Résultats avec écoulement

La propagation du son change considérablement en la présence d’un écoulement moyen. La réfraction des ondes sonores par les gradients de vitesse et de température altère la direction de propagation. Les ondes sonores sont réfractées vers l’extérieur du jet.

Le champ moyen pour ce cas a été calculé avec une méthode RANS. Comme on l’a indiqué dans la section 6.3.1, le moteur est un modèle réduit. Pour pouvoir fonctionner, il est alimenté en air comprimé à basse température. La détente dans la turbine refroidit l’air du jet autour de -100°C. La vitesse du son est donc très basse dans le jet, qui est donc localement supersonique. La figure 6.23 montre le nombre de Mach local de l’écoulement.

Un calcul de propagation acoustique a été effectué autour de cet écoule- ment moyen, pour un mode plan à 2 kHz. La partie réelle de la variation de pression est montrée sur la figure 6.24. On constate que les ondes sonores sont réfractées vers l’extérieur du jet, par rapport au cas sans écoulement présenté sur la figure 6.15. Les oscillations de forte amplitude qui matérialisent le jet correspondent à des instabilités de Kelvin-Helmholtz qui sont amplifiées à cette fréquence au cours de leur convection. Ces instabilités sont présentes dans la couche de cisaillement, et elles créent une onde de forte amplitude qui ne rayonne pas à la fréquence du calcul. Au fur et à mesure que le jet se mélange dans l’air ambiant, les couches de cisaillement deviennent plus épaisses, et les ondes de Kelvin-Helmholtz sont à nouveau stables et

Figure 6.22 – Partie réelle de la variation de pression en Pascal pour le mode (1,1) à 5 kHz sans écoulement dans une coupe du maillage.

Figure 6.23 – Nombre de Mach local de l’écoulement produit par le modèle réduit de réacteur. Il simule alors un réacteur taille réelle à pleine poussée

Figure 6.24 – Partie réelle de la variation de pression en Pascal pour un mode plan à 2 kHz. L’écoulement moyen correspond à la pleine puissance du réacteur

décroissent exponentiellement. Les conditions aux limites à l’infini n’étant pas parfaitement transparentes, il faut s’assurer que ces ondes d’instabilités sont suffisamment amorties avant d’atteindre le bord. Cette contrainte a été dimensionnante pour déterminer l’étendue du domaine de calcul.

6.4

Conclusion

Les variables entropiques sont utilisées dans AeTher pour la résolution des équations de Navier-Stokes afin d’obtenir des propriétés intéressantes de symétrie d’opérateur et de thermodynamique. Ces variables sont cepen- dant éloignées des variables naturelles de l’aérodynamique. L’imposition des conditions aux limites s’en trouve sérieusement complexifiée. En se plaçant dans le cadre proposé par Shakib dans [145] pour les conditions de Dirichlet homogènes, cette thèse a étendu ce cadre pour permettre l’imposition de conditions aux limites de Dirichlet non homogènes pour des variables non triviales du calcul. La linéarisation de la fonction non-linéaire reliant la variable d’intérêt aux variables entropiques fournit les coefficients nécessaires à l’élimination de la variable par laquelle on impose la condition aux limites.

Les conditions aux limites de Dirichlet non homogènes ont permis l’utili- sation industrielle en aéroacoustique du code AeTher linéarisé. Des modes acoustiques complexes peuvent être injectés dans le calcul, avec un contrôle précis de leur amplitude. La comparaison des résultats avec ceux donnés

par une approche BEM sur un cas test industriel confirme le bien-fondé des conditions aux limites. Pour l’aéroacoustique, deux façons d’imposer le mode en entrée ont été proposées. La première est d’imposer l’amplitude totale du mode au niveau du plan d’entrée, ce qui a pour inconvénient de ne pas permettre de contrôler l’énergie injectée réellement dans le système. Pour pallier ce problème, on a proposé d’imposer la variable caractéristique entrante, en laissant libres les autres variables caractéristiques. Ainsi, seule l’onde entrante est imposée. Cela a été confirmé en imposant une onde plane dans une cavité résonnante. Les conditions aux limites utilisant les variables caractéristiques sont moins performantes lorsque l’onde incidente n’est plus normale à la paroi [157]. Afin de vérifier le comportement angulaire des conditions aux limites caractéristiques, une étude sur une cavité résonnante pour des modes d’ordre élevé a montré comme attendu qu’elles se dégradaient avec l’angle, et a également donné un critère utile à l’ingénieur pour connaître la validité de son calcul.

Dans ce chapitre, le comportement surprenant des conditions aux limites de Dirichlet homogènes sur toutes les variables a été éclairci. Elles jouent le rôle de conditions aux limites transparentes dans les calculs d’aéroacoustique sans traitement particulier. Un modèle 1D a permis de montrer que la discrétisation SUPG telle qu’implémentée dans le code AeTher décentre chacune des variables caractéristiques. Lorsqu’on ne considère que le terme advectif des équations d’Euler, l’explication est simplifiée et tient uniquement au décentrement des variables caractéristiques. L’ajout du terme fréquentiel complique la démonstration, qui fournit deux résultats connexes intéressants. Le premier est l’étude théorique de la diffusion et de la dispersion du schéma SUPG, qui sont très favorables. Enfin, on a prouvé que la discrétisation des équations d’Euler linéarisées fréquentielles par la méthode des éléments finis stabilisés par SUPG n’est pas stable. L’utilisation de conditions de Dirichlet homogènes à l’infini sur toutes les variables sélectionne la partie stable du schéma, tandis que la partie croissante assure l’annulation localisée de la caractéristique sortante au bord infini. La construction de la matrice de stabilisation ne permet pas une extension parfaite de ce résultat si l’espace est à plusieurs dimensions. Malgré cela, une étude numérique en 2D montre qu’elles reflètent davantage les ondes arrivant à grande incidence sur la surface, comme attendu d’une condition aux limites caractéristique. Enfin, leur utilisation pratique sur des cas industriels 3D donne entière satisfaction, car ces conditions aux limites permettent de réduire significativement la taille du domaine de calcul sans provoquer trop de réflexions parasites nuisibles à la qualité des résultats.

Chapitre 7

Conclusion et perspectives

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Schubert, Winterreise, Gute Nacht

Cette thèse a eu pour objet d’améliorer la résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées, pour l’optimisation de forme, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Si l’approche Navier-Stokes linéarisée était déjà fonction- nelle chez Dassault Aviation, son utilisation restait peu compatible d’une application industrielle dans un cycle de conception, tant sur le plan de la rapidité que de la robustesse. Pour résoudre ce problème, deux angles d’approche se sont naturellement dégagés. Le premier, purement numérique, s’intéresse uniquement à la résolution du système linéaire. Le deuxième est la formulation du schéma conduisant à ce système linéaire.

La résolution des systèmes linéaires dans AeTher se fait par l’algorithme GMRES. Les méthodes itératives de résolution de systèmes, dont fait partie GMRES, sont peu gourmandes en mémoire et facilement parallélisables. Elles sont donc prisées pour la résolution de très grand systèmes. Leur principal inconvénient est leur convergence qui peut être lente ou alors jamais atteinte. Ce désavantage peut être contré par l’utilisation d’un préconditionneur, qui transforme le système linéaire en un équivalent plus simple numériquement à résoudre par une méthode itérative. La partie numérique de cette thèse s’est intéressée à l’algorithme GMRES et au préconditionnement du système linéaire à résoudre.

Les campagnes de calcul d’aéroélasticité demandent de nombreux calculs correspondant à divers modes structuraux, à plusieurs fréquences et points de vol. Les systèmes linéaires correspondant à des modes calculés à la même fréquence et au même point de vol ont une même matrice, mais des seconds membres différents. Ainsi, il semble intéressant de grouper la résolution de ces problèmes. Dans le chapitre 3, l’algorithme GMRES avec déflation des plus petites valeurs propres pour améliorer le redémarrage a été présenté en détails. Dans cette thèse, l’extension de cette méthode à plusieurs seconds membres a été implémentée et testée. Cet algorithme, dit block- GMRES, permet a priori d’exploiter la similitude entre les seconds membres

et d’explorer un espace de Krylov plus grand. De plus, le regroupement des opérations informatiques accélère l’exécution de celles-ci. Les tests numériques ont montré que la méthode block-GMRES ne semble pas adaptée à notre utilisation. L’accélération de la résolution par la richesse de l’espace de Krylov de taille accrue ne s’est pas produite. De plus, l’augmentation de la taille de l’espace a ralenti considérablement les itérations. L’algorithme block-GMRES n’a donc pas été retenu.

Le second chapitre du volet numérique de cette thèse s’est intéressé au préconditionnement, nécessaire au bon fonctionnement d’un solveur itératif. La parallélisation du préconditionnement est réalisée par la méthode de Schwarz additif. Elle consiste à appliquer le préconditionnement par sous- domaines, de manière locale. Cette méthode découple partiellement les sous- domaines de parallélisation. Lorsque l’on augmente le découpage du problème, la qualité du préconditionnement peut alors se dégrader. Pour pallier ce problème, les méthodes de Schwarz à deux niveaux introduisent un espace grossier, partagé par tous les sous-domaines, et leur permet de communiquer globalement l’information. Deux espaces grossiers, l’un simple et l’autre complexe, ont été testés, mais n’ont pas donné satisfaction. Finalement, l’utilisation de la factorisation incomplète avec remplissage ILU(k) comme préconditionneur local a permis d’accélérer les résolutions jusqu’à un facteur dix. L’utilisation du préconditionnement ILU(1) est désormais standard dans AeTher linéarisé. Il a également permis de faire converger des cas jusqu’alors impossibles à résoudre.

Le deuxième axe de cette thèse est la formulation du schéma numérique. AeTher utilise des éléments finis stabilisés par la méthode SUPG. Au cœur de cette méthode se trouve la matrice τ de stabilisation, dont la construction fait l’objet du premier chapitre de cette partie. La démonstration de la construction de la matrice de stabilisation s’est appuyée sur des cas de plus en plus complexes, ce qui permet de mieux comprendre la formule de τ retenue. Ensuite, une matrice de stabilisation suivant littéralement cette expression a été testée, sans les approximations retenues pour la matrice τ originale. Pour les calculs non-linéaires, cette forme de matrice s’est révélée moins visqueuse, donc moins stabilisante. Les systèmes linéaires des problèmes implicites à chaque pseudo pas de temps sont plus faciles à résoudre. Enfin, la répartition de pression sur le fuselage de l’avion est plus satisfaisante avec cette matrice. L’utilisation de cette forme de matrice τ en linéarisé a montré les mêmes avantages, à l’exception de la vitesse de résolution. Sur une application d’aéroacoustique, l’utilisation de la forme complète de la matrice de stabilisation a montré une dégradation de la transparence des conditions aux limites de Dirichlet homogènes, ce qui montre que cette forme n’est pas encore complètement comprise. On peut donc conclure que l’application littérale de la formule de τ ne donne pas toujours une matrice de stabilisation meilleure que les approximations choisies historiquement dans AeTher pour sa construction.

L’étude des conditions aux limites de Dirichlet conclut cette partie sur la formulation. Tout d’abord, l’application de conditions de Dirichlet non homogènes à des variables non triviales du calcul est détaillée. Le code AeTher utilise en effet des variables entropiques pour exprimer les équations de Navier-Stokes. Les variables naturelles pour imposer les conditions aux limites du calcul dépendent non linéairement des variables entropiques. La différenciation des formules de dépendance permet d’obtenir une relation linéaire entre les variables linéarisées nécessaires pour imposer les conditions aux limites de Dirichlet. Cette thèse a introduit la méthode pour utiliser des conditions de Dirichlet non homogènes. L’imposition d’une variation de pression a rendu possibles les calculs aéroacoustiques avec un contrôle précis du signal sur le plan modal. Des conditions caractéristiques ont également été implémentées, et le comportement angulaire de celles-ci a été testé rigoureusement dans une cavité cylindrique résonante. Dans un deuxième temps, la propriété surprenante de transparence des conditions de Dirichlet homogènes sur toutes les variables a été élucidée. Un modèle 1D montre que c’est le décentrement parfait par caractéristiques apporté par la stabilisation SUPG qui est à l’origine de ce comportement. En 2D ou 3D, cette propriété ne se dégrade pas trop. Ainsi, les calculs sur des cas industriels peuvent être réalisés sur des domaines petits, limitant la taille du maillage et le temps de calcul.

En conclusion, cette thèse a permis plusieurs avancées dans l’utilisation industrielle des équations de Navier-Stokes linéarisées. La factorisation in- complète ILU(k) a divisé le temps de calcul d’aéroélasticité par un facteur de 5 à 10. Une campagne complète de calculs de flottement est désormais envisageable en un temps raisonnable. La mise en place des conditions aux limites de Dirichlet non homogènes a permis d’utiliser le code AeTher li- néarisé pour la propagation acoustique. Sur le plan théorique, cette thèse a apporté l’explication de la transparence de simples conditions de Dirichlet homogènes sur toutes les variables. Enfin, cette thèse a confirmé que le solveur itératif utilisé doit être précis et robuste vis à vis du conditionnement de la matrice. L’algorithme GMRES avec une déflation des petites valeurs propres bien implémentée donne entière satisfaction. Cela signifie en creux que tout changement radical de solveur pour cette application nécessitera du temps pour le perfectionner et le rendre robuste. En clair, l’utilisation de solveur « boîte noire » paraît difficile pour AeTher linéarisé. De plus, on a montré que la forme de la matrice de stabilisation utilisée dans AeTher est cruciale aux bonnes propriétés du code.

Le travail sur la résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées est loin d’être terminé. Le champ des possibles est encore vaste, même si cette thèse a ouvert des voies, et montré que d’autres ne sont pas viables. Des idées nouvelles restent à explorer, tant sur la résolution des systèmes linéaires que sur les schémas. Si le couple solveur itératif et préconditionneur fonctionne bien actuellement, rien ne présage du son bon fonctionnement

dans quelques années quand la taille des problèmes (et des maillages) et celle des calculateurs aura été multipliée par dix. Tout n’a pas été testé en décomposition de domaines. Les méthodes de sous-structuration, ou les conditions de Schwarz optimisées sont attrayantes, mais n’ont pu être testées faute de temps. La méthode AMG (pour Algebraic MultiGrid) [152], qui est une version purement algébrique des méthodes multigrilles [72, 108] et peut être utilisée pour résoudre un système linéaire ou comme préconditionneur, n’a pu être testée faute de temps. Elle a été utilisée avec succès pour la résolution des équations de Navier-Stokes discrétisées par des éléments finis stabilisés par SUPG [122]. L’influence négative de la renumérotation sur la qualité de préconditionneur n’a pas été expliquée. Une renumérotation inspirée du préconditionnement line-implicit [123, 109, 110, 122] couplée au préconditionnement ILU(k) pourrait peut-être améliorer la convergence. D’autres types de conditions aux limites transparentes existent, comme les opérateurs DtN [74], et pourraient être testés en aéroacoustique, tant pour les conditions à l’infini que pour imposer un mode incident [127].

Annexe A

Calcul des valeurs de Ritz

harmoniques

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8

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Je



Ah!

Debussy, Pelléas et Mélisande, Acte 3 sc. 3

A.1

Simplification du problème

Le calcul des valeurs de Ritz harmoniques utilise plusieurs astuces numé- riques qui sont détaillées dans cette section.

En reprenant la notation de la section 3.2, le problème aux valeurs propres généralisées (3.19) se change en un problème standard de valeurs propres car Hm est inversible HT_mH_my_m = λHT_my_m ⇔ H−T_m HT_mHmym = λym (A.1) Il reste à simplifier H−T m H T mHm =  H_mH−1_m TH_m. De plus, la matrice H_m est la matrice H_m à laquelle on a rajouté une ligne contenant un seul terme, hm=1,m : H= Hm 0 · · · 0 hm+1,m ! Ainsi HmH−1m = H_m 0 · · · 0 hm+1,m ! H−1_m = Im hm+1,meTmH−1m ! (A.2) On en déduit 184

H−T_m HT_mH_m= I_m hm+1,mH−Tm em ! Hm 0 · · · 0 hm+1,m ! = Hm+ h2m+1,mH −T m emeTm (A.3)

On note fm la dernière colonne de H−Tm . On obtient finalement

H−T_m HT_mHm = Hm+ h2m+1,mfmeTm (A.4)

Cela correspond à une modification de Hm par une matrice de rang 1

Dans le document Résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées pour l'aéroélasticité, l’optimisation de forme et l’aéroacoustique (Page 177-186)