4.5 Analyse de stabilité linéaire pour le champ moyen du jet simulé
4.5.2 Résultats de l’analyse de stabilité linéaire
δ 0.5 /r e
FIGURE4.11 –Variations axiales de la demi-largeur δ0.5/reet de l’épaisseur de la couche de mélange b/(2re)du jet dans le calcul LES, et fonctions approchées utilisées pour l’analyse de stabilité linéaire : δ0.5et b.
à partir des quantités du jet adapté équivalent. La vitesse axiale moyenne est donnée par :
<uz> uj (r, z) = 1 si r <h(z) exp −ln2(r−h(z))2 (b(z)/2)2 si r >h(z)
et la densité moyenne par :
<ρ>(r, z) = 1 ρ∞ − 1 ρ∞ − 1 ρj <uz> uj −γ−1 2 M2j <uz> uj −1 <uz> uj −1
où ρj = pj/(rTj)est la densité d’éjection du jet adapté équivalent et h =δ0.5−b/2.
La vitesse moyenne axiale et la densité moyenne ainsi estimées sont comparées aux ré-sultats du calcul LES sur les figures 4.12 et 4.13. Même si la présence des cellules de choc n’est pas prise en compte pour les profils analytiques, on constate que les évolutions axi-ales de la vitesse moyenne et de la densité moyenne sont relativement similaires à celles du calcul LES à l’extérieur du cône potentiel. Cependant, on remarque sur la figure 4.12 que l’é-paisseur de la couche de mélange au voisinage de la tuyère semble plus fine pour le champ LES.
4.5.2 Résultats de l’analyse de stabilité linéaire
Les profils analytiques de la vitesse et de la densité sont discrétisés sur 20001 points dans la direction radiale et sur 50 points dans la direction axiale. Le code de stabilité présenté dans l’annexe D est utilisé pour rechercher les nombres d’onde k pour des fréquences Stj =
2 f rj/ujvariant de 4×10−4à 0.3 et discrétisées uniformément sur 500 points. L’amplification G est calculée entre la sortie de la tuyère et la fin du cône potentiel située en z = 20re.
Chapitre 4. Caractérisation du champ aérodynamique d’un jet rond à Mach 3.30 obtenu par simulation des grandes échelles
(a) (b)
FIGURE4.12 –Cartographies de la vitesse axiale moyenne<uz >/uj: (a) champ analytique et (b) champ issu simulation des grandes échelles. Les niveaux de couleur sont compris entre 0 et 1
(a) (b)
FIGURE4.13 –Cartographies de la densité moyenne<ρ>/ρj: (a) champ analytique et (b) champ issu simulation des grandes échelles. Les niveaux de couleur sont compris entre 0.5 et 1.5
4.5. Analyse de stabilité linéaire pour le champ moyen du jet simulé
L’amplification maximale Gmax est égale à l’amplification G au niveau du point défini par ki =0 dans le modèle de Tamet al. [178]. Cependant, si ce point n’est pas atteint entre z=0 et 20re, on considère ici que l’amplification est maximale pour z=20re.
Les amplifications maximales Gmax obtenues pour les composantes azimutales n = 0, 1, 2 du mode de Kelvin-Helmholtz et du premier mode acoustique sont représentées sur la figure 4.14 en fonction du nombre de Strouhal Ste = Stjreuj/rj/ue. Sur la figure 4.14(a), on observe que les modes de Kelvin-Helmholtz n = 1 et n = 2 sont beaucoup plus amplifiés que le mode axisymétrique n= 0. Le maximum du mode n=1 est atteint pour Ste= 0.12, et celui du mode n = 2 est plus élevé et est atteint pour Ste = 0.15. Ces résultats sont cohérents avec les analyses de stabilité réalisées par Tam et al. [178] et Seiner et al. [153] sur des jets chauffés à Mach 2. Pour le premier mode acoustique sur la figure 4.14(b), la composante n = 0 est la plus amplifiée. Son maximum est aussi atteint pour Ste = 0.15, pour une amplitude similaire à celle du mode de Kelvin-Helmholtz n = 1. Les premiers modes acoustiques n=1 et n=2 sont moins amplifiés que le mode axisymétrique, et leurs maxima sont observés pour des fréquences plus élevées.
(a) (b) 0 0.1 0.2 0.3 0 1 2 3 4 5 St e G max 0 0.1 0.2 0.3 0 1 2 3 4 5 St e G max
FIGURE 4.14 – Taux d’amplification Gmax pour (a) les modes de Kelvin-Helmholtz et pour (b) les premiers modes acoustiques : mode n=0, n=1 et n=2.
Les variations axiales de la fréquence correspondant à l’amplification−kila plus élevée sont représentées dans la direction axiale sur la figure 4.15 pour le premier mode acoustique axisymétrique et pour les modes de Kelvin-Helmholtz n=1 et n=2. Pour les 3 modes, cette fréquence est constante pour 06z62.5re, car la demi-largeur et l’épaisseur de la couche de mélange du jet ne varient pas. Après cette position, la fréquence localement la plus amplifiée décroît. Pour le mode de Kelvin-Helmholtz n=2, cette fréquence diminue très rapidement. Ses variations n’ont pas été montrées après z≃ 12recar les conditions sur le résidu ne sont alors plus vérifiées. Pour le mode de Kelvin-Helmholtz n=1, la fréquence la plus amplifiée
Chapitre 4. Caractérisation du champ aérodynamique d’un jet rond à Mach 3.30 obtenu par simulation des grandes échelles
localement décroît moins rapidement. Elle varie de Ste = 0.144 à z = 0 à Ste = 0.016 à la fin du cône potentiel en z =20re. Enfin pour le premier mode acoustique axisymétrique, la décroissance de la fréquence localement la plus amplifiée est encore moins rapide puisqu’en sortie de la tuyère, cette fréquence est de Ste = 0.180 et qu’elle devient égale à 0.102 en z=20re. Pour un jet à Mach 1.5, Morris [117] observe aussi une décroissance de la fréquence la plus amplifiée pour le mode de Kelvin-Helmholtz n = 1 lorsque de l’épaisseur de la couche de mélange augmente. De plus, il fait remarquer que, pour les modes de Kelvin-Helmholtz, la seule composante instable à la fin du cône potentiel est celle associée au mode n = 1, ce qui est cohérent avec les résultats observés sur la figure 4.15 pour les modes de Kelvin-Helmholtz n=1 et n=2. 0 5 10 15 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 z/r e St e
FIGURE4.15 –Variations de la fréquence possédant l’amplification−kila plus élevée : premier mode acoustique axisymétrique, mode de Kelvin-Helmholtz n = 1 et mode de Kelvin-Helmholtz n=2.
Les fréquences localement les plus amplifiées pour les modes de Kelvin-Helmholtz n=1 et n = 2 sont exprimées en fonction du nombre de Strouhal Stθ = f δθ/ujet présentées sur la figure 4.16(a), où δθ est l’épaisseur de la quantité de mouvement du jet. Pour le mode de Kelvin-Helmholtz n = 2, la fréquence la plus amplifiée passe par un maximum en z ≃ 9re lorsqu’elle est normalisée par l’épaisseur de quantité de mouvement. Sur la même figure, le nombre de Strouhal Stθ augmente d’abord pour le mode de Kelvin-Helmholtz n = 1, et atteint son maximum Stθ =3.0×10−3à z≃12re. Après cette position, il diminue lentement, et vaut Stθ ≃2.4×10−3à la fin du cône potentiel.
La fréquence localement la plus amplifiée pour le premier mode acoustique axisymétrique est maintenant exprimée en fonction de StM1= f rM1/ujet est représentée sur la figure 4.16(b) en fonction de la position axiale. rM1est la demi-largeur du cône supersonique qui est définie par <uz > (rM1) =<c>. Ce nombre de Strouhal décroît légèrement jusqu’à z ≃ 10re, et
4.5. Analyse de stabilité linéaire pour le champ moyen du jet simulé
il est ensuite presque constant jusqu’à la fin du cône potentiel, ce qui est cohérent avec les travaux de Mack [104] et de Luo & Sandham [103] qui associent cette famille de mode à des modes de conduit du jet.
(a) (b) 0 5 10 15 20 0 1 2 3