Réseaux feedforward

Le perceptron est le plus simple des réseaux de neurones, se comportant comme un simple classifieur linéaire. Afin d’apprendre des tâches plus complexes, il est possible d’augmenter le nombre de neurones et de les connecter entre eux.

Plusieurs types de réseaux peuvent ainsi être obtenus. Les plus simples sont les réseaux dits feedforward.

Dans ceux-ci, il est possible d’affecter chaque neurone à une couche et d’ordonner les différentes couches entre elles de sorte que les sorties des neurones d’une couche i ne soient reliées qu’à des entrées de neurones appartenant à une couche j > i (figure 3.5).

Perceptron multicouches

En empilant plusieurs perceptrons, on obtient un perceptron multicouches. Chaque neurone de chaque couche se comporte toujours comme un classifieur linéaire, mais l’utilisation de couches intermédiaires permet de créer des partitions complexes de l’espace. Ceci permet de projeter les données fournies en entrée dans de nouveaux espaces, dans lesquels une tâche initialement non linéaire peut devenir linéaire.

Cependant, l’utilisation de couches intermédiaires rend impossible d’entraîner ces ré-seaux en utilisant la règle d’apprentissage du perceptron. C’est pourquoi il a fallu attendre la publication des techniques de rétropropagation du gradient ((Werbos 1974 ; Parker 1985 ; Le Cun 1986) et plus particulièrement (Rumelhart et al. 1986)) pour que ces réseaux soient plus largement utilisés. Comme nous le verrons par la suite, ces techniques nécessitent en particulier que les fonctions d’activation utilisées soit dérivables. À partir de ce moment là, la fonction de Heaviside a donc été généralement remplacée par la fonction sigmoïde.

Sigmoïdes versus Gaussiennes et malédiction de la dimensionalité

D’autres fonctions que la sigmoïde peuvent être utilisées, par exemple des fonctions gaussiennes. Comme nous allons le voir, la fonction sigmoïde a cependant un avantage important dans les espaces de grande dimensionalité. Une fonction sigmoïde peut être vue comme une approximation de la fonction de Heaviside, c’est-à-dire séparant l’espace en deux : une partie où la sigmoïde vaut 0, l’autre où elle vaut 1. Cette séparation étant un hyperplan (voir figure 3.4), l’espace est partagé en deux parties à peu près égales (dépendant de la valeur du biais) quelle que soit la dimensionalité de cet espace. Au contraire, en utilisant une fonction d’activation gaussienne (comme le font souvent les

Radial Basis Function Networks), on retrouve une manifestation de la malédiction de la

dimensionalité exposée au paragraphe 2.4.1. En considérant la largeur à mi-hauteur l de la gaussienne pour distinguer deux zones de l’espace – celle où la gaussienne prend une valeur supérieure à 0.5 et celle où elle prend une valeur inférieure – c’est-à-dire en considérant que la gaussienne partage l’espace en deux selon une hypersphère, l’exemple de l’hypercube du paragraphe 2.4.1 montre qu’il est nécessaire d’avoir un nombre exponentiel de gaussiennes pour couvrir l’espace. En effet, le rapport entre le volume de l’hyperboule de rayon l/2 et le volume de l’hypercube de côté l vaut :

π^d/2

2dΓ(_d

2 + 1) (3.5)

où Γ est la fonction Gamma (Γ(x) =∫+∞

0 t^x−1e^−tdt). Dans le cas d = 100, on obtient un

ratio d’environ 10⁻⁷⁰. Ceci veut dire qu’une gaussienne dont la largeur à mi-hauteur est égale au côté d’un hypercube prend une valeur supérieure à 0.5 sur environ 10⁻⁶⁸% du volume de l’hypercube. L’utilisation de gaussiennes dans des espaces de grande dimensio-nalité doit donc être envisagée avec la plus grande prudence.

Rétropropagation du gradient

Dans la suite, on note h_i la valeur de sortie de la couche i du réseau, W_i,j la matrice de poids synaptiques entre la couche i et la couche j, et l’on implémente les biais sous la forme d’un neurone dont l’activation est toujours 1 (la valeur des biais étant dès lors codée dans les matrices W par les valeurs des connexions synaptiques avec ce neurone). En conséquence et par souci de simplification des équations, nous ne faisons dorénavant plus apparaître les biais de manière explicite. On note de plus g_i les activités des neurones de la couche i avant application de la fonction d’activation

g_i = W_i−1,ihi−1 (3.6)

h_i = σ(g_i). (3.7)

Tout comme la règle du perceptron, la technique de rétropropagation du gradient consiste à modifier de manière incrémentale l’ensemble des paramètres Θ du réseau (poids synaptiques et biais), de manière à rapprocher la sortie obtenue pour une entrée x de la

sortie désirée y. Cette différence permet en effet de définir une erreur sur un ensemble de données D ={(x, y)} : E(D, Θ) = ¹ 2 ∑ (x,y)∈D ||y − ˆy||2 = ¹ 2 ∑ (x,y)∈D ||y − f(x, Θ)||2 (3.8)

où la fonction f (x, Θ) = h_n◦hn−1◦· · ·◦h1(x) correspond à l’ensemble des transformations subies par une donnée x à travers le réseau de paramètres Θ, composé de n couches.

En utilisant une fonction dérivable comme fonction d’activation des neurones, il est possible de calculer le gradient de cette erreur par rapport aux poids du réseau :

∂E ∂W_i,j^{k,l =} ∂E ∂hl j ∂hl j ∂gl j ∂gl j ∂W_i,j^k,l (3.9) soit ∂E ∂W_i,j^{k,l =} ∂E ∂hl j × σ0_(gl j)× hk i (3.10) où Wk,l

i,j représente le poids synaptique entre le neurone k de la couche i et le neurone l de la couche j.

La valeur ∂E ∂hl j

dépend de la couche considérée : – si j est la couche de sortie (j = n), alors hj = ˆy et

∂E ∂hl j

= ˆy^l− yl

, (3.11)

– si j est une couche intermédiaire, il faut considérer les neurones de la couche j + 1 qui reçoivent la couche j en entrée

∂E ∂hl j =∑ m ∂E ∂hm j+1 ∂hm j+1 ∂gm j+1 ∂gm j+1 ∂hl j (3.12) soit ∂E ∂hl j =∑ m ∂E ∂hm j+1 σ⁰(g^m_j+1)W_j,j+1^l,m . (3.13)

L’équation 3.13 donne donc une formule récursive pour calculer le gradient de l’erreur à la couche j à partir du gradient à la couche j + 1, d’où le nom de rétropropagation du gradient. L’erreur entre la valeur de sortie désirée et la valeur obtenue peut alors être minimisée par une descente de gradient avec un taux d’apprentissage α :

∆W_i,j =−α ^∂E

∂W_i,j^. (3.14)

Le gradient peut lui-même être calculé pour l’erreur sur tout l’ensemble d’apprentissage

D (batch learning), ce qui permet d’avoir un taux d’apprentissage assez élevé, pour chaque

ou, de façon intermédiaire, pour des sous-ensembles de l’ensemble d’apprentissage

(mini-batches).

Il existe également d’autres méthodes de descente de gradient qui peuvent se révéler plus efficaces, comme le gradient conjugué (Nocedal et Wright 2006) ou les algorithmes dérivés de la méthode de Newton qui font appel à des informations d’ordre deux sur la fonction (matrice Hessienne) (Martens 2010 ; Dauphin et al. 2014) et sont donc généralement assez coûteux en calculs.

Dans nos expériences, nous utiliserons à plusieurs reprises la méthode du momentum qui consiste à intégrer (avec pertes) les gradients successifs calculés à chaque itération. Cette méthode a l’avantage de demander très peu de calculs supplémentaires par rapport à la version de base de la descente de gradient. Elle introduit un moment η en plus du taux d’apprentissage α et l’équation 3.14 devient :

∆W_i,j^t =−α ^∂E

∂Wt

i,j

+ η∆W_i,j^t−1. (3.15)

Le moment η agit donc comme un terme de fuite sur l’intégration des mises à jour ∆W_i,j successives. Il est généralement choisi proche de 1.

Cartes auto-organisatrices

Le principe des cartes auto-organisatrices, ou cartes de Kohonen (Kohonen 1990), dif-fère très largement des perceptrons multicouches. Le but de ces réseaux est d’apprendre une représentation topologique des données fournies en entrée. Pour cela, elles ne pos-sèdent qu’une seule couche cachée fonctionnant sur le principe du gagnant prend tout. Chaque neurone de cette couche cachée est associé à une valeur d’entrée (l’équivalent d’un prototype pour ce neurone) et connecté à ses neurones voisins selon une topologie donnée (par exemple 2D ou 3D). Chaque nouvelle donnée est alors comparée aux prototypes de chaque neurone et seul le neurone le plus proche, ainsi que ses voisins topologiques, sont modifiés selon leur distance par rapport à la nouvelle donnée. Différentes méthodes ont été proposées, la plus simple consistant à rapprocher fortement le prototype du neurone vain-queur de la nouvelle donnée et de rapprocher plus faiblement les prototypes des neurones voisins (voir figure 3.6).

Réseaux gated

Les réseaux gated constituent une famille particulière. Contrairement aux autres ré-seaux dont les connexions entre couches sont linéaires, les réré-seaux gated introduisent des interactions d’ordre supérieur. Au sein de ceux-ci, le poids de connexion w_ij entre deux neurones x_i et y_j est en effet modulé par l’activité d’un troisième neurone z_k :

y_j = σ((z_k× wij)× xi). (3.16)

Un tel mécanisme peut-être utilisé dans plusieurs buts : contrôler les flux de données dans le réseau ou modéliser des interactions multiplicatives entre plusieurs entrées (fi-gure 3.7). Dans le premier cas, l’activation du neurone z_k varie entre 0 et 1 et celui-ci se

Figure 3.6 – Dans une carte de Kohonen, les neurones sont reliés à leurs voisins selon une

grille topologique. Lorsqu’une nouvelle donnée est présentée en entrée (ici en bleu), le neurone le plus proche (en rouge foncé) est désigné “vainqueur”. Il est alors rapproché de la donnée correspondante, ainsi que ses plus proches voisins (en rouge clair). Différente règles de mise à jour existent, pour définir le voisinage concerné ainsi que l’amplitude de la mise à jour selon la distance au neurone vainqueur.

x y

z

1 0

w

xy

x

y

z

w

_(xz)y

Figure 3.7 – Deux visions d’une connexion gated pour deux utilisations différentes. À gauche,

la connexion gated sert à contrôler le flux d’information dans le réseau. Le neurone z agit alors comme une barrière qui bloque, ou non, la transmission entre x et y. À droite, la connexion sert à implémenter une relation multiplicative entre deux entrées x et z.

comporte comme une barrière qui laisse (valeur 1) ou non (valeur 0) passer l’information entre les deux neurones connectés. Ce mécanisme est utilisé notamment dans les réseaux “Long-short term memories” (Hochreiter et Schmidhuber 1997a). Dans le second cas,

x et z sont considérés comme des entrées et ont un rôle symétrique. Leurs valeurs sont alors

multipliées avant d’être projetées vers y par la connexion synaptique. De telles relations multiplicatives sont impossibles à modéliser avec des perceptrons standards3 (Memisevic 2012a).

Dans la suite de notre travail, nous utiliserons à plusieurs reprises de tels réseaux sous la forme d’une couche insérée dans un réseau classique. Cette couche encapsule l’interaction multiplicative de façon à la rendre entièrement symétrique entre les trois couches x, y et z

3. Apprendre une relation multiplicative entre deux couches avec un simple perceptron, en utilisant la concaténation des deux couches en entrée, demanderait, comme nous le verrons par la suite, un nombre de neurones qui croît exponentiellement avec la précision désirée.

(voir figure 3.8) (Memisevic 2011). Afin de pouvoir faire interagir n’importe quel neurone d’une couche avec n’importe quel neurone d’une autre couche, chaque couche est d’abord projetée linéairement dans un nouvel espace. Étant donné que cet espace est utilisé pour réaliser les interactions multiplicatives, ces projections sont appelées “facteurs”, et notées

fx, fy et fz :

f_x = W_xx (3.17)

fy= Wyy (3.18)

fz= W_zz (3.19)

Chacune des paires de facteurs peut alors être multipliée terme à terme (opérateur ∗).

Ce produit terme à terme est alors assimilé aux facteurs correspondant à la troisième couche : ˆ fx= fy∗ fz (3.20) ˆ fy= fx∗ fz (3.21) ˆ f_z= f_x∗ fy. (3.22)

Ces facteurs peuvent alors être de nouveau projetés vers leur propre couche en utilisant les mêmes poids synaptiques que ceux permettant de les calculer :

ˆ x = σ(W_x^>fˆ_x) (3.23) ˆ y = σ(W_y^>f^ˆ_y) (3.24) ˆ z = σ(W_z^>f^ˆ_z). (3.25)

Ces équations permettent de mettre en évidence la symétrie entre les trois couches x,

y et z : étant données deux de ces couches, il est possible de les projeter vers la troisième

couche. Cette symétrie est indispensable pour son utilisation dans les réseaux profonds non supervisés que nous exposerons par la suite.

Il est de plus important de remarquer que toutes les opérations associées à cette couche sont continues et dérivables et qu’il est donc possible, suivant le même principe que pour les perceptrons multicouches, de modifier les matrices de poids de manière incrémentale en suivant le gradient de l’erreur entre les valeurs obtenues et les valeurs désirées pour une couche.

L’utilisation de couches intermédiaires de “facteurs” permet de réduire le nombre de paramètres nécessaires pour faire interagir un neurone d’une couche avec n’importe quel neurone d’une autre couche. En effet, sans ces facteurs, il faudrait rajouter une matrice de poids reliant chaque neurone d’une couche à tous les poids connectant les neurones des deux autres couches. Le nombre de paramètres nécessaires serait donc de l’ordre de

n_x × ny × nz (avec n_x le nombre de neurones de la couche x). En projetant d’abord ces couches sur les couches de facteurs, le nombre de paramètres est de l’ordre de n_f ×

(nx+ ny + nz), ce qui permet donc de passer d’une complexité cubique à une complexité quadratique (Memisevic et Hinton 2010).

x ^y

z

f

_z

f

_x

* ^f

y

* ^*

W_x W_y W_z W_z^T W_x^T W_y^T

x ^y

z

W_x W_y W_z

Notation

Dans le document Apprentissage de représentations et robotique développementale : quelques apports de l'apprentissage profond pour la robotique autonome (Page 62-68)