Approximation microlocale des opérateurs DtN

Dans cette sous-section, nous expliquons comment obtenir des approximations pseudo-différentielles des opérateurs DtN en utilisant des techniques d’analyse microlocale. Dans l’optique de préciser l’origine de telles approximations, nous commençons par traiter le cas simple de l’opérateur DtN associé à un demi- espace. Nous expliquons ensuite formellement comment passer au cas d’une surface fermée, une présentation théorique complète demandant des développements trop longs.

Cas du demi-espace

Calculons l’opérateur DtN pour le demi-espace Ω = (x; y; z) ∈ R3 _{: z > 0 . La frontière de Ω, notée Γ,}

correspond alors au plan d’équation z = 0 et la normale unitaire sur Γ sortante pour Ω, notée n, est donnée par n = (0; 0; −1). Soit u vérifiant l’équation de Helmholtz de nombre d’onde k ∈ R∗+ dans Ω :

∆u + k2u = 0.

En appliquant la transformée de Fourier partielle F dans les plans d’équation z = C ∈ R∗+ à l’équation

précédente, il vient :

∂2_z+ λ1_+,kλ1_−,k
F(u)(ξx; ξy; z) = 0, les symboles λ1

+,k et λ 1

−,k étant définis comme suit :

λ1_+,k(ξx; ξy) = i q k2_{− ξ}2 x− ξy2 , λ 1 −,k(ξx; ξy) = −i q k2_{− ξ}2 x− ξy2. Nous rappelons par ailleurs que F (u) est définie par :

F (u)(ξx; ξy; z) = 1 2π

Z

R2

u(x; y; z)e−i(xξx+yξy)_dxdy.

Nous en déduisons alors que :

F (u)(ξx; ξy; z) = A+(ξx; ξy)ezλ 1 +,k(ξx;ξy)_{+ A} −(ξx; ξy)ezλ 1 −,k(ξx;ξy)_.

Il se trouve que A−(ξx; ξy) est nul. En effet, si k2−ξx2−ξy2est strictement négatif, e zλ1

−,k(ξx;ξy)_{diverge lorsque}

z tend vers +∞, alors que ezλ1+,k(ξx;ξy) _{reste borné. Par conséquent, en dérivant l’équation précédente par}

rapport à z et en prenant la trace de la relation obtenue sur Γ, nous obtenons : F (∂zu)(ξx; ξy; 0) = λ1+,k(ξx; ξy)F (u)(ξx; ξy; 0), soit :

∂nu|Γ= −FΓ−1λ 1

+,k(ξx; ξy)FΓ(u|Γ),

la notation FΓ désignant la transformée de Fourier sur Γ. L’opérateur FΓ−1λ 1

+,k(ξx; ξy)FΓ est l’opérateur

pseudo-différentiel de symbole total λ1

+,k. Il est classiquement noté ik

q

Id + ∆Γ

k2, cette notation étant justifiée par le fait que :

"r Id +∆Γ k2 #2 = Id +∆Γ k2. En effet, k2_{− ξ}2

x− ξy2 est le symbole total de l’opérateur de Helmholtz surfacique k2Id + ∆Γ, c’est-à-dire

que si v est une fonction sur Γ, nous avons :

FΓ k2v + ∆Γv
= (k2− ξx2− ξ2y)FΓ(v).

Considérons à présent le problème de diffraction-transmission (1.8) à coefficients constants pour lequel : Ω−=(x; y; z) ∈ R3: z < 0 , Ω+=(x; y; z) ∈ R3: z > 0 .

De par ce qui vient d’être fait, nous avons :

Λ+,k = ik

r

Id +∆Γ k2 .

Par symétrie, nous voyons par ailleurs que :

Λ−,k,ρ= −ikρ

r

Id + ∆Γ k2.

Extension au cas courbe

Nous expliquons à présent, dans les grandes lignes, comment approximer les opérateurs DtN lorsque Γ est une surface fermée et Ω− est convexe. La première étape consiste à redresser localement Γ à l’aide

d’un système de cartes locales et de changements de variables liés au plan tangent [5]. Nous pouvons alors réécrire l’équation de Helmholtz avec un nombre d’onde constant comme une équation elliptique à coefficients variables dans un demi-espace. Il est ensuite possible de montrer que le symbole principal λ1

+,kde l’opérateur

DtN extérieur est localement le même que pour le demi-espace, à savoir :

λ1_+,k= iqk2_{− ξ}2

x− ξy2.

Pour obtenir ce résultat, il est nécessaire d’utiliser le développement asymptotique en symboles homogènes du symbole total λ+,k de l’opérateur DtN extérieur Λ+,k [5, 52] :

λ+,k≈ λ1+,k+ λ 0

+,k+ λ−1+,k+ ...,

les symboles λj_+,k étant homogènes d’ordre j en (ξx; ξy; k), à savoir : ∀µ > 0, ∀j ∈ {1; 0; −1; · · · }, λj_+,µk(µξx; µξy) = µjλ

j

+,k(ξx; ξy).

Remarquons que le calcul des λj_+,k nécessite d’avoir recours à une factorisation micro-locale de Nirenberg de l’opérateur DtN extérieur [5, 52, 89]. Cette dernière permet en particulier de séparer les ondes sortant et entrant du domaine Ω+.

En première approximation, nous négligeons les termes d’ordre strictement inférieur à 1 dans le développe- ment de λ+,k :

λ+,k ≈ λ1+,k.

Nous choisissons donc d’approximer Λ+,k par l’opérateur dont le symbole total est λ1+,k. De par sa forme,

cet opérateur est toutefois difficilement exploitable en pratique. Pour contourner ce problème, commençons par remarquer que le symbole principal de l’opérateur :

Λsq_+,k = ik r

Id +∆Γ k2 ,

est λ1

+,k. Nous proposons alors d’approximer Λ+,kpar Λsq_+,k. Cette approximation n’est toutefois valable que

dans les zones hyperbolique et elliptique, respectivement notées H et E :

H =(k; ξx; ξy) : k2− ξx2− ξy2 0

, E =(k; ξx; ξy) : k2− ξx2− ξ2y 0 , et pas dans la zone des rayons rasants, notée G :

G =(k; ξx; ξy) : k2− ξx2− ξ

2

y≈ 0 .

Cela peut s’expliquer par le fait que Λsq_+,k est un opérateur singulier dans la zone G. Remarquons que les zones hyperbolique et elliptique caractérisent respectivement les parties propagatives et évanescentes de l’onde. Pour pallier le problème d’approximation dans la zone des modes rasants, nous suivons la solution proposée dans [9] consistant à régulariser Λsq_+,k en introduisant un paramètre  :

Λsq_+,k= ik s Id + divΓ  1 k2  ∇Γ  avec k= k + i,  > 0. (2.16)

Par la suite, nous qualifierons d’approximation de type racine carrée l’approximation Λsq_+,k. Le paramètre  est optimisé de sorte à intégrer de façon approchée et locale les rayons rampants [9] :

 = 0.4k13κ 2 3,

la notation κ désignant la courbure moyenne de Γ. Nous nous contentons toutefois de remplacer κ par l’inverse du rayon de la sphère circonscrite à Ω−. Remarquons que Λsq+,k fait intervenir un opérateur de type

Helmholtz surfacique complexe symétrisé en vue d’une implémentation par la méthode des éléments finis surfaciques [9]. Plus précisément, la définition de Λsq_+,k est motivée par la relation suivante :

∀u, v ∈ H1_{(Γ), k}−2  ∇Γu ∈ Ht(divΓ, Γ) ⇒ Z Γ divΓ k−2 ∇Γu
v dΓ = − Z Γ k_−2∇Γu · ∇Γv dΓ.

Dans ce travail, de nombreux résultats numériques permettront d’affirmer indirectement, c’est-à-dire au tra- vers de la vitesse de convergence du couplage faible (2.6), que Λsq_+,k est une bonne approximation de Λ+,k.

Dans la sous-section 2.4.3, la qualité de Λsq_+,k comme approximation de Λ+,k est toutefois illustrée, lorsque

Γ est une sphère, de manière plus directe.

L’opérateur Λsq_+,kpeut lui-même être approximé générant ainsi ce que nous appelons l’approximation d’ordre zéro de Λ+,k, notée Λ0+,k :

Λ0_+,k= ikId. (2.17)

Cette approximation est d’autant plus valable que k est grand. Nous nous attendons toutefois à ce que Λ0 +,k

soit une bien moins bonne approximation de Λ+,kque Λsq+,k. Des résultats numériques confirmant ce propos

lorsque Γ est une sphère sont présentés dans la sous-section 2.4.3.

Des arguments similaires conduisent à proposer des approximations semblables à Λsq_+,k et Λ0_+,k pour l’opé- rateur DtN intérieur : Λsq_−,k,ρ= −ikρ s Id + divΓ  1 k2  ∇Γ  , (2.18) Λ0_−,k,ρ= −ikρId. (2.19) A ce stade, il est possible d’anticiper que l’approximation de type racine carrée est meilleure pour Λ+,kqu’elle

ne l’est pour Λ−,k,ρ. Cela est par ailleurs confirmé numériquement pour la sphère dans la sous-section 2.4.3.

Les opérateurs Λsq_+,k et Λsq_−,k,ρ ne sont pas locaux. Toutefois, ils le sont quasiment. Plus précisément, ils peuvent être aisément localisés. En effet, nous présentons dans la sous-section 2.3.4 une procédure efficace et précise d’approximation locale de ces opérateurs. Cette dernière repose sur des approximants de Padé adéquats de la racine carrée. Le DtN extérieur n’est pas un opérateur local mais n’est pas loin d’en être un, typiquement si l’objet diffractant est convexe et si le nombre d’onde est élevé. En revanche, l’opérateur DtN intérieur est un opérateur fortement non local. Physiquement, cela peut se comprendre en termes de rayons optiques. Pour illustrer cela, supposons que la surface extérieure de l’objet diffractant soit un miroir. Si un laser est pointé dans la direction de l’objet diffractant, le rayon issu du laser ne se réfléchit qu’une seule fois sur l’objet diffractant si ce dernier est convexe. A contrario, supposons maintenant que la surface intérieure de l’objet diffractant soit un miroir. Si un laser est allumé à l’intérieur de l’objet diffractant, le rayon issu du laser se réfléchit alors une infinité de fois sur la surface intérieure de l’objet diffractant.

Jusqu’à présent, nous avons donné des résultats d’approximation pour les opérateurs Λ+,k et Λ−,k,ρ lorsque

k et ρ sont constants. Si k et ρ ne sont pas constants, nous nous autorisons à utiliser les extensions formelles

des approximations déjà présentées. Remarquons que cette approche est appuyée par des considérations théoriques. En effet, la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et l’analyse micro-locale permettent d’in- troduire de manière rigoureuse les approximations considérées lorsque k et ρ ne sont pas constants.