Résultats numériques

Les enlacements calculés pour différentes valeurs de µ balayant l’intervalle [0, 1] et pour différentes valeurs de J = e1−δ en-dessous de la première valeur critique e1(celle du premier point de Lagrange) sont tous positifs. Les données numériques sont regroupées sous forme de tableau dans l’annexeI, ainsi que dans les graphiques ci-dessous. Pour chaque choix de paramètres, on a calculé l’enlacement deux à deux de N = 20 à 40 trajectoires tirées au hasard et lancées pendant un temps T variant de 300 à 1000selon le niveau d’énergie.

Rappelons le théorème 5.2.5, qui dit en particulier que pour qu’un flot soit lévogyre, il faut et il suffit que l’enlacement asymptotique de tous ses couples d’orbites soit strictement positif. Ainsi, les résultats numériques obtenus semblent indiquer que tous les couples de mesures invariantes qui apparaissent dans la décomposition ergodique de la mesure de Liouville s’enlacent positivement, ce qui corrobore la conjecture suivante.

Conjecture 6.2.3. Pour toutes les valeurs de µ ∈ [0, 1], le problème à trois corps restreint, circulaire

6.2. PROGRAMMATION EN MATLAB 101

102 CHAPITRE 6. CALCUL NUMÉRIQUE D’ENLACEMENTS

6.2. PROGRAMMATION EN MATLAB 103

104 CHAPITRE 6. CALCUL NUMÉRIQUE D’ENLACEMENTS

Figure 6.5 – Intersections de 42 orbites avec la section {position : à droite de la primaire, vitesse : vers le haut}. Paramètres : µ = 0.4, δ = 0.01 ; temps d’intégration : T = 5000.

6.2. PROGRAMMATION EN MATLAB 105 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 energie 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 en la c emen t/ T 2 mu=0.1 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 energie 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 en la c emen t/ T 2 mu=0.3 -3 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2 energie 0 1 2 3 4 5 6 7 en la c emen t/ T 2 mu=0.5 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 energie 0 2 4 6 8 10 12 en la c emen t/ T 2 mu=0.7 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 energie 0 5 10 15 20 25 30 35 40 en la c emen t/ T 2 mu=0.9

Figure6.6 – Valeurs de l’enlacement par unité de temps au carré, pour toutes les simulations effec-tuées avec µ = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9.

106 CHAPITRE 6. CALCUL NUMÉRIQUE D’ENLACEMENTS -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 energie 0 5 10 15 20 25 30 35 en la c emen t/ T 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 6.7 – Minima des enlacements calculés pour différents µ ∈]0, 1[ (µ représenté par l’échelle colorimétrique).

107

Annexe : mesure de Liouville et taux d’enlacement sur une

hypersurface

Mesure de Liouville. Montrons que la mesure de Liouville d’un niveau d’énergie se projette sur la région de Hill en une mesure uniforme. Ce fait est une généralisation du théorème d’Archimède, selon lequel l’aire de la portion de sphère de dimension 2 comprise entre deux parallèles ne dépend que de la différence de hauteur entre ces deux parallèles ; autrement dit la mesure d’aire sur la sphère se projette sur l’axe vertical en une mesure uniforme. Dans notre cas, on a sur C2un hamiltonien H de la forme

H(q, p) = ¹

2|p|²+ V (q).

En notant µH la mesure de Liouville sur le niveau {H = c} et µ sa mesure image par la projection sur la région de Hill, on a, pour A ⊂ R2,

µ(A) = µH{q ∈ A, H = c} = ^d dc^(µH{q ∈ A, H < c}) = ^d dc Z {V <c}∩A Z 1 n |p| <^p2(c − V (q))^odpdq = ^d dc Z {V <c}∩A2π(c − V (q))dq = Z {V <c}∩A 2πdq.

Ainsi, µ est, à un facteur 2π près, la mesure de Lebesgue sur la région de Hill. Comme le hamiltonien ne dépend que de la norme de p, les niveaux d’énergie sont invariants par rotation de p, et donc la mesure induite sur chaque cercle {q = cste} est uniforme. On remarquera que cette décomposition de la mesure de Liouville en mesures uniformes n’a plus lieu pour p de dimension 3 et plus.

Chapitre 7

Suspensions

Lorsqu’un flot sur S3admet une section de Birkhoff – c’est-à-dire une surface qui intersecte trans-versalement toutes les orbites du flot et est bordée par une famille d’orbites périodiques – on peut reconstituer une bonne partie de sa dynamique grâce à la seule donnée de l’application de premier retour sur cette surface. Nous nous intéressons ici à l’enlacement des orbites périodiques – et, plus généralement, des mesures invariantes – et à la manière dont il se traduit dans la dynamique discrète du premier retour. Nous nous limiterons aux flots de classe C1admettant un disque comme section de Birkhoff, et expliquerons dans un premier temps comment reconstruire un tel flot comme suspension de son application de premier retour, que l’on assortira d’une isotopie à l’identité. Puis nous nous concentrerons sur les difféomorphismes du disque, et définirons l’enroulement de mesures invariantes pour un difféomorphisme ψ, ainsi que la notion de difféomorphisme fortement tournant et faiblement

tournant. Nous invitons le lecteur à consulter l’article d’Anna Florio [19], qui propose une étude sur ce sujet avec une approche différente. Enfin, nous montrerons que, dans le cas des flots qui nous in-téressent, il y a correspondance entre difféomorphismes faiblement tournants et flots lévogyres, et appliquerons ces résultats à l’étude du problème à trois corps dans le cas dégénéré où une des deux primaires disparaît.

7.1 Suspension d’un difféomorphisme de D

Soit ψ un difféomorphisme direct du disque orienté D2. L’objectif est de suspendre ψ, pour obtenir un flot sur S3admettant une section de Birkhoff en disque sur laquelle l’application de premier retour soit précisément ψ.

Première remarque. On s’aperçoit rapidement que la donnée d’un difféomorphisme du disque

est insuffisante pour définir un flot, en ce sens que deux flots différents (et même, une infinité de flots différents) peuvent avoir une section de Birkhoff en disque sur laquelle l’application de premier retour est la même.

Un tel exemple est donné par les flots k-Hopf : définis sur la sphère unité de C2, ils admettent tous la même décomposition en tores invariants {|z1

z2| = cste}, mais les trajectoires sur chacun des tores non dégénérés sont des noeuds (1, k). Explicitement, ces flots sont définis sur S3par

ϕ^t(z1, z2) = (z1e^2iπkt, z2e^2iπt).

Pour tous ces flots, l’enlacement est différent, puisque les orbites du flot k-Hopf sont toutes pério-109

110 CHAPITRE 7. SUSPENSIONS

diques et que, mise à part l’orbite {z1= 0}, elles s’enlacent deux à deux exactement k fois. Pourtant, ces flots admettent tous comme section de Birkhoff le disque {Arg(z2) = 0}, sur lequel l’application de premier retour est l’identité.

Comme on le verra ci-dessous, pour suspendre de manière univoque le difféomorphisme ψ on a besoin de la donnée, à homotopie près, d’une isotopie ψt : id ψ ou, ce qui revient au même, d’un élément eψde gDiff(D2), le revêtement universel de Diff(D2). Comme l’espace des difféomorphismes de D2qui sont l’identité près du bord est simplement connexe, le noyau de l’extension

g

Diff(D²) −→ Diff(D²) est Z, ce qui revient à dire que deux isotopies ψt, ψ′

t : id ψ diffèrent d’un entier, entier auquel on pourra penser comme au nombre de tours qu’effectue un point du bord lors de l’isotopie id id qui pour t ∈ [0,1

2]vaut ψ2t et pour t ∈ [1

2, 1]vaut ψ′ 2(1−t).