Nous avons appliqué cette méthode de calcul afin de dénombrer le nombre de grains se formant statistiquement pour différents rapports L/Rdep (nombre sans dimension) allant de 0,25 (rayon de déplétion 4 fois plus grand que le côté du domaine carré) à 25 (côté du carré 25 fois plus grand que le rayon de déplétion).
Les résultats de cette série de simulations sont rassemblés dans la Fig. 3.2 7, sous la forme d'un graphe log-log, selon les mêmes axes que précédemment.
L Rdep a b c d e f g h i j L Rdep
Figure 3.2 6 (a) à (i) Illustration des simulations de tirage des sites de nucléation et de déplétion de la sur-face du domaine carré (en rouge). (j) Schéma de grains en résultant (tessellation de Voronoï).
(Fig. 3.2 6) 3.2.1 Influence de la taille des motifs sur la densité surfacique de nucléation des cristaux
Cette courbe présente trois régimes :
– l'obtention de monocristaux jusqu'à un rapport L/Rdep de l'ordre de 0,8 ;
– un régime croissant de transition entre L/Rdep = 0,8 et 2, dont la pente dans le graphe log-log évolue de 2 à 1 ;
– et enfin un régime croissant passant lentement d'une pente de 1 à une de 2.
La position de ces régimes est responsable de l'obtention d'un seul ou de plusieurs cristaux : il est donc important de déterminer les raisons qui les expliquent. Ce travail est effectué dans le paragraphe c) de cette sous-section.
Nous avons dans un premier temps comparé la distribution simulée des grains aux distributions ob-servées expérimentalement. À partir d'images MEB et comme vu précédemment, il est possible de mettre en évidence les frontières des monocristaux obtenus au cours du procédé AIC. Ce traitement est illustré par la Fig. 3.2 8 (a). À partir de ce découpage, la surface occupée par chaque grain a été calculée, ainsi que leur rayon équivalent (en supposant que la surface mesurée est celle d'un disque). La distribution de rayon équivalent Req normalisé par le rayon équivalent moyen, est représentée dans la Fig. 3.2 8 (c) (histogramme bleu).
Une simulation d'un très grand domaine isolé a été réalisée afin de décrire la cristallisation d'un empi-lement d'extension infinie. Un détail du résultat de cette simulation est présenté dans la Fig. 3.2 8 (b), l'histogramme des Req est également tracé dans le graphe de la Fig. 3.2 8 (c) (rouge).
L/Rdep
1 10
0,3 0,4 0,6 0,8 2 3 4 5 6 8 20 30
1
Nombr
e de cristaux par motif 10
100 1000 2 1 1 1 2 1
Figure 3.2 7 Simulation : évolution du nombre de cristaux par motif en fonction du rapport adimensionnel L/Rdep. (Fig. 3.2 7)
119
Les deux histogrammes, qui peuvent être modélisés sous la forme de gaussiennes Fig. 3.2 8 (c), pré-sentent des écarts types σ respectifs de 12,3% (image MEB, en bleu) et de 9,7% (simulation, en rouge). Dans les deux cas, les dispersions en taille sont faibles, mais il existe une différence d'environ 20% entre l'expérience et la simulation. Notre modèle est en partie validé, mais l'hypothèse statique devra être rediscutée – voir Annexe C. En effet, si l'on considère que tous les germes ne nucléent pas simul-tanément, le disque de déplétion des premiers germes peut s'étendre en surface. On obtient alors une distribution de Rdep qui peut expliquer la plus grande dispersion en taille des grains.
c) Discussion
Les simulations fournissent le nombre de cristaux en fonction de la grandeur sans dimension L/Rdep. Afin de comparer la courbe simulée avec les données expérimentales, il est nécessaire de redonner une dimension à cette grandeur. Or, le rayon de déplétion effectif Rdep utilisé dans les simulations n'est pas une grandeur connue. Nous utiliserons pour la déterminer l'asymptote valable pour les motifs très grands : en effet, on sait que le nombre de grain pour ces motifs doit tendre vers la densité surfa-cique obtenues pour des couches d'extension infinie, d∞. En suivant cette méthode, nous trouvons que Rdep (T) évolue avec d∞ (T) selon l'équation (Éq. 3.2 1) phénoménologique suivante :
Rdep(T)= 0,822 d !(T) N= 4RL depNL+ RL dep− e 2 NS
La grandeur d∞–1 (T) peut être vue comme la surface caractéristique des grains de Si dans le cas des couches d'extension infinie. Le préfacteur numérique 0,822 permet alors la conversion entre cette taille typique et le rayon de déplétion effectif.
L'accord entre les simulations et les points expérimentaux est très bon (Fig. 3.2 9 (a)). Le deuxième régime d'évolution du nombre de cristaux en fonction de la taille des carrés est cependant peu visible :
(Fig. 3.2 8) 5 µm 0 0,5 1 1,5 Req / Req D istribution / u .a. a b c b a
Figure 3.2 8 (a) Image MEB des cristaux de Si et séparation des monocristaux par analyse d'image (traits pointillés blancs). (b) Illustration issue d'une simulation pour un rapport L/Rdep élevé. (c) Histogrammes de distribution du rayon équivalent des grains des images (a) et (b). Les rayons équivalents sont renormalisés par le rayon équivalent moyen calculé.
3.2.1 Influence de la taille des motifs sur la densité surfacique de nucléation des cristaux
seules les expériences à 500 °C ont donné lieu à un point dans la gamme adéquate (« bosse »). Ceci est dû au choix initial de tailles des carrés : les points autour de la transition étaient prévus pour être suffisants.
Le rayon de déplétion évolue naturellement de manière inverse à la racine de la densité surfacique d∞ (Fig. 3.2 9 (b)) en fonction de la température. Le rayon de déplétion apparent tracé ici informe sur la taille typique des grains de Si qui peuvent être obtenus, et sur la taille maximale des monocristaux dans les substrats à motifs (une discussion plus complète est présentée dans ce qui suit).
À présent, nous pouvons nous interroger sur la transition entre le monocristal et le polycristal : dans quelle mesure peut-on être sûr de n'obtenir que des monocristaux, avec une probabilité de 100% ? Pour répondre à cette question, nous allons expliquer la transition entre les différents régimes de la courbe de la Fig. 3.2 7.
Lorsque le rayon de déplétion est du même ordre de grandeur que le côté du domaine carré, deux cas de figure se présentent :
– si Rdep est plus grand que la diagonale du carré, même dans le cas le plus extrême (nucléation dans un coin) toute la surface se trouve déplétée, et il n'y aura plus jamais de nucléation (Fig. 3.2 10 (a)) : c'est le cas d'obtention d'un seul et unique monocristal par motif ;
– si Rdep est plus petit que la diagonale du carré, il y a deux possibilités : (1) la première nu-cléation a lieu proche du centre (zone bleue du schéma de la Fig. 3.2 10 (b)), tout le motif est
L / µm
1 10
0,3 0,4 0,6 0,8 2 3 4 5 6 8
Nombr
e de cristaux par motif
10 100 1 500 °C 500 °C 350 °C 350 °C 300 °C 300 °C 250 °C 250 °C a T / °C 300 400 500 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 d∞ / µm –2 Rdep / µm b
Figure 3.2 9 (a) Superposition du nombre moyen de cristaux par motif mesuré expérimentalement (points) et courbes simulées et dimensionnées. (b) Rayon de déplétion apparent issu du dimensionnement des courbes simulées, et den-sité surfacique obtenue par traitement d'images MEB de zones sans motifs..
121
déplété et il s'agit d'un monocristal ; (2) la première nucléation a lieu proche d'un coin (zone rouge) et une petite surface dans le coin opposé se trouve non déplétée et donne lieu à une seconde nucléation donnant in fine deux cristaux se partageant le motif.
Ainsi, quand Rdep est plus petit que la diagonale du carré, la probabilité d'obtenir un polycristal cesse d'être nulle. Cette probabilité revient à comparer les surfaces bleue et rouge de la Fig. 3.2 10 (b) : si la première nucléation a lieu dans la surface bleue, ce sera la seule et il n'y aura qu'un cristal ; si elle a lieu dans la surface rouge, il y en aura deux. Les surfaces bleues et rouges ne sont pas aisément calculables de façon algébrique : elles ont été déterminées numériquement. Le nombre de cristaux a alors été tracé dans un graphe log-log (Fig. 3.2 10 (c), courbe noire) : et il modélise exactement l'évolution observée lors des simulations basées sur des tirages aléatoires. Cette courbe se limite aux cas L/Rdep inférieur à 1 : passé cette limite, des cas se présentent où 3 ou 4 grains peuvent nucléer, compliquant fortement le problème.
Le troisième régime, évoqué précédemment, se caractérise par le passage lent d'une pente de 1 dans le graphe log-log à une pente de 2. Ce régime s'étale sur plus d'un ordre de grandeur en L/Rdep et de plus de 2 ordres de grandeur en nombre de cristaux.
Le problème peut être illustré par quelques résultats de simulations : en observant quelques schémas de grains obtenus au terme de trois expériences pour L/Rdep = 3 (Fig. 3.2 11 (a)), 10 (b), et 30 (c), on peut remarquer que la proportion de grains en bordure de motif diminue quand L/Rdep augmente. En utilisant les simulations présentant le plus grand nombre de grains, il est possible de déterminer une constante donnant le nombre de grains en bordure NL ; et une autre constante donnant le nombre en surface NS hors bordures. On peut alors dénombrer les cristaux (Éq. 3.2 2), en n'oubliant pas l'épaisseur sans dimension du périmètre e de grains le long du bord, qui permet de séparer le bord de la surface :
Rdep(T)= 0,822 d !(T) N= 4RL depNL+ RL dep− e 2 NS
3.2.1 Influence de la taille des motifs sur la densité surfacique de nucléation des cristaux
(Fig. 3.2 10) L/R 1 10 1 Nombr e par motif 10 100 1000 c R/L = 1
11
22
11
a b a b (1) (2)Figure 3.2 10 (a) et (b) Influence du rapport de taille entre le rayon de déplétion apparent et la longueur côté du domaine carré sur l'obtention d'un ou deux cristaux. (c) Nombre de cristaux par carré : simulation (points), et courbe calculée à partir des rapports d'aires (trait noir plein).
Les deux densités linéaire et surfacique et l'épaisseur du périmètre ont pu être déterminées à partir des simulations : NS = 0,69 ; NL = 0,51 ; et e = 0,87.
L'accord est excellent entre la courbe issue du précédent calcul (Éq. 3.2 2) (Fig. 3.2 11 (d), courbe noire), et les résultats des simulations (points rouges). Ce nouveau regard permet d'expliquer ce troisième régime : le nombre de cristaux par motif passe principalement d'une dépendance linéaire pour les petits motifs (pente de 1 dans le graphe log-log) à une dépendance surfacique pour les plus grands (pente de 2). C'est en raison s petits grains présents sur le bord que le nombre de cristaux par domaine est supérieur à la densité pleine plaque d∞.
Comme nous avons pu le voir précédemment grâce aux histogrammes de la Fig. 3.2 8 (c), notre modèle ne permet pas de reproduire complètement la distribution de grains observée expérimentalement. En outre, il est certain que pour les échantillons réels, le rayon de déplétion effectif est différent de celui que nous avons présenté et utilisé. C'est un paramètre qui évolue avec la croissance radiale des cristaux, et qui est issu de la conjugaison d'un rayon de déplétion réel et de facteurs cinétiques (taux de nucléation, vitesse radiale de croissance des cristaux, etc.). Ainsi, si on considère un motif et un rayon de déplétion réel de tailles semblables, on peut considérer deux cas limites :
– Temps caractéristique de nucléation très court devant le temps caractéristique de croissance (Fig. 3.2 12 (a)) : un germe nuclée et déplète une grande partie du volume du motif. En négli-geant la croissance du germe (son temps caractéristique est supposé très long), une deuxième nucléation peut se produire dans le volume laissé libre ; on a alors favorablement deux cristaux ; – Temps caractéristique de nucléation très grand devant le temps caractéristique de croissance
(Fig. 3.2 12 (b)) : de la même façon, un premier germe nuclée, déplétant une grande fraction
(Fig. 3.2 11) L/R 1 10 1 Nombr e par motif 10 100 1000 L/R = 30 L/R = 3 L/R = 10 d a b c a b c
Bords (densité linéaire) / Surface (densité surfacique)
1 1
2 1
Figure 3.2 11 Illustrations issues de trois simulations à (a) L/Rdep = 3, (b) L/Rdep = 10, et (c) L/Rdep = 30. (d) Nombre de cristaux par carré : simulation (points), et courbe calculée à partir densités linéaires et surfaciques mesurées à partir des simu-lations (trait noir plein).
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du volume du motif. Si la croissance est rapide en comparaison de la nucléa-tion, le germe croît : le volume déplété s'accroit donc lui aussi. Rapidement, le petit volume restant disparaît. Un seul grain a alors eu le temps de nucléer. Il sera donc important de prendre en compte dans un modèle ultérieur les aspects cinétiques.
En effet, le cas représenté dans la Fig. 3.2 12 (b) montre qu'un monocristal peut être obtenu sans que la surface entière du motif soit déplétée. C'est la conjugaison de la croissance du premier grain d'un motif (et donc de sa zone de déplétion) et de la probabilité de nucléation du second, qui dépend de la surface restante disponible, qui induit un rayon de déplétion effectif au moins supérieur au rayon de déplétion réel. Même dans le cas de la Fig. 3.2 12 (b), il existe une probabilité non nulle d'obtenir deux cristaux : c'est cette probabilité qui devra être évaluée, afin de prédire l'obtention ou non d'un tel monocristal. Ce travail est introduit en Annexe C (p. 197).