Corollaires du théorème de LAGRANGE
6) Réponse à la question posée (phrase en français) On s'assurera de la cohérence des résultats obtenus.
Exercice 68
Avec une feuille de carton rectangulaire de 60 cm de longueur et de 40 cm de largeur, on veut fabriquer une boîte sans couvercle de volume maximal en découpant dans chacun de ses coins un carré de x cm de côté (voir illustration).
Déterminer les dimensions : longueur, largeur et hauteur de la boîte et le volume maximal de cette boîte.
Exercice 69
Soit la fonction f définie par : f x
( )
2 1x x 1
=
− + avec x≥0 .
On considère un point M appartenant au graphique de f et on construit comme l’indique la figure ci-dessous un rectangle où les points O et M sont les sommets de celui-ci.
On note A x
( )
l’aire de ce rectangle en fonction de la valeur de x.Quel sont les coordonnées du point M afin que l’aire du rectangle soit maximale ? Quel est l’aire maximale du rectangle ?
________________________________________________________________________________ Exercice 70
La parabole qui est le graphique de la fonction f x
( )
2x2 6 3= − + coupe l’axe des abscisses en deux points A et B. Le point P x; y est libre de se déplacer sur la parabole, entre A et B.
(
)
Déterminer les coordonnées du point P pour que l’aire du triangle rectangle grisé soit maximale. Calculer l’aire maximale du triangle rectangle grisé.
Exercice 71
On considère un point M sur le diamètre
[ ]
AB d’un cercle. Il détermine deux cercles de diamètre[
AM]
et[
MB]
. On pose AB= et AM4 = . xOn note A x
( )
l’aire de la surface ombrée en fonction de la valeur de x.Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire A de la surface ombrée est maximale. Déterminer l’aire maximale de la surface ombrée.
A
•
•
B•
P f x y 0A
• •M
•B
5
x h
Exercice 72
Déterminer deux nombres positifs dont la somme est 18 et dont la somme S des carrés est la plus
petite possible. Donner cette somme S minimale.
Exercice 73
Déterminer deux nombres positifs dont la somme est 120, de sorte que le produit P d’une des parties par le carré de l’autre soit maximal. Donner ce produit P maximal.
Exercice 74
On veut faire circuler un fluide avec un frottement minimal dans un canal à section intérieure rectangulaire. ABCD représente cette section ; x désigne la hauteur en mètres et y la largeur en mètres. L’aire de la section est de 2 dm2 .
a) On note L x
( )
la longueur du contour intérieur c’est-à-dire AB+BC+CD . b) Le frottement est minimal lorsque L x est minimal.( )
Déterminer les valeurs de x puis de y (en mètre) pour lesquelles le frottement est minimal. c) Déterminer la longueur du contour intérieur L (en mètre) la plus petite possible .
Exercices 75
La surface totale d'une boîte à fond et couvercle carré est de 10 dm2. Calculer les dimensions qui
maximisent le volume de cette boîte. Calculer le volume maximal.
(Réponses en valeur exactes).
Exercice 76
Un architecte doit construire un hangar qui à la forme d’un parallélépipède d’une largeur de 5 m et d'un volume total de 100 m3. Le coût de construction des murs porteurs verticaux s’élève à 3000 Fr/m2, celui du toit à 2500 Fr/m2 et celui du sol
à 500 Fr/m2.
Déterminer les valeurs x et h en mètres que l’architecte doit choisir
pour minimiser le prix de construction du hangar. Calculer ce prix minmum.
B A C D y x
________________________________________________________________________________ Exercice 77
Un fabriquant de produits alimentaires veut mettre sur le marché un nouveau légume. Il envisage de le mettre dans des boîtes de conserve cylindriques de 3 dl.
a) Déterminer les dimensions de la boîte en cm ( rayon et hauteur ) pour utiliser le moins de métal possible. Donner l’aire minimale de la boîte en cm2 .
b*) Montrer que, quelque soit le volume de la boîte cylindrique, il convient de fabriquer un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre si l’on veut utiliser le moins de métal possible.
Exercice 78
Un météorologue a effectué des relevés de la température T (en °C) pour une certaine période de 24
heures dans une ville. La variable t correspond au temps en heures ; t =0 correspond à minuit et
t=12 correspond à midi.
A 0 h, à 9 h et à 24h la température est de 0 °C. A 16 h la température est de 7 °C.
a) Déterminer la fonction polynomiale de degré 3 : T = f t
( )
qui correspond aux relevés ci-dessus.b) A quelle(s) heure(s) a-t-on T =0, T >0 et T < ? 0
c) Calculer quelques images puis esquisser le graphe de T = f t
( )
pour 0≤ ≤t 24. d) Calculer les extremums locaux de cette fonction sur l’intervalle[
0;24 .]
e) Quelle est la température maximale et minimale dans cette journée ?
f) La température minimale et maximale est-elle toujours obtenue en calculant les extremums locaux de la fonction T = f t
( )
?r
Exercice 79 *
Vous êtes dans un champ boueux à 300 m d'une route ; la distance est mesurée perpendiculairement d'un point A sur cette route. Vous désirez vous rendre à votre voiture B située à 600 m du point A et vous marchez à une vitesse de 3 m/s dans la boue du champ et à 5 m/s sur le pavé de la route.
Quel est le temps minimum que vous pouvez prendre pour atteindre votre voiture (sans tenir compte du temps que vous pouvez mettre à faire des calculs) ?
Exercice 80 *
Considérons un disque de métal de 1 mètre de rayon, dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont l'aire est maximale.
Quelles sont les dimensions du triangle isocèle qui maximisent l’aire ? Donner cet aire maximale.
(réponse en valeur exacte)
Exercice 81 *
a) Calculer la distance minimale entre la parabole d’équation 2
y=x et le point
( )
6;3 .b) Quel est le point sur la parabole qui donne la distance minimale ?
Exercices 82 *
A 10 kilomètres de votre maison, vous vous rappelez avoir oublié de fermer un robinet, ce qui vous coûte 40 centimes par heure.
En roulant à une vitesse constante de v kilomètres par heures, le coût du carburant est de 8 v
20
+ centimes par kilomètres.
a) A quelle vitesse devez-vous faire l'aller et retour pour minimiser les frais totaux ?
b) Combien cette expérience vous coutera-t-elle ?
A
________________________________________________________________________________ 1 3 P A B B0 A0 d Exercice 83 *
On considère une famille de droites de pentes négatives passant par le point P 1;3
( )
.Pour quelle droite de la famille, le triangle délimité par la droite et les axes de coordonnées a-t-il une aire minimale ?
On donnera comme réponse, l’équation de cette droite. Quelle est l’aire minimale de ce triangle ?
Exercice 84 *
A quel point P du premier quadrant la parabole d’équation 2
y= −4 x admet-elle une tangente formant avec les axes du repère un triangle d'aire minimale ? (réponse en valeur exacte)
Exercice 85 *
A 9 h, un bateau B se trouvait à 104 km à l'est d'un autre bateau A. Le bateau B naviguait alors
plein ouest à 16 km/h et le bateau A plein sud à 24 km/h. Si chacun des bateaux poursuit sa route sans changer de vitesse, à quelle heure seront-ils le plus près l'un de l'autre ?
Exercice 86 * Introduction
On peut donner un sens physique à la notion de dérivée.
Considérons la fonction x(t) qui donne la distance parcourue en fonction du temps d'un objet.
Définitions de la Physique
a) la vitesse moyenne de l’objet entre t et t +∆t est définie par : vmoy( t ) x x( t t ) - x( t ) t t ∆ ∆ ∆ ∆ + = =
b) la vitesse instantanée de l’objet au temps t est définie par : t 0 t 0 x x( t t ) - x( t ) v( t ) lim lim t t ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ → → + = =
Remarque : la dérivée première de x(t) est la fonction v(t). Autrement dit : v( t )=x ( t )′
c) Similairement, l’accélération moyenne de l’objet entre t et t +∆t est définie par : amoy( t ) v v( t t ) - v( t ) t t ∆ ∆ ∆ ∆ + = =
d) l’accélération instantanée de l’objet au temps t est définie par : t 0 t 0 v v( t t ) - v( t ) a( t ) lim lim t t ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ → → + = =
Remarques : 1) la dérivée première de v(t) est la fonction a(t). Autrement dit : a( t )=v'( t )
2) la dérivée seconde de x(t) est la fonction a(t). Autrement dit : a( t )=x''( t )
∆t x x(t+∆t) x(t) t t+∆t ∆x temps distance parcourue
________________________________________________________________________________ Énoncé A
Lorsque l'on lache verticalement un objet de masse m [kg] au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale de v0 [m/s] et une position initiale de x0 [m], la distance parcoure x de l'objet en fonction du
temps t est donnée par la loi de Newton : x( t )=1gt +v t + p2 0 0
(
g 10 m/s2)
2 ≅
Remarque :Pour ce problème, les frottements sont considérés comme négligeables.
Une pomme de 200 [g] est lachée d'une montgolfière située à 1000 [m] d'altitude avec comme conditions initiales v0 = 10 [m/s] et x0 = 0 [m].