Nous avons étudié dans le cas de la dimension 2 le comportement asymptotique de l’énergie cinétique moyenne et de la variance du déplacement de particules dans un gaz de Lorentz inélastique, non dissipatif et aléatoire, c’est à dire des particules en mouvement soumises à un champ de forces dont le support est contenu dans une union dénombrable de boules disjointes, appelées diffuseurs, disposées aléatoirement ou sur un réseau, et qui sont elles-mêmes le support de forces locales dérivant ou non d’un potentiel dont on suppose la dépendance en temps connue. Il n’y a pas de force extérieure. Comme dans le cas exposé ci-dessus, les résultats théoriques ont nécessité l’introduction d’une marche aléatoire, qui a confirmé le comportement asymptotique numérique observé en
D
kp(t)k2E∼ t2/5 et Dkq(t)k2E∼ t2/3
quand les forces locales dérivent d’un potentiel et
D
sinon. Ce type de modèle a été proposé par Lorentz [M57] pour étudier les phénomènes de conduc- tivité des métaux par la compréhension du mouvement des électrons et sert dans de multiples contextes physiques à dériver des lois macroscopiques à partir de phénomènes microscopiques. On trouvera dans la thèse [M53] de Bénédicte Aguer une revue exhaustive des résultats sur les gaz de Lorentz. 0 2 4 6 8x10 6 0 2 4 6 8 10x10 3 0 1 2 3 4 x10 6 0 1 2 3x10 3 0 1 2 3 4 x10 6 0 1 2 3 x10 5 0 2 4 6 8x10 6 0 1 2 3 4x10 5 3.2 x 10 -5 3.2 x 10 -4 ωt 1.5 x 10 -5 1.5 x 10 -4 1.5 x 10 -5 1.5 x 10 -4 F/F 0 = 3.2 x 10 -5 (d) (c) (b) 〈 q ( t ) 〉 ωt (a) 3.2 x 10 -6 〈 q ( t ) 〉
Figure 3.2 – Déplacement moyenné des particules en fonction de ωt pour différents jeux de paramètres et de forces (F0 = aω2). Dans les sous-
figures (a) (où c1 = 1, 5 · 10−2 et c3=
0.5) et (c) (où c1 = 0, 5 et c3 = 0, 5),
les triangles sont associés à c2 = 0, 5
et les cercles à c2 = 5. Dans les sous-
figures (b) (où c1= 2 · 10−3 et c3= 2)
et (d) (où c1 = 7 · 10−2 et c3 = 2),
les losanges sont associés à c2 = 0, 5
et les carrés à c2 = 5. Chaque courbe
est une moyenne de 103 à 105 trajec-
toires. Les lignes en trait plein sont des régressions linéaires.
0 1 2 3 4 5 6 7x10 -5 0.00 0.03 0.06 0 1 2 3 4 5 6 7 8x10 -4 0 1 2 3x10 -3 v F / v 0 Field F/F 0 v F / v 0
Figure 3.3 – Vitesse asymptotique vF en fonction
de F . Les lignes en trait plein sont des régressions linéaires. Ici, c2= 5, v0= aω et F0= aω2. En haut
(resp. en bas), les triangles sont associés à c1= 0, 5
(resp à c1 = 1, 5 · 10−2) et c3 = 0, 5 ; les carrés à
c1= 0, 9 (resp à c1= 3 · 10−2) et c3= 1 ; les cercles
à c1= 0, 7 (resp à c1= 2 · 10−2) et c3= 2. 10 -2 10 -1 1 10 10 -5 10 -3 10 -1 10 10 3 / 0 E B
Figure 3.4 – Mobilités numériques en fonction de
βEB (échelle log-log) et pour neuf jeux de para-
mètres, représentés par différents symboles. Pour chaque jeu de paramètres, la mobilité est montrée pour six différentes températures. La ligne en trait plein correspond à 0, 32(βEB)−3/2.
0 2 4 6 8 10 10 -5 10 -3 10 -1 10 10 3 / 0 L E B
Figure 3.5 – Mobilités numériques en fonction de
βEB (échelle lin-log) et pour les mêmes jeux de pa-
ramètres que pour la figure 3.4. La courbe en trait plein correspond à la fonction x 7→ 0, 14(x1/2 +
1, 5x−3/2)e−x. 0.01 0.1 1 10 0 1 2 3 E B µ / β D
Figure 6: Plot of µ/(βD) against βEB for the nine systems used in the previous
figures. Six temperatures are represented for each system.
this can be rewritten, after changing the order of the time integrations: vF(t) = βF Z t 0 ds0 µ 1− s0 t ¶ hpp(s0; 0)i + Ot(F2).
On the other hand, let us introduce the mean square displacement of a freely evolved particle in thermal equilibrium
D(t) := h(q(t; 0) − q)
2i
2t .
This can be rewritten in the usual way as D(t) =
Z t 0
(1− s
t)hpp(s)i ds.
Hence, we immediately obtain the following finite time version of the Einstein relation:
µF(t) = βD(t) + Ot(F ), (13)
which holds for all times and fields.
For fixed time t, the error term is order F , but in view of the metastability of the current alluded to in the introduction and further explored in the next section, one cannot expect this term to remain small uniformly in t. In other words, the limit as t goes to infinity cannot be taken in (13). In fact, the system does not sustain a stationary state. On the other hand, the results of [24] (see also Fig. 1) strongly indicate that
D := lim
t→+∞D(t) (14)
Figure 3.6 –Quotient µ/(βD) en fonction de βEB
pour les neuf systèmes testés précédemment avec in- tervalle de confiance. On représente six températures par système. 10 3 10 4 10 4 10 5 10 6 10 7 〈 q ( t ) 〉 / F ωt F / F 0 0.00267 0.00226 0.00191 0.00161 0.00115
Figure 3.7 – Quotient hq(t, F )i /F en fonction de
ωt pour plusieurs valeurs de F/F0 et pour les pa-
ramètres βEB = 0, 5, EB/0 = 5, 2σ/L = 0, 5 et
F0= aω2. L’ordonnée à l’origine témoigne du fait de
la mobilité commune à toutes les forces, mais chaque courbe diverge à certain point de la droite.
0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 c r i t i c a l t i m e t c ( F ) F / F 0
Figure 8: Log-log plot of the critical breakdown times as a function of F for the system with parameters βEB = 0.5, EB/E0 = 5, 2σ/L = 0.5. The circles
on this graph indicate numerically established values of tc(F ). The full curve is
tc(F ) where γ = 0.6 and as in the previous figures F0 = a2ω.
.
which is exponentially long in F−1.
We note that such an effect will be unobservable if the length of the sample supporting the current is much shorter than the exponentially large distance LF = vFtc(F ) the particles would drift during this time in an infinite sam-
ple. We have tested this runaway phenomenon numerically for the system with βEB = 0.5, EB/E0 = 5, 2σ/L = 0.5. In Fig. 7 one observes for this system
the numerically computed value of hq(t)i/F for five values of the force F/F0
between 1× 10−3 and 2.5× 10−3. One observes that the displacement grows
faster than linearly beyond a breakdown time, indicated with vertical arrows on the figure. This breakdown time is of the order 103− 104ω−1 for the three
largest forces used and is seen to increase with decreasing force. The numerically determined values of this breakdown time are plotted against the force F/F0 in
Fig. 8. One notes that the breakdown time increases very fast with decreasing fields, in a manner qualitatively compatible with the exponential law derived above. Indeed, the full line in Fig. 8 corresponds to tc(F ) in (17) with γ = 0.6.
This is compatible also with the following observation: for much lower forces, of the order of 10−4− 10−5F
0, the mean displacement of the particle increases
linearly in time for the same system as seen in the circular data points of panel (c) in Fig. 2 for times up to t = 107ω−1. This strongly indicates that for those
very small forces, the breakdown time will be considerably larger than 107ω−1. The previous considerations make clear what the difficulties and practical limits are of the numerical computations on this model, specifically at high temperatures. Indeed, because of the existence of the breakdown time, we have to use very small external forces to study the mobility (see (16)). But then the
Figure 3.8 –Temps critique en fonction de F (échelle log-log). Les paramètres sont βEB= 0, 5, EB/0= 5,
2σ/L = 0, 5. Les temps numériques sont représentés par des cercles et la courbe en trait plein est celle de
tc pour λ = 0, 6.
Mécanique Statistique
[M53] B. Aguer. Comportements asymptotiques dans des gaz de lorentz inélastiques. Thèse de doctorat, Université Lille 1, 2010.
[M54] S. D. Bièvre, P. E. Parris, and A. Silvius. Chaotic dynamics of a free particle interacting linearly with a harmonic oscillator. Physica D : Nonlinear Phenomena, 208 :96 – 114, 2005. [M55] W. J. Briels. Theory of polymer dynamics, 1992.
[M56] R. Kubo, M. Toda, and N. Hashitsume. Statistical physics. II, volume 31 of Springer Se- ries in Solid-State Sciences. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1991. Nonequilibrium statistical mechanics.
[M57] H. K. Lorentz. The motion of electrons in metallic bodies I. Koninklijke Nederlandse Aka- demie van Weteschappen Proceedings Series B Physical Sciences, 7 :438–454, 1904.
[M58] H. Risken. The Fokker-Planck equation, volume 18 of Springer Series in Synergetics. Springer-Verlag, Berlin, 1989. Methods of solution and applications.
[M59] A. A. Silvius, P. E. Parris, and S. De Bièvre. Adiabatic-nonadiabatic transition in the diffusive hamiltonian dynamics of a classical Holstein polaron. Phys. Rev. B, 73(1) :014304, Jan 2006.
Chapitre 4
Ce chapitre présente les travaux [d15] réalisés en collaboration avec Corrado Mascia. Il s’agit de l’étude numérique d’une équation de type diffusion non linéaire modélisant dans les polymères au point de vitrification la phase solide et la phase liquide, représentées par des domaines de valeur de la solution, d’après un modèle introduit par J. Jäckle et H. Frisch [D61, D62]. Chacune des phases est affectée d’une fonction de diffusion à dérivée positive, ce qui assure le caractère bien posé du problème de Cauchy quand les valeurs de la condition initiale sont entièrement contenues dans l’une ou dans l’autre. La jonction entre les deux fonctions de diffusion est une fonction à dérivée strictement négative, ce qui a pour effet d’introduire une zone instable où la solution ne peut pas prendre de valeur, le problème de Cauchy y étant alors mal posé. On s’intéresse au mouvement d’interfaces, modélisées par la position des sauts de la solution, en cas de condition initiale multiphasique.
4.1
Modèle
L’équation non linéaire étudiée, ici en une dimension d’espace, est ∂u
∂t =
∂2φ(u)
∂x2 (x, t) ∈ R × (0, +∞), u(x, t) ∈ R, (4.1)
où la fonction de diffusion est de type cubique à trois zéros distincts, c’est à dire croissante sur ] − ∞, b] ∪ [a, +∞[ et décroissante sur [b, a], avec b < a. La droite réelle se divise alors en trois intervalles : deux régions stables S−:=] − ∞, b] et S+:= [a, +∞[ et une région instable U :=]b, a[.
On peut obtenir (4.1) comme limite singulière de l’équation pseudo-parabolique ∂u ∂t = ∂2 ∂x2 φ(u) + ε∂u ∂t x ∈R, t > 0, (4.2)
introduite et étudiée par A. Novick-Cohen et R. Pego [D65]. Le problème de Cauchy pour l’équation (4.2) est bien posé [D65] et exhibe des oscillations lorsque la solution prend des valeurs dans U, pour ε tendant vers 0 [D60]. Les solutions généralisées de (4.1), que nous nommerons diphasiques, à considérer sont régulières par morceaux et satisfont à des conditions d’entropie [D64]. Ici, nous nous penchons sur le cas d’une fonction continue, affine par morceaux, qui exhibe la même allure générale, comme représenté sur la figure 4.1.
A B a b c d u φ
Notre but a été d’analyser une discrétisation aux différences finies pour (4.2), avec ε → 0, et pour (4.1) et de proposer un schéma spécifique utilisant les conditions d’entropie. Les conditions initiales auxquelles nous nous sommes intéressés sont des problèmes de Riemann, pour lesquels nous donnons une solution explicite et qui nous fournissent donc un élément de validation des schémas numériques.