolution du problème 2 de l’élève E3-6 :

« Soit x le nombre de chaque type de souliers produits par jour. Formulation de l’équation : 4x+7=429».

Figure 1 : Résolution de l’élève E3-6 au problème 2

Il semblerait que cet élève essaie de faire correspondre une quantité inconnue 4x à laquelle il a ajouté 7 unités pour obtenir une quantité connue 429.

L’identification des objets décrits dans l’énoncé consiste à bien repérer l’inconnue et dans la plupart des cas, selon les conceptions des élèves, c’est la question posée dans l’énoncé qui

(15)

indique cette inconnue. En revanche, c’est tout à fait différent ici, le choix de l’inconnue proposé par cet élève, « soit x le nombre de chaque type de souliers produits par jour », suppose qu’on aura le même nombre pour chaque type de souliers produit. En effet, l’élève E3-6 additionne une quantité inconnue 4x représentant le nombre de souliers de chaque type en le multipliant par 4 unités et il a ajouté 7 représentant des unités pour obtenir une quantité connue représentant le nombre total de souliers. Cette erreur commise semble se rapprocher du défaut d’égalité de correspondance. Elle pourrait aussi être le défaut de somme référentielle, c’est-à-dire que le seul aspect pris en compte par l’élève pour effectuer une somme est celui des différents objets désignés dans le texte, en négligeant la dimension sémantique dont ces objets relèvent. Une somme non homogène est alors effectuée.

La figure 2 représente la démarche de résolution du des enfants7x =429

7 , le nombre de souliers des hommes 7x = 429, le nombre de souliers des femmes 4x, je n’ai pas compris ».

Cet élève a considéré une inconnue en la représentant par une lettre x, en revanche cette inconnue n’est pas correcte. L’erreur s’est probablement introduite lorsqu’il a assigné à l’inconnue x le nombre de souliers, sans préciser son type, il a fait correspondre chaque quantité inconnue avec le nombre total des souliers. Il a négligé la traduction des relations qui relient ces qualités inconnues et il a utilisé les blocs 7x et 4x sans en comprendre précisément la signification. On peut associer alors, ce défaut de représentation, à celui du bloc référentiel de forme multiplicative, c’est à dire que, seul l’aspect référentiel est pris en compte.

A la fin, cet élève a indiqué un signal d’abandon de sa résolution « je n’ai pas compris ».

Quand il n’y a pas un abandon naturel devant une tâche qui leur paraît imperceptible, nous voyons apparaître des incompréhensions ou des oublis dans la lecture de l’énoncé concernant

(16)

la détermination des relations à prendre en compte. Cet élève semble avoir du mal à identifier les relations permettant d’articuler les quantités inconnues pour représenter une équation.

La figure 3 bre de chaque type de souliers produits par jour. La formulation de l’équation : 429

7 x+429

4 x=429 ».

Dans cette production, le choix de l’inconnue est erroné, l’élève s’appuie sur un traitement qui fait référence au partage équitable non justifié par un retour au contexte du problème. Nous pensons que l’identification des relations entre les objets reste mal introduite plus que l’identification des objets, tout en considérant l’inconnue et la représenter par une lettre.

Puisque le problème 2 proposé est un problème déconnecté de type puits (les deux relations ont la même donnée comme point d’arrivée) et les relations entre les données sont multiplicatives alors l’élève utilise ces deux blocs 429

7 x et429

4 x , du fait que les relations entre les données sont multiplicatives, sans en comprendre précisément la signification. Nous avons accordé ce défaut de représentation à celui de la variable indicée, c’est à dire que les blocs 429

7 x et429

4 x, représentent des correspondances et non pas des multiplications. Dans ce même ordre d’idée les blocs 429

7 x et 429

4 x pourraient être interprété comme le résultat d’un défaut de représentation du genre du bloc référentiel de forme multiplicative.

La figure 4 représente la démarche de résolution du problème 2 de l’élève E3-32 :

« Soit x le nombre de souliers des enfants ; x=429×7×4. Soit x le nombre de souliers des hommes ; x=429- 4. Soit x le nombre de souliers des femmes ; x=429

−7−4 »

(17)

Cet élève a considéré l’inconnue et il l’a représentée par une lettre sans établir le lien entre les objets identifiés dans le texte. Dans sa représentation, puisqu’il a manifesté une difficulté à identifier les relations qui permettent d’articuler les quantités inconnues pour représenter une équation, il a changé son registre de représentation, en passant du registre algébrique vers le registre numérique. Dans ce dernier, il a essayé d’opérer sur les quantités connues décrites dans le texte. Nous pensons que le défaut de représentation manifesté dans la solution de cet élève est accordé au défaut de la variable référentielle, car le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est une action particulière.

La figure 5 représente la démarche de résolution de ce problème de l’élève E3-101 :

« Soit x le nombre de souliers des enfants, soit y le nombre de souliers des hommes et soit z le nombre de souliers des femmes ;

{

^x+7x+4^y⁺z⁴=429^z=⁴²⁹».

Cet élève a considéré trois inconnues en représentant le nombre de souliers des enfants par la lettre x, le nombre de souliers des hommes par la lettre y et le nombre de souliers des femmes par la lettre z. Dans la première équation du système, il a fait une erreur de confusion entre l’inconnue de base x représentant le nombre de souliers des enfants et les quantités inconnues 7y et4z. Il y a eu aussi un manque dans l’établissement des relations entre les objets dont le texte relève. Dans la deuxième équation, il se contredit avec la première, lorsqu’il a négligé complètement la quantité inconnue 7y. Nous pouvons donc classer ce défaut de représentation, au défaut de la variable référentielle.

(18)

« Le nombre de souliers des hommes, le nombre de souliers des femmes 4x=429 et le nombre de souliers des enfants est 429-(61+17,25) ».

Cet élève n’a pas choisi explicitement l’inconnue en la représentant par le symbole x. Il a considéré les quantités inconnues en les représentant par l’expression 7x, pour le nombre de souliers des hommes et 4x pour le nombre de souliers des femmes. L’erreur s’est probablement introduite lorsqu’il a assigné aux quantités inconnues 7x et 4x la quantité connue 429, qui est le total des souliers produit (7x = 429 et 4x=429). Il a négligé la traduction des relations qui relient ces qualités inconnues et il a utilisé les blocs 7x et 4x sans en comprendre précisément la signification. En effet, dans l’expression 7x, le symbole x représente le nombre de souliers des enfants et non celui des hommes. De même pour l’expression 4x, le symbole x représente le nombre de souliers des enfants et non celui des femmes. Dans ce cas, l’écriture de l’élève « le nombre de souliers des enfants est 429- (61+17,25 », nous pouvons la traduire par la chose suivante : le nombre de souliers des enfants est égal au total des souliers produits (429) auquel on retranche la somme (61+17,25)

= (le nombre de souliers des enfants+ le nombre de souliers des femmes). Nous pouvons associer alors, ce défaut de représentation, au défaut de l’égalité de correspondance.

« 7x+4x=429

(19)

En analysant l’équation proposée, il semblerait que cet élève essaie de faire correspondre une quantité inconnue 4x à laquelle il a ajouté une autre quantité inconnue 7x pour obtenir une quantité connue 429. Cette erreur semble se rapprocher du défaut d’égalité de correspondance.

4.2. Résultats obtenus pour le problème 3 « Dépense d’une famille »

4.2.1. Analyse quantitative des éléments procéduraux constitutifs de la démarche de la mise en équation

Le recueil de données nous a permis de comparer le nombre de répondants sur un total de186 copies. Notons qu’environ 65,05%(121) des copies d’élèves ne comportent aucune réponse au problème 3.

Choix de l'inconnu est correct2 Représenter l'inconnu par une lettre2 Considérer l'inconnu 2

AA APA AI TOTAL

22,4% ( 13) 5,2% ( 3) 72,4% ( 42) 100% ( 58) 21,1% ( 12) 68,4% ( 39) 10,5% ( 6) 100% ( 57) 22,8% ( 13) 64,9% ( 37) 12,3% ( 7) 100% ( 57) 24,1% ( 13) 1,9% ( 1) 74,1% ( 40) 100% ( 54) 27,1% ( 13) 4,2% ( 2) 68,8% ( 33) 100% ( 48) 28,3% ( 13) 2,2% ( 1) 69,6% ( 32) 100% ( 46) 24,1% ( 77) 25,9% ( 83) 50,0% (160) 100% (320)

En se limitant au nombre de réponses effectives, les résultats des productions analysées représentés dans le tableau 7 ci-dessous, nous permet de constater qu’une grande majorité d’élèves n’ont pas réussi à atteindre le niveau requis des procédures de mise en équation de ce problème 3. En effet, environ 72,4% (42) ont choisi l’inconnue de façon inappropriée, 5,2%

(3) ont choisi l’inconnue de façon partiellement appropriée et seulement 22,4% (13) ont choisi l’inconnue correctement. Nous constatons aussi que plus de 78% (45) des élèves interrogés ont considéré l’inconnue et l’ont représenté par une lettre, mais en commettant des erreurs dans les deux niveaux de procédures.

D’autre part, plus de 74,1% (40) ont de sérieuses difficultés à opérer sur l’inconnue pour représenter les relations entre les quantités inconnues. Ensuite, environ 70%(32) ont des difficultés à représenter les relations et les équations.

4.2.2. Catégories des raisonnements

Les données, du tableau 8 ci-dessous, synthétisent la distribution des catégories de raisonnements des élèves qui ont manifesté une réponse au problème 3, par rapport à leurs

(20)

exactitudes, réussies ou non réussies.

Risonnement à tendance analytique2 Raisonnement synthétique2

Ensemble

28,8% ( 15) 71,2% ( 37) 100% ( 52) 25,0% ( 2) 75,0% ( 6) 100% ( 8) 0,0% ( 0) 100% ( 5) 100% ( 5) 26,2% ( 17) 73,8% ( 48) 100% ( 65)

Tableau 8 : Catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves

Nous constatons qu’il y a moins de raisonnements réussis 26,2%(17) que de raisonnements non réussis 73,8%(48). En effet, pour les 52 raisonnements analytiques, 71,2% (37) sont des raisonnements non réussis. Tandis que, pour les 8 raisonnements à tendance analytique, 75%(6) sont des raisonnements non réussis. On note une absence du raisonnement synthétique vu que le problème 3 est de type déconnecté. Les élèves ont l’habitude de recourir à une démarche arithmétique, mais dans ce type de problèmes déconnecté avec les relations additives, les élèves ont essayé de recourir aux différents registres de représentations algébriques et intermédiaires.

Nous avons recensé les fréquentes erreurs commises par les élèves dans le processus de mise en équation et nous les avons associées aux types de défaut de représentation respectifs. Ci- dessous, nous analyserons les productions développées par quelques élèves qui, bien qu’ils soient parmi les 37 des 52 élèves qui n’ont pas résolu correctement le problème 3, en tentant de procéder dans leurs résolutions par un raisonnement analytique (tableau 8). Relativement au registre de représentation sémiotique conventionnel de l’algèbre.

La figure 8 représente la démarche de résolution du problème 3 de l’élève E2-14 : « 870x+x850=4960».

(21)

Cet élève a écrit directement l’équation traduisant le problème 3, sans préciser ce que représente la lettre x. À travers son équation, l’élève a additionné des blocs multiplicatifs 870x et x850sans en tenir compte de la signification, vu que les relations mises en place dans le problème sont de types additifs. Nous pouvons qualifier ce défaut de représentation à celui du bloc référentiel de forme multiplicative.

La figure 9 représente la démarche de résolution du problème 3 de l’élève E2-21 : « Le montant dépensé dans l’enseignement de ses enfants : x+870 = 4960, le montant dépensé dans l’habillement x+850 = 4960 et le montant dépensé dans l’alimentation est 4960- (4090+4110) ».

Cet élève n’a pas choisi explicitement l’inconnue en la représentant par le symbole x « le montant dépenser dans l’alimentation est 4960- (4090+4110) ». Il a considéré, immédiatement, les quantités inconnues en les représentant par l’expression x+870, pour représenter le montant dépensé dans l’enseignement des enfants et l’expression x+850 pour représenter le montant dépenser dans l’habillement. Nous pensons que l’erreur s’est probablement introduite lorsqu’il a assigné aux quantités inconnues x+870 et x+850 la quantité connue 4960, qui représente le total des dépenses par mois (x+870 = 4960 et x+850 = 4960). Dans sa représentation, le seul aspect pris en compte pour le choix d’une inconnue est une action particulière (un seul objet). Nous pensons que le défaut de représentation manifesté dans la solution de cet élève est accordé au défaut de représentation de la variable référentielle.

« z = l’enseignement et l’alimentation; y= l’habillement. z+y = 4960- (z+870)- 870»

35

(22)

Dans cette production, le choix de l’inconnue est erroné, l’élève s’appuie sur un seul aspect pour le choix de l’inconnue qui est la référence. En effet, en algèbre généralement, les lettres ne représentent pas des objets, mais des nombres. Dans le cas de cet élève, il a considéré z = Alimentation et enseignement et y= habillement. Or, y ne représente pas l’habillement, mais y c’est la dépense de la famille dans l’habillement (le montant en dhs c’est un nombre) et la même chose s’applique à la lettre z.

Quant à la formulation de l’équation, il a écrit z+y = 4960- (z+870) - 870, cette expression peut être une correspondance, mais ne peut pas être une égalité. Nous pouvons associer alors, ce défaut de représentation, au défaut de l’égalité de correspondance.

« Soit x la dépense de la famille dans chacun de l’enseignement, l’alimentation et l’habillement. Formulation de l’équation : x+x+ 870+850=4960

Cet élève a choisi l’inconnue de façon incorrecte, car seulement les objets de référence que le texte met en correspondance sont pris en compte. Dans son raisonnement, il a écrit : « Soit x la dépense de la famille de tout un chacun : l’enseignement, l’alimentation et l’habillement ».

Par ailleurs, les lettres ne représentent pas des objets, elles représentent des nombres. La formulation de l’équation ainsi produite « x+x+ 870+850=4960 » montre qu’il n’a pris en compte que les deux expressions des quantités inconnues x+870 et x+ 850. Nous supposons que sa représentation l’amené à tomber en défaut dans l’identification des relations entre les objets. Ce défaut de représentation semble se rapprocher du défaut d’égalité de correspondance.

(23)

4.3. Résultats obtenus pour le problème 4 « Partage d’argents »

4.3.1. Analyse quantitative des éléments procéduraux constitutifs de la démarche de la mise en équation

Le recueil de données de l’analyse nous a permis de comparer le nombre de répondants sur un total de186 copies. Notons qu’environ 69,35%(129) des copies d’élèves ne comportent aucune réponse au problème 4.

En se limitant au nombre de réponses effectives, les résultats des productions analysées représentés dans le tableau 9, nous permet de constater qu’une grande majorité d’élèves n’ayant pas réussi à atteindre le niveau requis des procédures de mise en équation de ce problème 4. En effet, environ 70,4% (38) ont choisi l’inconnue de façon inappropriée et 29,6% (16) ont choisi l’inconnue correctement. Nous constations aussi que plus de 75% (40) des élèves interrogés ont considéré l’inconnue et la représentée par une lettre, mais en commettant des erreurs les deux niveaux de procédures.

D’autre part, plus de 73,1% (38) ont de sérieuses difficultés à opérer sur l’inconnue pour représenter les relations entre les quantités inconnues. Ensuite, vers 69%(29) ont du mal à représenter les relations et les équations.

Les données, du tableau 10 ci-dessous, synthétisent la distribution des catégories de raisonnements des élèves qui ont manifesté une réponse au problème 4, par rapport à leurs exactitudes, réussies ou non réussies.

Choix de l'inconnu est correct3 Représenter l'inconnu par une lettre3 Considérer l'inconnu3

AA APA AI TOTAL

29,6% ( 16) 0,0% ( 0) 70,4% ( 38) 100% ( 54) 24,5% ( 13) 60,4% ( 32) 15,1% ( 8) 100% ( 53) 25,0% ( 13) 61,5% ( 32) 13,5% ( 7) 100% ( 52) 26,9% ( 14) 0,0% ( 0) 73,1% ( 38) 100% ( 52) 24,4% ( 11) 4,4% ( 2) 71,1% ( 32) 100% ( 45) 26,2% ( 11) 4,8% ( 2) 69,0% ( 29) 100% ( 42) 26,2% ( 78) 22,8% ( 68) 51,0% (152) 100% (298)

Raisonnement analytique3 Raisonnement synthétique3 Risonnement à tendance analytique3

22,0% ( 11) 78,0% ( 39) 100% ( 50) 0,0% ( 0) 100% ( 5) 100% ( 5) 0,0% ( 0) 100% ( 2) 100% ( 2)

(24)

Dans les catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves, il y a un faible taux de raisonnements réussis 19,3%(11) par rapport à celui du raisonnement non réussi 80,7%(46).

Ainsi, pour les 50 raisonnements analytiques, 78% (39) sont des raisonnements non réussis.

Tandis que, pour les 2 raisonnements à tendance analytique, tous les deux sont des raisonnements non réussis. On note qu’il y a aussi 5 tentatives de raisonnement synthétique qui n’ont pas abouti.

Nous avons recensé les fréquentes erreurs commises par les élèves dans le processus de mise en équation et nous les avons associées aux types de défaut de représentation respectifs. Ci- dessous, nous analyserons les productions développées par quelques élèves, bien qu’ils soient parmi les 39 des 50 élèves qui n’ont pas résolu correctement le problème 4, en tentant de procéder dans leurs résolutions par un raisonnement analytique (tableau 10). Relativement au registre de représentation sémiotique de l’algèbre conventionnel.

« La part de Khalid est : x+27, la part de Tariq est : x-27 et la part de Samir est (x+27)⁴. La formulation de l’équation : (x+27) + ( x -27) +(x+27)⁴= 441».

Cet élève a exprimé une confusion entre les dénominations de base utilisées pour désigner les quantités inconnues et les objets qu’elles permettent de désigner. En effet, il a établi alors une fausse correspondance entre l’inconnue, c’est-à-dire la lettre x utilisée comme dénomination de base dans la traduction algébrique de l’équation, et la désignation des quantités inconnues.

Il a commis des erreurs de conversion dans les relations qui articulent des quantités, connues

(25)

faite du problème l’a amené a pris en compte un seul aspect pour effectuer une somme est celui des différentes quantités inconnues désignées dans le texte de l’énoncé en négligeant la dimension sémantique dont ces objets relèvent. On peut accorder ce défaut de représentation à un défaut de la somme référentielle.

« Soit x la part de chacun d’entre eux : x. La formulation de l’inéquation : x+x+27x+441≤ 3x ».

Cet élève a choisi l’inconnue par « soit x la part de chacun d’entre eux », nous pensons que dans sa représentation, une même variable x peut prendre trois valeurs différentes (la part d’un chacun). En revanche, plusieurs élèves sont familiarisés, dans la plupart du temps, de considérer comme inconnue la ou les quantités dont on leur demande de trouver la valeur. Il y a en fait, plusieurs choix possibles donc plusieurs inconnues et les élèves doivent choisir une seule inconnue. Dans sa démarche de mise en équation, il a formulé l’inéquation : x+x+27x+441≤ 3x, nous supposons que son recours à l’inéquation réside de la traduction sémantique du mot « plus que » par « supérieur que ». L’expression 3x représente la somme de la part de chacun (x+x+x) et le premier membre est formé par la somme des quantités inconnues x, x et 27x ainsi que la quantité connue 441. Deux défauts de représentation interagissent donc, dans la production de cet élève, le premier défaut de représentation est attaché au bloc référentiel de forme multiplicative (introduire les expressions 27x et 3x en négligeant leurs dimensions sémantiques) et le deuxième défaut de représentation est accordé au défaut de l’égalité de correspondance (seulement les objets de référence sont pris en compte dans le choix de l’inconnue).

La figure 14 représente la démarche de résolution de ce problème de l’élève E3-92 :

« Soit x la part de Samir et y la part de Khalid :

{

^x+x=^y⁼⁴⁴¹4y ».

39

(26)

Cet élève a considéré deux inconnues, x la part de Samir et y la part de Khalid, il a essayé de convertir l’énoncé du problème sous forme de système d’équation à deux inconnues. L’erreur commise se manifeste au niveau du travail de conversion d’une expression linguistique en une quantité inconnue. La mise en équation de ce type de problème n’autorise qu’une seule dénomination de base, une lettre désignant l’inconnue, pour exprimer les trois quantités inconnues. Dans l’énoncé de ce problème, les trois personnes partagent une somme d’argent de 441dhs, mais ce partage n’est pas en fait équitable. L’élève a converti correctement la première dénomination de base « la part de Samir est 4 fois plus que celui de Khalid » sous forme de l’égalité x=4y, mais il a négligé la deuxième dénomination de base « la part de Khalid est de 27 dhs de plus que celui de Tariq ». Nous pensons que, l’écriture de l’équation x+y=441 est une correspondance et non une égalité. Ce défaut de représentation semble se rapprocher du défaut d’égalité de correspondance.

4.4. Résultats obtenus pour le problème 5 « La boutique »

4.4.1. Analyse quantitative des éléments procéduraux constitutifs de la démarche de la mise en équation

Le tableau 11 ci-dessous résume permet de comparer le nombre de répondants sur un total de186 copies. Notons qu’environ 86,7% sont des non-réponses à l’une des procédures au moins.

En se limitant au nombre de réponses effectives, les résultats des productions analysées représentés dans le tableau 11, nous permet de constater qu’une grande majorité d’élèves

Considérer l'inconnu4

Représenter l'inconnu par une lettre4 Choix de l'inconnu est correct4 Utiliserlettre pr représenter relations4 Utiliserlettre pr représenter équation4 représenter relations et équations4 Ensemble

AA APA AI TOTAL

15,4% ( 4) 73,1% ( 19) 11,5% ( 3) 100% ( 26) 15,4% ( 4) 65,4% ( 17) 19,2% ( 5) 100% ( 26) 15,4% ( 4) 11,5% ( 3) 73,1% ( 19) 100% ( 26) 23,1% ( 6) 0,0% ( 0) 76,9% ( 20) 100% ( 26) 26,1% ( 6) 0,0% ( 0) 73,9% ( 17) 100% ( 23) 28,6% ( 6) 0,0% ( 0) 71,4% ( 15) 100% ( 21) 20,3% ( 30) 26,4% ( 39) 53,4% ( 79) 100% (148)

(27)

n’ayant pas réussi à atteindre le niveau requis des procédures de mise en équation de ce problème 5. En effet, environ 73,1% (19) ont choisi l’inconnue de façon inappropriée, 11,5%

(3) ont choisi l’inconnue de façon partiellement appropriée et seulement 15,4% (4) ont choisi l’inconnue correctement. Nous constations aussi que plus de 84% (21) des élèves interrogés ont considéré l’inconnue et la représentée par une lettre, mais en commettant des erreurs les deux niveaux de procédures.

D’autre part, plus de 76,9% (20) ont de sérieuses difficultés à opérer sur l’inconnue pour représenter les relations entre les quantités inconnues. Ensuite, vers 71,4%(15) ont du mal à représenter les relations et les équations.

En se limitant aux réponses effectives, les données du tableau 12 ci-dessous mettent en évidence les catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves relativement à la résolution du problème 5.

Nous remarquons qu’il y a moins de raisonnements réussis 19,4%(6) que de raisonnements non réussis 80,6%(25). En effet, pour les 29 raisonnements analytiques, 82,8% (24) sont des raisonnements non réussis. Tandis que, pour les deux autres raisonnements, nous notons qu’il y a un seul raisonnement à tendance analytique réussi et un seul raisonnement synthétique non réussi.

Nous avons recensé les fréquentes erreurs commises par les élèves dans le processus de mise en équation et nous les avons associées aux types de défaut de représentation respectifs. Ci- dessous, nous analyserons les productions développées par quelques élèves, bien qu’il soit parmi les 24 des 29 élèves qui n’ont pas résolu correctement le problème 5, en tentant de procéder dans leurs résolutions par un raisonnement analytique (tableau 12). Relativement au

Risonnement à tendance analytique4 Raisonnement synthétique4 Ensemble

17,2% ( 5) 82,8% ( 24) 100% ( 29) 100% ( 1) 0,0% ( 0) 100% ( 1) 0,0% ( 0) 100% ( 1) 100% ( 1) 19,4% ( 6) 80,6% ( 25) 100% ( 31)

Tableau 12 : Catégories de raisonnements manifestés dans les productions des élèves

(28)

registre de représentation sémiotique de l’algèbre conventionnel.

La figure 15 représente la démarche de résolution du problème 5 de l’élève E3-77 : « Soit x le nombre de produits de chaque type. 5x+3x = 441 ».

Pour considérer l’inconnue, cet élève traduira la consigne du problème « combien y a-t-il de produits de chaque type ? » en exprimant comme inconnue les quantités dont on demande de trouver la valeur ; il a repéré l’inconnue par le libellé « soit x le nombre de produits de chaque type ». Dans la formulation de l’équation « 5x+3x = 441 », il a converti la dénomination de base « il compte 5 fois plus de produites de conserve que de produits nettoyage » par la quantité inconnue 5x et il a converti la dénomination de base « il compte 3 fois plus de produits laitiers que de produits en conserve » par la quantité inconnue 3x. Nous remarquons qu’il a établi alors de fausses correspondances entre l’inconnue, c’est-à-dire la lettre utilisée comme dénomination de base dans la traduction algébrique de l’équation et les quantités inconnues.

Deux défauts de représentation interfèrent donc, dans la production de cet élève, le premier défaut de représentation est attaché au bloc référentiel de forme multiplicative (introduire l’expression 3x en négligeant sa dimension sémantique) et le deuxième défaut de représentation est accordé au défaut de l’égalité de correspondance ; le signe égal dans l’expression

« 5x+3x = 441 » représente une correspondance et non une égalité.