Modivado pelos resultados mostrados no item anterior passou-se a utilizar uma formulação do MEC Dual que trata o comportamento não linear do problema de propagação da fissura, a qual considera o modelo de fissura fctícia no sistema matricial de equações e um processo incremental de carregamento é empregado na solução. A formulação engloba a modificação da estratégia inicialmente desenvolvida para permitir a troca da lei que rege o
comportamento linear no início do processo para a lei que governa o problema da propagação da fissura.
No que se refere à estratégia, para incorporar a lei coesiva no sistema matricial de equações, são usados os mesmos procedimentos descritos para os exemplos anteriores. Os termos das matrizes H e G são reorganizados e o sistema da equação (6.32) passa a ser reescrito da seguinte forma:
[
] [
]
[ ]
[
] [
]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[
] [ ]
[
] [ ]
[ ] [ ]
= − − 0 0 0 0 0 0 2 * 2 * 2 c FC CC j F C F FF FC C CF CC p G G p u u K UN G H H G H H (6.34)Conforme evidenciado, Os índices C e F nos termos das matrizes da equação (6.34) representam o contorno e as faces da fissura, respectivamente. Resultado da manipulação das equações (6.22) e (6.23), as forças de superfície em apenas uma face da fissura e os deslocamentos ao longo das duas faces da fissura são as incógnitas. Enfatiza-se que as forças de superfície decorrem da multiplicação das tensões normais na região coesiva pela espessura do espécime. O índice 2 nas matrizes GC2 e GF2 significa que as integrações são feitas ao longa de linha de contorno Γ2, indicada na Figura 6.2.
Após a organização do sistema linear da equação (6.34), introduzem-se os valores conhecidos no contorno do problema (Γc), condições fixadas, para que a solução final possa ser obtida. O sistema é escrito de forma que as incógnitas fiquem do lado esquerdo e os valores prescritos fiquem do lado direito.
[ ][ ] [ ]
A x = B (6.35)Na análise do processo de propagação da fissura coesiva para o modelo com entalhe ilustrado na Figura 6.12, é necessário desenvolver um processo com passos incrementais de carregamento. Nesta análise, a lei coesiva não é utilizada em regime elástico linear, apenas impõe-se na matriz a condição de que os deslocamentos ao longo da porção não aberta são iguais. À medida que o carregamento cresce, as forças de superfície aumentam, até que a tensão resistente do material seja atingida. Quando a tensão resistente é atingida, impõe- se na matriz que as forças tangenciais sejam nulas e os deslocamentos, normais e tangenciais, existentes neste ponto sejam distintos, ou seja, a fissura começa a se desenvolver.
Figura 6. 12 Representação do mecanismo da Zona de Processo Coesivo (ZPC). (Adapatado de PETERSSON, 1981).
No sentido de obter as forças de superfície no regime elástico na região com fissura não aberta, a matriz UN na equação (6.34), deve conter valores unitários para impor deslocamentos iguais nas faces da fissura. Neste caso a matriz K deve assumir valores nulos:
0 . = + − a n b n a n u K p u (6.36)
No passo de carga onde a tensão coesiva na direção normal em um ponto nodal atinge a tensão de tração resistente, a fissura propaga-se na direção perpendicular a máxima tensão circunferencial e passa a vigorar a lei coesiva neste nó, definida na equação (6.9).
A partir deste passo, modifica-se a matriz K com a introdução da lei coesiva, ou seja, na linha correspondente à diferença dos deslocamentos normais
(
∆un)
desse nó, introduz-se na coluna relativa à correspondente força de superfície na direção normalp a na grandeza 1k, sendo t u f k cr t . ∆ −= , o qual foi simplesmente denominado de rigidez. No vetor
independente, nesta mesma linha usada na matriz K, introduz-se o valor correspondente a
cr
u
∆ , conforme a equação (6.9). Na forma matricial, resulta:
[
] [
]
[ ]
[
] [
]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
= − − S P G P G p u u K UN G H H G H H C FC C CC j F C FF FF FC CF CF CC 2 * * 0 (6.37)A matriz S na equação (6.37) contém o termo ∆ucr, referente à linha do nó onde a lei coesiva é utilizada.
A cada incremento de carga é verificado o valor da abertura na direção normal
n
u
∆ dos nós na ZPC. Quando o valor da abertura ultrapassar o valor crítico∆ucr , a linha e a coluna na matriz K, a qual se relaciona com a força de superfície na direção normalp na na equação (6.37), são zeradas. Valor unitário é colocado na diagonal da matriz e zero no elemento, correspondente a esta linha, no vetor independente para que, a partir deste passo de carga, a força de superfície seja nula.
O modelo estudado neste exemplo consiste em uma viga de concreto solicitada à flexão em três pontos, conforme apresentado na Figura 6.13. A viga possui 200 cm de comprimento e 20 cm de altura, com um entalhe na região central (na linha de simetria) de profundidade de 10 cm. A espessura da seção transversal da viga é 5,0 cm. Este modelo foi apresentado inicialmente no trabalho de Petersson (1981) sendo consideradas as seguintes propriedades do material: resistência à tração do concreto ft =3,33 MPa ; módulo de elasticidade longitudinal E =30000MPa; coeficiente de Poisson ν =0,2; energia de fratura
mm N
Gf =0,124 / e a abertura normal crítica ∆ucr =7,14x10−2 mm.
Figura 6. 13 Viga de concreto solicitada à flexão em três pontos.
A análise é concentrada na investigação da propagação da fissura no modo I. Os resultados obtidos com a formulação do MEC Dual são primeiramente confrontados com os resultados das análises experimental e numérica apresentados por Petersson (1981). Em seguida, são confrontados com os resultados numéricos apresentados no trabalho de Saleh e Aliabadi (1995), o qual empregou o MEC na solução numérica do problema.
O modelo foi discretizado com elementos isoparamétricos lineares contínuos, exceto na região de canto do contorno do espécime e nas pontas das fissuras real e fictícia
(identificadas na Figura 6.4), onde foram usados elementos descontínuos. Conforme ilustrado na Figura 6.14, na região do entalhe foram utilizados doze elementos lineares, sendo quatro com comprimento de 1,25cm e oito com comprimento de 0,625cm. Ao final do processo de propagação da fissura foram computados doze elementos lineares de 0,625cm resultando num comprimento total da zona de processo coesivo de 7,5 cm acima do entalhe, correspondendo ao ponto de instabilidade da estrutura, a qual fica muito próxima do colapso. De acordo com a discretização final da ZPC, em cada face foram utilizados doze pontos nodais. Os pontos nodais opostos nas faces da fissura fictícia foram conectados por molas, as quais representam as forças coesivas da lei constitutiva linear que descreve o fenômeno de perda de rigidez do material na região coesiva resultante do processo de incremento do carregamento.
Figura 6. 14 Discretização do contorno da viga de concreto. Parte simétrica
A Figura 6.15 apresenta a resposta da estrutura em termos de força aplicada (P) versus deslocamento vertical (δ), no ponto de aplicação da força, envolvendo as análises experimental e numéricas.
Conforme Petersson (1981) mostra em seu trabalho, os valores de energia de fratura foram obtidos a partir de vários ensaios de corpos de prova, sendo o mínimo e o máximo, respectivamente, Gf =0,115 N/mm e Gf =0,137 N /mm. Para os resultados da análise experimental apresentados na Figura 6.15, foi utilizado o valor máximo de energia de fratura. No que se refere aos resultados das análises numéricas, ambas empregaram o valor médio de energia de fratura.
Na Figura 6.15 pode-se constatar que a formulação do MEC que emprega a lei constitutiva linear utilizada para governar as tensões normais nas faces da fissura leva a resultados coerentes com o previsto pelo modelo experimental.
Figura 6. 15 Curvas carga x deslocamento obtidas pelo MEC Dual e por Petersson (1981).
Os resultados das análises numéricas apresentam boa concordância entre si, no entanto, o trecho pós-pico da curva utilizando a formulação do MEC Dual incoporado com o ODT, na Figura 6.15, apresenta uma evolução mais próxima do modelo experimetal quando comparado com a curva da análise numérica apresentada por Petersson (1981), o qual empregou o MEF. Além disso, a carga de pico obtida pelo MEC Dual via ODT encontra-se mais próxima ao experimental do que a obtida pelo MEF.
Na figura 6.16 é mostado o diagrama de carga (P) versus deslocamento (δ) vertical, no ponto de aplicação da carga, o qual confronta os resultados das análises numéricas do MEC Dual, que emprega o ODT, com os apresentados em Saleh e Aliabadi (1995).
Figura 6. 16 Curvas carga x deslocamento obtidas por MEC Dual e por Saleh e Aliabadi (1995).
Percebe-se na Figura 6.16 que há uma satisfatória concordância entres os valores de ambas as formulações.
De maneira geral, é possível verificar que a formulação usando o ODT e com a lei coesiva incorparada no sistema linear de equações, permite representar o comportamento não linear devido à propagação da fissura. Por outro lado, apesar do modelo numérico apresentar uma resposta mais rígida em relação a certos resultados das referências, acredita-se que este fato não invalida a estratégia proposta, uma vez que há razoável aproximação para a carga de pico.
É consenso que, em muitos casos, há uma grande complexidade em representar numericamente o fenômeno físico de amolecimento do modelo coesivo. Neste sentido, na formulação do MEC Dual proposta neste trabalho procurou-se inicialmente adotar um grande número de incrementos de carga, tendo em conta que não foi empregado um processo iterativo de relaxação. Em cada passo de carga foram introduzidos incrementos da ordem de 1x10-4 e 1x10-5 no modelo numérico.
Fato interessante observado, quando foi utilizado no processo um número de passos de carga menor que o empregado inicialmente, ou seja, quando se utilizou valores maiores para o incremento de carga em cada passo até a convergência do processo.
A tabela 6.1 apresenta o confronto entre os resultados obtidos usando diferentes passos de carga para o modelo estrutural descrito na Figura 6.13. Pode-se notar que os
resultados entre ambos os processos convergem, evidenciando a estabilidade da formulação proposta. Deve-se ressaltar que o processo estendido, na tabela 6.1, refere-se ao número de passos adotado incialmente.
Tabela 6.1 Estudo carga x deslocamentos com diferentes números de passo de carga.
A Figura 6.17 apresenta a distribuição das forças coesivasa nos pontos nodais na região da fissura fictícia, as quais descrevem as forças nas molas na ZPC. Os resultados destas forças foram obtidos no passo de carga quando a lei coesiva linear passou a ser utilizada no último ponto nodal da ZPC. Neste caso, a primeira mola rompeu-se, pois o valor da abertura na direção normal ∆un ultrapassou o valor crítico de abertura ∆ucr , indicando a propagação da fissura real. Pode-se perceber na Figura 6.17 uma distribuição levemente não linear das forças coesiva e de forma crescente a partir da ponta da fissura real, cujo comportamento é esperado na análise de materiais quase frágeis. Apesar de ser empregada na formulação uma lei constitutiva linear, a distribuição levemente não linear das forças coesivas deve-se ao fato que a cada incremento da carga, a seção não permanece mais plana e cada mola apresenta comportamento individual e distinto.
Figura 6. 17 Distribuição das forças coesivas ao longo da ZPC.
Nos próximos estudos da formulação proposta foram empregadas diferentes discretizações da malha do contorno na região da ZPC. O objetivo é verificar a consistência da formulação no sentido de analisar a influência nos resultados numéricos quando se emprega diferentes tipos de elementos de contorno na região coesiva.
No contexto desta análise, é importante inicialmente observar que o autor, desde o primeiro estudo utilizando o modelo de fissura fictícia na formulação do MEC Dual, apresentado em Gonçalves et. al. (2011), empregou elementos mistos na interface da fissura aberta e fechada, conforme indicado na Figura 6.18.
Figura 6. 18 Discretização da interface aberta e fechada da fissura com elementos mistos.
Neste caso, o nó final do elemento imediatamente anterior à ponta da fissura aberta e o nó inicial do elemento imediatamente posterior foram considerados duplos. No entanto, como se adiantou, acredita-se ser significativa a importância em verificar o comportamento do modelo numérico de fissura coesiva quando se emprega uma discretização distinta na região coesiva. Pretende-se verificar se esta alteração da malha afeta a precisão dos resultados do modelo numérico. Passou-se então, a empregar elementos contínuos concorrentes ao ponto nodal na interface da parte aberta e da parte coesiva da fissura, conforme ilustrado na Figura 6.19. Para manter o mesmo número de graus de liberdade, estes elementos de contorno tiveram seus comprimentos modificados.
Nesta análise foi utilizado o modelo numérico da viga, descrito nesta subseção (Figura 6.13).
Figura 6. 19 Discretização da interface aberta e fechada da fissura.
Cumpre notar na Figura 6.20, que a carga de pico na curva obtida com a formulação que emprega elementos contínuos na interface apresenta uma resposta mais rígida quando comparado com a formulação que emprega elementos mistos. Nesta análise foi utilizado o processo reduzido de passos de carga.
Figura 6. 20 Curvas carga x deslocamento. Elementos contínuos e descontínuos na interface aberta e fechada da fissura.
A Figura 6.21 apresenta os resultados obtidos com o MEC Dual, que emprega elementos contínuos na interface, e os resultados da análise numérica apresentados por Petersson (1981). É possível notar que os resultados do MEC Dual concordam com os resultados apresentados pelo MEF. Contudo, percebe-se que o trecho pós-pico de carga se desenvolve plenamente até o ponto de instabilidade da estrutura. Este comportamento não se percebe nos resultados numéricos do MEF, ou seja, a curva não se desenvolveu por completa no seu trecho final. Na análise utilizando o MEC Dual foi empregado o processo reduzido de passos de incremento de carga.
Figura 6. 21 Curvas carga x deslocamento. MEC Dual com elementos contínuos e Petersson (1981).
A Figura 6.22 mostra a comparação entre os resultados da estratégia de discretização proposta nesta análise e das análises numéricas apresentadas por Petersson (1981) e por Saleh e Aliabadi (1995). Percebe-se que o MEC Dual utilizando elementos contínuos na discretização da interface permite uma maior concordância com a formulação do MEF, quando se compara com os resultados apresentados em Saleh e Aliabadi (1995). A continuidade na discretização da fissura entre a parte aberta e a parte fechada permite obter uma resposta mais rígida e, portanto, acredita-se ser mais compatível com algumas formulações utilizada no MEF. Porém, considera-se uma análise pobre, uma vez que é necessário confrontar os resultados da estratégia de discretização proposta com outros tipos de formulações do MEF. Na análise utilizando a formulação proposta empregou o processo reduzido de passos no incremento de carga.
Figura 6. 22 Curvas carga x deslocamentos: MEC Dual com elemento contínuo na interface, Saleh e Aliabadi (1995) e Petersson (1981).
O estudo abordado na sequência, no contexto da discretização do MEC Dual, considerou elementos descontínuos ao longo das faces opostas da ZPC. Os resultados obtidos com esta estratégia são confrontados com os resultados obtidos na formulação inicial, a qual emprega elementos do tipo mistos e contínuos. Como se pode observar na Figura 6.23, os resultados obtidos com ambas as modelagem convergem, demonstrando que a formulação permite usar diferentes tipos de elementos de contorno apresentando nível de precisão dos resultados bastante satisfatório. Acredita-se que este fato confere à formulação proposta neste trabalho consistência e solidez.
Nesta análise também se utilizou o processo reduzido de passos no incremento de carga.
Figura 6. 23 Curvas carga x deslocamento. MEC Dual com elementos contínuos e descontínuos na ZPC.
A tabela 6.2 apresenta a comparação entre os resultados da Figura 6.23, quando se empregou as diferentes discretizações na malha da ZPC do modelo. O propósito é evidenciar as pequenas diferenças percentuais entre as duas formulações, conferindo sua convergência.
7 CONCLUSÕES
Como se mostrou nos exemplos abordados neste trabalho, o método dos elementos de contorno, incorporado com o operador diferencial tangente, apresenta-se como uma boa alternativa no estudo de problemas de propagação de fissuras, especialmente em materiais quase frágeis.
O assunto principal tratado na tese vem sendo frequentemente discutido na literatura em âmbito mundial, procurando-se consolidar modelos matemáticos que permitem descrever o problema físico da propagação de fissuras. Com este propósito, foi desenvolvido um código computacional para análise do problema de fissura em domínios planos bidimensionais que considera os conceitos da técnica da descontinuidade de deslocamentos, proposta por Bonnet (1999), nos quais os termos das matrizes do sistema de equação foram reorganizados de forma a permitir a solução do problema incluindo o modelo de fissura fictícia diretamente na formulação do MEC Dual. Ademais, com o emprego do ODT na formulação é possível reduzir a ordem da hipersingularidade presente núcleo da integral da equação de forças de superfície, levando à solução do problema de forma mais estável. Com estas estratégias desenvolvidas, acredita-se ter contribuído de forma satisfatória para o progresso do MEC no estudo da propagação de fissura em materiais quase frágeis, proporcionando sua aplicação à análise geral dos problemas de fissuras, tais como fissuras devido ao modo misto de abertura e propagação de fissuras sob fadiga.
Nos exemplos numéricos estudados, os resultados se demonstraram consistentes e de acordo com o esperado pela análise estrutural. No exemplo de chapa com fissura de canto, o qual representa o início do estudo do emprego da estratégia que incorpora o modelo de fissura fictícia direto na formulação do MEC Dual, os resultados se demonstraram coerentes, apresentando diferenças inferiores a 0,5% quando comparados com os da referência bibliografica. Por outro lado, fez-se necessário utilizar um processo iterativo de relaxação na formulação com objetivo de obter o comportamento da perda de rigidez do material. Cumpre ainda observar neste exemplo, que a estratégia desenvolvida permitia obter direto da solução do sistema de equações apenas os valores de abertura normal na ZPC.
Passou a evolução da estratégia, considerando efetivamente a lei coesiva linear no sistema matricial de equações, com propósito de obter tanto abertura normal como forças coesivas na ZPC. A análise numérica primária consistiu na validação da estratégia proposta. O
modelo estrutural foi submetido a esforços de flexão e sua resistência à tração foi considerada suficiente para manter o material íntegro, sem um estado incial de fissuração. A análise do comportamento essencialmente elástico linear, empregando o modelo de fissura coesiva na solução, apresentou resultados satisfatórios para o campo de tensões na região com potencial a desenvolver a ZPC. Importante destacar que esta análise foi abordada em algumas publicações utilizando o MEF, nas quais foram obervadas perturbações na distribuição de tensões na região de estudo. No entanto, o MEC Dual permitiu obter uma resposta do modelo próxima à resposta da clássica análise elástico linear.
Os resultados desta análise motivaram o desenvolvimento de uma estratégia que considera o fenômeno de perda de rigidez do material e consequente abertura de fissuras, por meio de um modelo que permite obter o comportamento não linear característico da propagação da fissura em materiais quase frágeis. Para tanto, um processo incremental de cargas foi utilizado e a lei coesiva foi introduzida diretamente no sistema de solução do problema a partir do passo inicial de carga. Esta estratégia permitiu uma maior flexibilidade na solução do problema. As fases inicial e final do processo são tratadas automaticamente na formulação, sendo possível incluir a propagação da fissura no modelo. O exemplo numérico consistiu de uma viga de concreto à flexão sob três pontos e os resultados obtidos pelo MEC Dual, incorporado com a técnica do ODT, se apresentaram muito próximos dos resultados experimental e numérico apresentados nas publicações de referências. Importante observar que a estratégia de considerar a lei coesiva diretamente no sistema de equações permitiu obter uma resposta não linear do modelo sem a necessidade de introduzir um processo de iteração de relaxação na formulação.
Desta forma, as conclusões das análises abordadas nos exemplos numéricos estudados pelo MEC Dual podem ser sintetizadas da seguinte maneira:
A formulação proposta usando o MEC Dual com a técnica do ODT na análise numérica da fissura coesiva em materiais quase frágeis apresenta-se de forma consiste e mais estável quando comparado com alguns modelos do MEF, conforme apresentados na literatura.
Os resultados obtidos com a formulação proposta neste trabalho demonstram-se bastante coerentes com o previsto no modelo experimental, apresentando boa aproximação entre os valores de cargas de pico. Foi possível observar que o modelo de fissura fictícia permitiu representar de foma satisfatória a perda de rigidez do material, a qual traduz o comportamento de amolecimento das forças
coesivas da lei constitutiva, apropriado aos materiais quase frágeis, durante o