Figure B.1 – L’ondelette est translatée et dilatée/contractée pour scanner tous les temps et toutes les fréquences. La résolution spatiale et temporelle sont liées par le principe d’incertitude.
obtient alors la famille d’ondelettes discrètes :
ψji= a −1/2 j ψ x − bji aj ! = 2j/2ψ(2jx − i), (B.2.1)
qui correspond à une base orthogonale pour une ondelette mère ψ donnée. Le vecteur d’onde kj peut être relié à l’échelle 2−j par :
kj = kψ2j, (B.2.2)
où kψ = R∞
0 k| ˆψ(k)| dk/
R∞
0 | ˆψ(k)| dk est le nombre d’onde centroïde de l’ondelette
mère choisie. La figureB.1montre comment l’ondelette est contractée ou dilatée pour scanner différentes fréquences. Sur cette figure on peut voir que les ondelettes à petite échelle sont bien localisées dans l’espace physique mais mal localisées dans l’espace de Fourier et vice versa, c’est le principe d’incertitude δtδf ≥ const.
Comme dans le cas continu, les coefficients d’ondelette discrets d’une fonction g ∈
L2(R) sont donnés par :
ˆ
gji = hg, ψjii (B.2.3)
et l’intégrale utilisée pour la reconstruction peut s’écrire sous forme de série :
g(x) = X
j,i∈Z
ˆ
gjiψji(x). (B.2.4)
En pratique, le signal est échantillonné sur un intervalle fini. L’échelle la plus petite 2−J est donnée par le taux d’échantillonnage de la fonction g et détermine le nombre de points N = 2J du signal. Par conséquent il existe aussi un nombre limite de positions
Figure B.2 – Fonction d’échelle et ondelette de Coiflet C12.
B.3 Résolution de la pente spectrale et nombre de moments
nuls : l’ondelette de Coiflet
Les ondelettes de Coiflet [148] sont des ondelettes discrètes quasiment symétriques. L’ondelette C12 (aussi appelée C2) représentée sur la figure B.2 et utilisée dans ce manuscrit possède 4 moments nuls. Plus généralement le nombre de moments de l’ondelette de Coiflet dépend de la taille de son support : l’ondelette de Coiflet CN (N=6,12,...) aura m0 = N/3 moments nuls. Le choix de l’ondelette est important car
c’est ce choix qui détermine quelle pente spectrale on est capable de résoudre. Si on note αmax la pente maximale qu’une ondelette peut résoudre, alors αmax = 2m0+ 1 [149]. L’ondelette C12 permet donc de résoudre des pentes allant jusqu’à -9 et offre donc la possibilité d’étudier le spectre turbulent magnétique des échelles MHD aux échelles électroniques. En comparaison les ondelettes de Haar et DOD, généralement utilisées pour caractériser la turbulence dans le vent solaire, ne possèdent qu’un seul moment nul. La pente la plus raide que l’on peut résoudre avec ces ondelettes est donc −3 ce qui limite l’étude de la turbulence dans le vent solaire à la fin du domaine iner- tiel. En effet, la pente après le domaine inertiel, autour des échelles ioniques, prend d’ordinaire des valeurs entre -2 et -4.
Annexe C
Outils statistiques pour l’étude de la
turbulence
C.1 Les fonctions de densité de probabilité et les moments
Nous allons commencer par rappeler quelques notions de statistique qui seront utiles pour la suite. Une description complète d’une variable turbulente v(~x, t) à uneposition ~x et un instant t donné peut être obtenu en utilisant la fonction de densité
de probabilité (abrégé en PDF pour "Probability density function") P (v). Si dv est un nombre réel positif infiniment petit, alors P (v)dv est la probabilité que la variable v prenne une valeur entre v et v +dv. La fonction de densité de probabilité est normalisée de façon à ce que :
Z ∞
−∞P (v) dv = 1.
(C.1.1) La distribution de v peut être estimée en construisant un histogramme d’un en- semble de mesures de v. Plus l’ensemble de mesures est grand et plus l’histogramme sera une estimation fidèle de la véritable distribution.
À partir de la notion de distribution on peut construire une quantité importante en physique et en particulier en mécanique et en physique statistique, le moment. le moment d’ordre k d’une variable aléatoire réelle X est un indicateur de la dispersion de cette variable, en d’autre terme il nous renseigne sur la forme de la distribution
P (v) de X. Formellement le moment d’ordre k s’écrit :
E h Xki= Z ∞ −∞ tkf (t) dt. (C.1.2)
Ce moment d’ordre k existe si et seulement siR∞
−∞ tkf (t) dt converge. Certains mo-
ments (ou ratio de moments), utilisés couramment pour caractériser une variable aléa- toire réelle X, sont connus sous un nom particulier. En particulier on retrouve :
— l’espérance, le moment d’ordre un κ1 = E(X) ;
— la variance, le moment centré d’ordre deux κ2 = E[(X − µ)2], ainsi que sa racine carrée (positive) l’écart type : σ =√κ2;
Figure C.1 – De gauche à droite : distributions avec un coefficient d’asymétrie positif, nul et négatif. La moyenne, le pic et la médiane de la distribution ne coïncident que dans le cas symétrique. Source :safaribooksonline.com
Figure C.2 – PDF en échelle logarithmique de la famille de Pearson (type VII). Kurtosis K = ∞ (rouge) ; K = 2 (bleu) ; K=1, K=1/2, K=1/4, K=1/8 et K=1/16 (gris) ; et K=0 (noir). Source : Wikipedia
C.1. Les fonctions de densité de probabilité et les moments 103
— le coefficient d’asymétrie ("skewness" en anglais), le moment centré et réduit d’ordre trois S = κ3 = E
X−µ
σ 3
(réduit signifie normalisé par rapport au moment centré d’ordre deux). Comme son nom l’indique, ce moment mesure l’asymétrie de la distribution ; toute distribution symétrique aura, si il est défini, un coefficient d’asymétrie nul. Une distribution dont la queue est plus impor- tante à gauche aura un coefficient d’asymétrie négatif tandis qu’une distribution dont la queue est plus importante à droite aura un coefficient d’asymétrie po- sitif. La figureC.1montre les différents cas possibles.
— le kurtosis, le moment centré et réduit d’ordre quatre F = κ4 = E
X−µ
σ 4
. Il mesure l’aplatissement de la distribution. L’aplatissement est d’autant plus élevé qu’il existe de rares événements extrêmes qui s’écartent du coeur de la distribution dans lequel sont concentrés les événements fréquents d’amplitude moyenne. Les effets de l’aplatissement sont illustrés dans la figureC.2 à l’aide d’une famille paramétrique de distributions (famille VII de Pearson) dont l’apla- tissement peut être ajusté tandis que leurs moments d’ordres inférieurs restent constants.
La notion de moment est très importante dans l’étude de la turbulence et en par- ticulier lorsqu’on considère les effets de l’intermittence. Dans la phénoménologie les distributions des fluctuations sont supposées gaussiennes, par conséquent on peut me- surer l’intermittence comme un écart à la loi normale. Cet écart peut être quantifié en comparant les valeurs des moments attendues pour une distribution gaussienne (S = 0 et F = 3) et les valeurs mesurées dans l’écoulement. Malgré cela, il faut faire très attention à ne pas abuser de ce genre de raccourcis car il n’existe, a priori, aucune équivalence entre intermittence et kurtosis élevé.
Pour certaines distributions P (v), il existe une fonction génératrice des moments définie par : MX(t) = E etX= Z ∞ −∞e tvP (v) dv, t ∈ R. (C.1.3)
En introduisant dans cette équation le développement en série entière de l’exponentielle ez =P+∞ n=0z n n! , on obtient : MX(t) = Z R +∞ X n=0 (tv)n n! ! P (v) dv = +∞ X n=0 tnmn n! , (C.1.4)
où mi est le ièmemoment de X. Par conséquent, le nèmemoment de la variable aléatoire
X est donné par la nème dérivée de la fonction génératrice évaluée en t = 0 :
E(Xn) = MX(n)(0) = dnMX(t) dtn t=0 . (C.1.5)
Par exemple pour la loi normale N (µ,σ2), la fonction génératrice des moments est M (t) = expµ t + σ22t2 et on retrouve bien les valeurs S = 0 et F = 3.
Figure C.3 – Quelques exemples de noyaux utilisables pour estimer une densité de probabilité.