X
k=0
(k+ 1)xk,
est égal à 1, elle converge sur l'intervalle ]−1,1[ et sa somme est
∞
X
k=0
(k+ 1)xk = 1 (1−x)2.
Exemple 110 Le rayon de convergence de la série entière f(x) =
∞
X
k=0
k2+ 3k−1 k+ 3
xk k!,
est égal à l'inni et elle converge sur R. On a f(0) =−13 et pour x6= 0, on a f(x) = xex− 1
x3 ex(x2 −2x+ 2)−2 . Exemple 111 Le rayon de convergence de la série entière
∞
X
k=0
sinkθ
k! xk, θ∈R
est égal à l'inni, elle converge donc sur R et sa somme est égale à
∞
X
k=0
sinkθ
k! xk=excosθsin(xsinθ).
3.6 Résolution des équations diérentielles à l'aide des séries entières
Problème 1 : Considérons l'équation diérentielle y00+P1(x)y0+P2(x)y= 0,
oùP1 et P2 sont des fonctions analytiques sur]x0−r, x0+r[. On montre que dans ce cas toute solution de l'équation ci-dessus est analytique sur ce même intervalle.
Exemple 112 On considère l'équation diérentielle xy00+ (1−x)y0−y= 0,
où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une série entière, de rayon de convergence r >0,
y=
∞
X
k=0
akxk,
qui soit solution de cette équation et telle que : y(0) = 1. On montre que ak+1 = ak
k+ 1, r= +∞, et
y =
∞
X
k=0
xk k! =ex. Exemple 113 Etudier l'équation de Legendre :
(1−x2)y00−2xy0+n(n+ 1)y = 0, où n est un nombre réel.
Legendre
Problème 2 : Considérons l'équation diérentielle
(x−x0)2y00+ (x−x0])P1(x)y0 +P2(x)y = 0,
où P1 et P2 sont des fonctions analytiques sur ]x0−r, x0 +r[. On cherche à satisfaire l'équation ci-dessus par une relation dy type
y(x) =xα
∞
X
k=0
ak(x−x0)k, et il s'agira de déterminerα ainsi que les coecients ak. Exemple 114 Etudier l'équation de Bessel :
x2y00+xy0 + (x2−λ2)y= 0, λ∈R
Bessel
3.7 Exercices
Exercice 3.1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières sui-vantes :
a)
∞
X
k=1
coshk sinh2kx2k. b)
∞
X
k=1
k!zk!. Réponse :
a)√ e. b)1.
Exercice 3.2 a) Soit r le rayon de convergence de la série entière P akzk. Quel est celui de la série P
akkpzk? où p désigne un entier naturel.
b) Soit P(z) un polynôme distinct du polynôme nul. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP
P(k)zk. Réponse :
a)r. b)1.
Exercice 3.3 ( Extrait du concours Centrale). Même question pour la série entière P
akxk où (ak) est une suite de réels dénie par a0 > 0 et ∀k ∈ N : ak+1 = ln(1 +ak).
Réponse :1.
Exercice 3.4 Etudier la convergence des trois séries de fonctions suivantes : a) 2−3z+z2+ 2z3−3z4 +z5+ 2z6−3z7+z8+· · ·
b) (2−3z+z2) + (2z3−3z4+z5) + (2z6−3z7+z8) +· · · c) 2 + (−3z+z2+ 2z3) + (−3z4+z5+ 2z6) +· · ·
Réponse :
a) La série en question converge si |z|<1.
b) La série proposée converge si |z|<1, z = 1 et z = 2. c) La série en question converge si |z|<1, z = 1 etz =−32.
Exercice 3.5 ( Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère la
série entière ∞
X
k=1
(−1)k−1
2k−1 x2k−1, x∈R. (3.1)
a) Déterminer le rayon de convergence r de la série (3.1). Trouver les va-leurs dexpour lesquelles la série (3.1) converge et la série dérivée ne converge pas.b) Soit x0 ∈]−r, r[. Montrer que la série dérivée converge uniformément sur [0, x0]. Calculer la somme de la série (3.1) pour x∈]−r, r[.
c) Montrer que la série (3.1) converge uniformément sur[0,1]et déterminer sa somme pour x= 1.
Réponse :
a)r = 1, les valeurs cherchées sont x=±1. b)∀x∈]−1,1[, P∞
k=1
(−1)k−1
2k−1 x2k−1 = arctanx. c) π4.
Exercice 3.6 Soit f(z) =
∞
X
k=0
akzk, la somme d'une série entière supposée convergente sur le disque ouvert D1 ={z ∈C :|z| <1}. De plus, on suppose que les conditions suivantes sont satisfaites
a1 6= 0,
∞
X
k=2
k|ak| ≤ |a1|.
Montrer que f est injective sur D1 et que la série considérée converge sur le disque ferméD2 ={z ∈C:|z| ≤1}.
Exercice 3.7 Déterminer somme des séries entières réelles suivantes : a)
∞
X
k=0
xk (k+ 3)k!.
b) X
k=0
k + 3k−1 (k+ 3)k! xk.
c) ( Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida) :
∞ Exercice 3.8 Soit f dénie sur R par
f(x) =
e−x12 si x6= 0 0 si x= 0
Montrer que la fonction f n'est pas développable en série entière au voisinage de 0.
Exercice 3.9 ( Extrait d'un examen, Fac. Sc. El Jadida). On considère la série entière
a) Quel est le rayon de convergence de cette série ? Montrer que f vérie une équation diérentielle linéaire du troisième ordre à coecients constants et sans second membre.
b) Montrer que l'on peut déterminer trois constantes C1, C2, C3 de sorte que l'on ait dans l'intervalle de convergence :
f(x) =C1ew1x+C2ew2x+C3ew3x,
où w1, w2 et w3 sont les trois racines cubiques de −1. En déduire l'expression de f(x).
c) En déduire la somme de la série
∞
Exercice 3.10 Développer en séries entières au voisinage de 0, les fonctions
Exercice 3.11 On considère l'équation diérentielle xy00+ (n−x)y0−y= 0, n ∈N
où y est une fonction de la variable réelle x. Supposons qu'il existe une série entière, de rayon de convergence r >0, fn(x) =
a) Déterminer les coecients de cette série. Quel est son rayon de conver-gence ?
Exercice 3.12 Soit f(x) =
∞
X
k=0
akxk, une série entière de rayon de conver-gence r.
a) Montrer que si
∞
akxk converge uniformément sur [0, r] et Réciproque ? Justier votre réponse.
b) On pose r = 1 et Sn =
(i) |Sn−f(x)| ≤(1−x)X
c) En utilisant ce qui précéde, calculer
n→∞lim En déduire que la série
∞
Exercice 3.13 On considère la fonction dénie par f(x) = arcsin√
x px(1−x),
a) Montrer que pour x ∈]0,1[, f vérie une équation diérentielle linéaire du premier ordre à coecients variables et avec second membre.
b) On suppose qu'il existe une série entière P
akxk solution de cette équa-tion diérentielle. Déterminer ak ainsi que le rayon de convergence de cette série.
c) En déduire le développement en série entière dans ]0,1[ de f(x). Réponse :
a)2x(1−x)f0(x) + (1−2x)f(x) = 1. b)ak= (2k+1)!(2kk!)2, k ∈N,r = 1.
c) Le développement en série entière def(x)dans ]0,1[, n'est autre que la solution de l'équation diérentielle ci-dessus et il est égal àP (2kk!)2
(2k+1)!xk.
4 Séries de Fourier
4.1 Séries trigonométriques
Dénition 115 On appelle série trigonométrique, une série de la forme a0
2 +
∞
X
k=1
(akcoskx+bksinkx), x∈R (4.1) où les ak et bk sont des nombres réels ou complexes.
Remarque 116 En fait une série trigonométrique s'écrit sous la forme
∞
X
k=0
(akcoskx+bksinkx), x∈R
Mais commesin 0 = 0, on peut sans restreindre la généralité, poser b0 = 0. En outre, nous avons désigné par a20 le terme d'indice 0. Ceci provient du fait que a0 est choisi de façon à se calculer par la même formule (voir plus loin) que les autres ak.
Proposition 117 Si les séries numériques P
ak et P
bk convergent absolu-ment, alors la série trigonométrique (4.1) converge normalement dans R. En outre, sa somme est une fonction continue sur R.
Exemple 118 Les sériesPcoskx
k2 et Psinkx
k2 , convergent normalement surR.
Proposition 119 Si(ak)et(bk)sont des suites réelles positives, décroissantes et tendant vers zéro, alors la série trigonométrique (4.1) converge simplement pour tout x 6= 2lπ, l ∈ Z et uniformément sur tout intervalle de la forme [α,2π−α] pour tout l ∈Z et α ∈]0, π[. En outre, sa somme est une fonction continue sur ]2lπ,2(l+ 1)π[, l ∈Z.
Exemple 120 Les séries Pcoskx
k , Psinkx
k convergent pour tout x6= 2lπ, l ∈ Z et leur sommes sont des fonctions continues en tout point x6= 2lπ, l ∈Z.
Propriété 121 Si la série trigonométrique (4.1) converge versf(x)sur[−π, π], alors f(x) est 2π-périodique, c-à-d., f(x+ 2π) =f(x), x∈R.
Propriété 122 Soit f une fonction dénie, intégrable sur [−π, π] et dévelop-pable en série trigonométrique
f(x) = a0 2 +
∞
X
k=1
(akcoskx+bksinkx).
Si cette série est intégrable terme à terme, ce développement est unique (ceci est vérié par exemple lorsque la série converge uniformément sur[−π, π]).
Série trigonométrique associée à une série entière : Soit f(z) =
∞
X
k=0
akzk,
une série entière de rayon de convergencer >0. Posons
z =ρeix =ρ(cosx+isinx), 0< ρ < r, x∈R. On azk =ρk(coskx+isinkx) et par conséquent
f(ρeix) =
∞
X
k=0
akρkeikx =
∞
X
k=0
akρk(coskx+isinkx).
Cette série converge normalement sur R en vertu du critère de Weierstrass puisque |akρk(coskx+isinkx)| ≤ |ak|ρk et P
|ak|ρk converge car d'après le critère de la racine de Cauchy, on a
lim sup
k→∞
pk
|ak|ρk =ρlim sup
k→∞
pk
|ak|= ρ r <1.
Si la fonctionf est à valeurs réelles,ak et bk sont nécessairement réels. On a Ref(ρeikx) =
∞
X
k=0
akρkcoskx, Im f(ρeikx) =
∞
X
k=0
akρksinkx.