3.2 Application de la méthode de conception
3.2.5 Résultats et discussion
3.2.5.1 Implémentation et réglage des paramètres internes
L’implémentation de l’ACO est réalisée sousMatlab. Bien que peu optimale, elle permet une optimisation en moins d’une heure (CPU Intel Core 2 Duo à 2,26 GHz). Afin de s’assurer de ne pas avoir obtenu un minimum local, l’algo-rithme est exécuté sur six heures, ce qui représente environ 20 millions d’individus testés.
Les différentes étapes de l’algorithme de colonie de fourmis ainsi que les para-mètres associés sont détaillés en figure3.10.
Ici, la taille de la population initiale est deIinit=100000, afin de disposer d’une population assez grande pour y trouver au moins une solution, mais suffisamment petite pour que son évaluation ne soit pas trop longue.
Pour l’étape d’exploration le nombre d’individus est fixé Iexp= 10000 et le rayon initial p pour l’exploration est fixé à 5 %. Chaque nouvelle population est générée, au moyen d’une loi uniforme, autour de la meilleure solution trouvée dans une partie de l’intervalle dont la taille est définie en pourcentage par le rayon d’exploration p. L’étape d’exploration simule le rôle de marqueur joué par la phé-romone et est implémentée en deux temps. Dans un premier temps, l’algorithme simule l’évaporation de la phéromone : lorsque la taille du rayon d’exploration ini-tial ne permet plus à la population d’évoluer, ce rayon s’agrandit par incrément de 1 % jusqu’à atteindre un rayon maximal de 10 %. À chaque fois que la meilleure solution trouvée évolue, le rayon d’exploration revient à la taille initiale. Lorsque la solution n’évolue plus et le rayon d’exploration a atteint sa taille maximale, l’algorithme va simuler, dans un deuxième temps, l’attraction de la phéromone autour de la meilleure solution trouvée. Pour ce faire, le rayon d’exploration, dé-croit par incrément de 1 % jusqu’à atteindre un rayon minimal de 1 %. Ne pas dépasser 50 % de l’intervalle total pour le rayon d’exploration maximal semble raisonnable. L’étape d’exploration est répétée jusqu’à ce que la meilleure solution trouvée n’évolue plus, même après avoir fait varier la taille du rayon d’exploration.
L’étape de collaboration simule l’effet catalyseur de la phéromone et permet d’accélérer la recherche localement en utilisant, pour chaque paramètre, une loi gaussienne. La J-ème loi gaussienne est calculée à partir des J-èmes paramètres pondérés par la performance du jeu de paramètres auxquels ils appartiennent. Pour laJ-ème loi gaussienne, la moyennemj et l’écart-typewjpondérés sont donc cal-culés. Ces deux paramètres ne dépendent donc que de la taille de la populationI.
Puisque la recherche se concentre autour d’une même solution, le nombre d’indi-vidus nécessaire peut être limité àIcoll=1000 afin d’accélérer le calcul.
Le réglage de ces paramètres internes que sont les tailles des populations et les tailles des rayons d’exploration est peu sensible : une division par un facteur deux de leurs valeurs permet toujours d’aboutir au même résultat final. Néanmoins, il
3.2. Application de la méthode de conception 49
FIGURE 3.10 – Détails de l’algorithme de colonie de fourmis proposé.
nous semble raisonnable de ne pas dépasser 50 % de l’intervalle total pour le rayon d’exploration maximal, soit un rayon de 25 %.
3.2.5.2 Résultats de l’optimisation
Le premier mécanisme permet de générer un déplacement de 0,9 mm selon la direction principale pour une contrainte mécanique maximale de 550 MPa, ce qui est exactement la valeur de la limite de fatigue du matériau utilisé. Les para-mètres optimaux pour le premier mécanisme de compensation sont donnés dans le tableau3.1.
L0 L1 L2 L3 L4 L5 D T
10,22 38,60 37,76 11,19 47,32 59,15 12,00 2,00
tA rA tB rB tC rC td rd
0,11 0,66 0,57 1,25 0,10 0,66 0,20 2,06
TABLE3.1 – Paramètres de conception optimaux pour le premier mécanisme (don-nés en mm)
Le second mécanisme doit compenser les efforts cardiaques transversaux qui sont trois fois plus faibles que les efforts exercés dans la direction principale, soit environ 1,7 N. Par conséquent l’amplitude des mouvements à compenser est éga-lement trois fois moins élevée soit environ 0,33 mm. Après optimisation, le se-cond mécanisme de compensation est capable sous ces se-conditions de chargement de produire un déplacement de 1,2 mm pour une contrainte mécanique maximale de 550 MPa également. Les paramètres optimaux pour le second mécanisme de compensation sont donnés dans le tableau3.2.
L0 L1 L2 L3 L4 L5 R T
11,93 32,10 32,98 11,43 42,64 118,00 6,00 2,00
tA rA tB rB tC rC td rd
0,12 0,61 0,40 1,04 0,18 0,45 0,10 0,84
TABLE3.2 – Paramètres de conception optimaux pour le second mécanisme (don-nés en mm)
3.2.5.3 Confrontation à une simulation numérique
Les niveaux de contrainte et les déplacements accessibles par chacun des méca-nismes ont été évalués de manière indépendante par simulation numérique utilisant
3.2. Application de la méthode de conception 51
la méthode des éléments finis (logiciel Pro/Mechanica). Les erreurs relatives ob-tenues par l’analyse du modèle éléments finis sur les déplacements (figure3.11 et figure 3.12) et les contraintes mécaniques pour le premier et second mécanisme sont respectivement 5 % et 3 %.
FIGURE 3.11 – Analyse par éléments finis du déplacement maximal pouvant être obtenu à l’équilibre statique pour le premier mécanisme de compensation.
FIGURE 3.12 – Analyse par éléments finis du déplacement maximal pouvant être obtenu à l’équilibre statique pour le second mécanisme de compensation.
Les résultats obtenus par l’analyse par éléments finis sont donc très proches de ceux prédits par le modèle. Une illustration de l’intégration du mécanisme à deux degrés de liberté est présentée en figure3.13.
Les valeurs sont à ce titre très intéressantes, puisque la solution optimisée pour le premier mécanisme présente un déplacement de près de 1 mm dans la direction
FIGURE 3.13 – Mécanisme de compensation compliant à deux degrés de liberté intégré dans la tige du stabilisateur cardiaque.
3.2. Application de la méthode de conception 53
FIGURE 3.14 – Analyse par éléments finis du déplacement engendré par l’effort transversal pour le premier mécanisme de compensation.
principale, et la seconde solution un déplacement de plus de 0.33 mm dans la di-rection secondaire. On peut par ailleurs noter que le comportement prédit par la modélisation est en cohérence avec les résultats de simulation numérique, et qu’il a été possible de déterminer des solutions répondant au cahier des charges médical : l’intérêt de l’exploitation d’un ACO est ici mis en évidence.
Ces deux mécanismes ont été optimisés en ne considérant que l’effort selon la direction qui doit être compensée. Il s’agit là d’un découplage fort dans l’analyse, puisque chaque mécanisme va subir l’ensemble des actions mécaniques dues aux mouvements du cœur. Les valeurs obtenues sont donc plutôt des bornes supérieures de ce qu’il serait possible de parvenir à réaliser avec un stabilisateur actif totalement intégré à la tige.
Afin de considérer le cas réel, la simulation par éléments finis est de nouveau exploitée, pour observer le comportement de chaque mécanisme lorsqu’il est sou-mis à l’ensemble des efforts cardiaques simultanément, ce qui est la pire configura-tion. Pour le premier mécanisme de compensation, l’effort principal est égal à 5 N et il est soumis à un effort transversal de 1,7 N. Sous ce chargement, les contraintes mécaniques sont de 938 MPa, ce qui est au-dessus de la limite de fatigue mais en dessous de la limite élastique du matériau étant comprise entre 1300 MPa et 1600 MPa. Par conséquent, le nombre de cycles avant la rupture du dispositif se trouvera diminué. Les déplacements transversaux en bout de tige sont de 0.03 mm, ce qui est très faible comparé au 0.33 mm devant être produit selon la direction transversale par le second mécanisme.
Le second mécanisme de compensation est situé à une distance plus importante de l’extrémité de la tige : il est plus en amont sur la tige. Il est donc soumis à des moments élevés, puisque cette fois l’effort transversal en bout de tige vaut 5 N. Les contraintes mécaniques maximales sous le chargement simultané des efforts car-diaques valent 1200 MPa, ce qui est très proche de la limite élastique du matériau comprise entre 1300 MPa et 1600 MPa. Le déplacement en bout de tige engendré
FIGURE 3.15 – Analyse par éléments finis du déplacement engendré par l’effort transversal pour le second mécanisme de compensation.
par le chargement transverse vaut 0.2 mm, ce qui est élevé par rapport au 1 mm devant être produit en bout de tige dans cette direction.
À ce stade, le second mécanisme de compensation est capable de produire un déplacement de 1,2 mm en bout de tige, ce qui est presque quatre fois supérieur au déplacement de 0,33 mm nécessaire. Pour évaluer les performances pour notre application, nous pouvons, d’une part, essayer de limiter les déplacements en sor-tie. D’autre part, afin de limiter les contraintes liées au chargement transversal de 5 N, nous pouvons ajouter une contrainte dans l’optimisation qui tend à maximiser les sections des liaisons tout en minimisant les contraintes dans ces sections. On obtient ainsi un mécanisme capable de générer un déplacement de 0.33 mm pré-sentant des contraintes mécaniques de 559 MPa lorsque le problème est découplé et de 1046 MPa lorsqu’on considère le chargement complet. Cette valeur indique donc qu’il est possible de réduire les contraintes mécaniques. Pour identifier des solutions répondant au besoin médical, il devient évident qu’un effort de modé-lisation doit être réalisé : un modèle en trois dimensions doit être mis en place permettant d’évaluer la rigidité des mécanismes compliants et les contraintes dans les liaisons lors d’un chargement dans les deux directions, ce qui constitue une des perspectives de ce travail.
En l’état, il semble donc difficile d’atteindre les performances requises en inté-grant les deux mécanismes de compensation dans la tige. Néanmoins, il peut être intéressant de réaliser une partie de la compensation cardiaque de cette manière : les déplacements les plus sensibles ont lieu selon la direction principale de l’effort cardiaque pour laquelle il est possible d’intégrer un mécanisme de compensation.
Seule, cette solution n’est peut-être pas adéquate, mais elle présente un intérêt
cer-3.2. Application de la méthode de conception 55
tain si l’on envisage de la combiner avec un mécanisme de compensation réduit en amont de la tige.