Résolution itérative des sous-problèmes

Nous terminons cette section en présentant quelques résultats concernant la résolution itérative des sous- problèmes (2.4) et (2.5). Cette approche ne sera pas approfondie dans la suite de ce travail mais il est intéressant d’en présenter certains aspects car elle pourrait constituer une nouvelle perspective de recherche. La vitesse de convergence de la procédure GMRES appliquée aux formulations pré-conditionnées (2.10) et (2.12) a été testée de la même manière que pour le couplage faible (2.6). Ici, k− et ρ sont supposés être des

réels strictement positifs.

Dans un premier temps, nous nous intéressons à la convergence GMRES des formulations pré-conditionnées (2.10) et (2.12) lorsque les opérateurs de transmission sont optimaux pour le couplage faible (2.6). La Figure 2.12 présente l’évolution du nombre d’itérations GMRES pour les formulations pré-conditionnées (2.10) et (2.12) en fonction du nombre d’onde intérieur lorsque k+= 10, ρ = 5 et les opérateurs de transmission cor-

respondent aux approximations Λint_−,k−,ρ, Λsq_−,k−,ρ, Λ0_−,k−,ρ, Λsq_+,k +et Λ

0

+,k+des opérateurs DtN. Comme nous pouvions nous y attendre, la convergence GMRES pour les sous-problèmes (2.4) et (2.5) n’est pas particu- lièrement bonne, le nombre d’itérations étant élevé et pouvant dépendre significativement du nombre d’onde. Venons-en à présent au cas où les opérateurs de transmission sont optimaux pour les sous-problèmes (2.4) et (2.5). Comme dans la sous-section 2.4.4, nous considérons que les sous-problèmes n’admettent respectivement qu’un seul opérateur optimal, à savoir :

T−= Λ−,k−,ρ , T+= −Λ−,k+,1.

Si les opérateurs de transmission correspondent aux opérateurs précédents, les opérateurs des formulations pré-conditionnées (2.10) et (2.12) sont identiques au nombre d’onde près et correspondent respectivement à Ok+ et à Ok−, Ok étant défini par :

Ok= 1 2Id + SkΛ−,k,1 −DkΛ −1 −,k,1 D_k∗Λ−,k,1 12Id − NkΛ −1 −,k,1  .

Remarquons que ce résultat est également valable lorsque les opérateurs de transmission sont choisis comme étant les approximations intégrales, de type racine carrée ou d’ordre zéro des opérateurs optimaux pour les sous-problèmes. Il suffit alors de remplacer Λ−,k,1 par Λint−,k,1, Λ

sq

0 5 10 15 20 20 30 40 50 60

Nombre d’onde intérieur

Nom bre d’itérations GMRE S Problème intérieur Λsq₊ Λ0 + 0 5 10 15 20 20 30 40

Nombre d’onde intérieur

Nom bre d’itérations GMRES Problème extérieur Λint− Λsq₋ Λ0−

Figure 2.12 – Nombre d’itérations GMRES en fonction de k− pour les sous-problèmes non optimisés

La Figure 2.13 présente l’évolution du nombre d’itérations GMRES pour l’opérateur Ok en fonction de

k, l’opérateur Λ−,k,1 ayant été remplacé par ses approximations Λint−,k,1, Λ sq

−,k,1 et Λ0−,k,1. La convergence

GMRES pour les formulations pré-conditionnées (2.10) et (2.12) est donc tout à fait satisfaisante lorsque les opérateurs de transmission sont optimaux pour les sous-problèmes. Pour finir, remarquons que la qualité de la convergence GMRES offerte par Λσ

−,k,1 est surprenante au premier abord. En effet, nous savons que

Λσ

−,k,1 n’est pas une très bonne approximation de Λ−,k,1. Toutefois, ces résultats se justifient simplement

et nous limitons les explications au cas du problème extérieur (2.5), les arguments étant similaires dans le cas du problème intérieur (2.4). Commençons par rappeler que −Λσ_−,k

+,1= Λ σ

+,k+ et que Λ+,k+ est optimal pour le problème extérieur (2.5). Ainsi, ce n’est pas −Λσ

−,k+,1 en tant qu’approximation de −Λ−,k+,1 qui assure une bonne convergence GMRES pour le problème extérieur (2.5) mais −Λσ

−,k+,1 en tant que très bonne approximation de Λ+,k+. 0 5 10 15 20 10 20 30 40 50 60 Nombre d’onde Nom bre d’itérations GMRES Λint− Λsq₋ Λ0−

Figure 2.13 – Nombre d’itérations GMRES en fonction de k pour les sous-problèmes optimisés

2.5

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons proposé un couplage faible, pouvant être aussi bien de type BEM-BEM que de type FEM-BEM, permettant de résoudre le problème de diffraction-transmission (2.1). Ce dernier correspond à une méthode de décomposition de domaine écrite sous la forme d’une équation qui est équivalente au problème de diffraction-transmission (2.1) : (Id − Sπ) g− g+  = γ + Nuinc+ T−γ + Duinc −γ+ Nuinc− T+γ+Duinc  . (2.31)

Nous rappelons que nous avons choisi de résoudre cette équation en utilisant la procédure GMRES. Nous avons ensuite exhibé des opérateurs de transmission T− et T+, dits optimaux, rendant l’équation (2.31)

triviale, à savoir :

Sπ= 0.

Ces opérateurs de transmission optimaux correspondent toutefois à des opérateurs DtN associés à Ω− et à

Ω+. En pratique, leur évaluation est donc peu réaliste pour des raisons de temps de calcul et de besoins en

mémoire. Pour pallier ce problème, nous avons introduit les approximations de type racine carrée, d’ordre zéro et intégrale des opérateurs DtN. L’évaluation des approximations de type racine carrée des opérateurs DtN demeurant limitante d’un point de vue computationnel, nous les avons elles-mêmes approximées géné- rant ainsi des approximations de Padé des opérateurs DtN dont l’évaluation est beaucoup moins coûteuse. Le choix des opérateurs de transmission impacte directement les propriétés spectrales de l’opérateur Id − Sπ et donc la vitesse de convergence de la procédure GMRES. Il est alors important que les approximations des opérateurs DtN que nous avons introduites soient de bonne qualité. Nous avons vérifié que cela était effecti- vement le cas pour la sphère par des tests semi-numériques/semi-analytiques. La meilleure approximation de l’opérateur DtN intérieur est l’approximation intégrale, suivie de l’approximation de type racine carrée et de l’approximation d’ordre 0. Notons que l’approximation intégrale n’est valable que lorsque le DtN intérieur est associé à un problème homogène. Pour l’opérateur DtN extérieur, l’approximation de type racine carrée est meilleure que l’approximation d’ordre 0. Enfin, pour les approximations de Padé, nous avons vu que la rotation de branche θpdevait être fixée à π₂ et qu’il était suffisant que le nombre Npde termes considérés soit égal à 4. Nous nous sommes ensuite assurés, encore une fois par des tests semi-numériques/semi-analytiques, que le nombre d’itérations GMRES nécessaires à la résolution de l’équation (2.31) était faible lorsque les opérateurs de transmission correspondent aux meilleures approximations des opérateurs DtN. Par ailleurs, nous avons également constaté dans ce cas que le nombre d’itérations GMRES permettant de résoudre le couplage faible (2.31) est quasiment indépendant du nombre d’onde et du nombre de valeurs propres consi- dérées. Ceci nous laisse en particulier penser que le nombre d’itérations GMRES nécessaires à la résolution du couplage faible (2.31) sera, en pratique, indépendant du pas du maillage.

Tous les résultats que nous venons de rappeler seront confirmés, et ceci pour d’autres géométries que la sphère, dans le prochain chapitre qui est dédié à la résolution du couplage faible (2.31) par la méthode des éléments finis.

Chapitre 3

Discrétisation et résultats numériques

Sommaire

3.1 Eléments finis et matrices associées . . . . 69