Régulation P, PI, PID

1. Détermination des paramètres caractéristiques du régime critique

Afin de régler les régulateurs P, PI et PID en utilisant la méthode de Ziegler-Nichols, il est nécessaire de déterminer le point critique du processus. Expérimentalement on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel dont on augmente le gain jusqu’à amener le système à osciller de manière permanente : c’est le phénomène de pompage qui se situe à la limite de la stabilité du système.

Après avoir régler le gain critique Kcr du régulateur et la période d’oscillation Tcr de la réponse, il est possible de calculer les paramètres du régulateur choisi à l’aide du tableau ci-dessous. Ici également, les valeurs proposées conduisent à un temps de montée relativement court malheureusement assorti d’un dépassement élevé. Cette situation n’étant pas toujours satisfaisante, on peut être amené à corriger les coefficients proposés et, en particulier, à diminuer le gain Kp.

On notera que les paramètres Ti et Td proposés par les deux méthodes de Ziegler-Nichols sont dans un rapport constant égal à 4. Le régulateur possède donc deux zéros confondus valant − ¹

2.𝑇_𝑑= −²

𝑇_𝑖.

1.1. Expérimentation

Dans cette partie, le câblage utilisé dans la première partie doit être conservé.

Schéma synoptique pour cette série d’essais

Type Kp Ti Td

P 0,5.Kcr

PI 0,4.Kcr 0,8.Tcr

PID 0,6.Kcr 0,5.Tcr 0,125.Tcr

Configuration du logiciel de contrôle commande

 Choisir le mode de commande « En boucle fermée » : pour cela cliquer sur les menus successifs :

 Ne valider que l'action proportionnelle du régulateur : pour cela fermer l'interrupteur en sortie d'action P et ouvrir les interrupteurs en sortie des actions I et D. On change l'état des interrupteurs en "cliquant gauche".

 Affecter la valeur du coefficient d'action proportionnel (régler K1=1 et faire varier K2). Faire varier la valeur de K2 afin de voir son effet sur 4 ou 5 valeurs différentes.

 Choisir valeur de repos égale à 45%. Pour cela cliquer dans la fenêtre « Valeur de repos » et introduire la valeur.

 Choisir une Consigne en échelon constant constante, égale à Valeur C = 55%

 Pour cela "cliquer" dans la fenêtre « Consigne » et introduire la valeur.

 Sélectionner les points d'enregistrement

 Pour cela, "cliquer" dans les points C et M en "cliquant gauche" dessus.

 Appliquer la commande : pour cela fermer l'interrupteur qui relie la fenêtre de commande à l'entrée de commande en "cliquant gauche" dessus.

 Visualiser l'évolution temporelle des deux grandeurs sélectionnées en "cliquant" sur le bouton .

 Placer des repères "commentaire" : idem placements coordonnés mais après avoir sélectionner "commentaire"

après un "clic droit".

 Inscrivez en zone "commentaire" vos noms et groupe de TP.

Relevés expérimentaux

En faisant varier la valeur de Kp jusqu’à amener le système à osciller de manière permanente nous nous situons à la limite de stabilité.

 Déterminer Kp et Tcr.

2. Étude en boucle fermée avec correction proportionnelle (P) 2.1. Objectifs

Il s'agit de comparer les comportements statique et dynamique du système, corrigé par une action de correction simplement proportionnelle, suivant les critères de réglages usuels. Les essais expérimentaux effectués vérifieront uniquement le critère d’un comportement imposé.

2.2. Prédéterminations

À partir des résultats obtenus lors de la première partie du TP (Identification et mise sous schéma bloc), on adopte la fonction de transfert en boucle ouverte :

𝑂_(𝑝)= Δ𝑀_𝐷

Δ𝜀_(𝑝)= 𝐺_𝑜

(1 + 𝜏₁. 𝑝)(1 + 𝜏₂. 𝑝)(1 + 𝜏₃. 𝑝)

Avec :

 Go = Kp.Gvo

 Kp = coefficient d’action proportionnelle

 Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée. Montrer que l'on peut mettre cette fonction de transfert sous la forme :

 ζF : le coefficient d'amortissement en boucle fermée

 ωF : la pulsation propre en boucle fermée

 τF : la constante de temps en boucle fermée

 Déterminer le coefficient d'action proportionnelle qui permettra d'obtenir un coefficient d'amortissement égal à 0,5 (ζF =0,5) qui conduit à un dépassement relatif de 15% en régimes d'échelons constants.

 Pour obtenir le résultat, exprimer préalablement le système de trois équations à trois inconnues (Ko, τF et ωF) puis résoudre ce système.

 En déduire la valeur à affecter à K2 si on fait K1=1.

 Vérifier expérimentalement que cette valeur permet de satisfaire la contrainte D1r = 15%.

b) Réglage 2

Le but de ce réglage est de déterminer K1 par la méthode de Ziegler-Nichols.

 Déterminer le paramètre K1 à partir des résultats obtenus au II.1 et à l’aide de tableau ci-dessous.

Ici également les valeurs proposées conduisent à un temps de montée relativement court malheureusement assorti d’un dépassement élevé. Cette situation n’étant pas toujours satisfaisante, on peut être amené à corriger les coefficients proposés et, en particulier, à diminuer le gain Kp

c) Expérimentation

Le câblage ainsi que la configuration du logiciel sont identiques.

Relevés expérimentaux et exploitations avec les valeurs de K1, K2 déterminées par les deux méthodes précédentes

 Visualiser l'évolution temporelle des deux grandeurs sélectionnées en "cliquant" sur le bouton .

 Placer des repères "commentaire" : idem placements coordonnés mais après avoir sélectionner "commentaire"

après un "clic droit".

 Inscrivez en zone « commentaire » vos noms et groupe de TP ainsi que les caractéristiques du correcteur mis en place puis imprimer.

Pour les essais réalisés, en utilisant les possibilités offertes par le logiciel « D_Reg » :

 Déterminer le temps de réponse à 5% (instant où m(t) entre dans le domaine m(∞) ±(5%*∆m) sans en ressortir).

On pourra utiliser les possibilités du logiciel D_Reg en cliquant sur le bouton

 Relever l'amplitude absolue, puis relative, du dépassement éventuel ainsi que l'instant où il se produit (instant noté tpic).

Type Kp (K1 pour nous) Ti Td

P 0,5.Kcr

PI 0,4.Kcr 0,8.Tcr

PID 0,6.Kcr 0,5.Tcr 0,125.Tcr

On pourra utiliser les possibilités du logiciel D_Reg en cliquant sur le bouton

 Déterminer l'erreur statique absolue puis relative :

 L’erreur statique absolue notée o εs = C - m(∞)

 L’erreur statique relative notée o εr en % = 100 (εs/C)

 Déterminer les coefficients de transfert en statique et en variation :

 Le coefficient de transfert statique en boucle fermée noté GSF = m(∞)/C

 Le coefficient de transfert en variation et en BF noté GVF = ∆m/∆C.

 Reporter toutes ces grandeurs caractéristiques dans un tableau ce qui facilitera leur comparaison à la fin du TP.

 Conclure sur l’efficacité du régulateur P en termes de

rapidité, précision statique, précision dynamique (dépassement) et stabilité.

3. Étude en boucle fermée avec correction proportionnelle – intégrale (PI) 3.1. Objectifs

Il s'agit de comparer les comportements statique et dynamique du système, corrigé par un correcteur à action proportionnelle + intégrale, suivant les valeurs de réglages usuelles, utilisées en régulation des processus industriels.

Dans ce cas la fonction de transfert du correcteur a pour expression : 𝐾₂(𝐾₁+ 1

𝑇𝑖. 𝑝) Ce qui correspond au schéma bloc ci-dessous :

Dans le logiciel D_Reg il faudra donc choisir K1=K et K2=1

3.2. Prédéterminations

K2 = 0,45.Kosc et Ti = 0,83.Tosc

3.3. Expérimentations

Idem à la partie précédente.

Schéma synoptique pour cette série d’essais

K

Relevés expérimentaux et exploitations Idem à la partie précédente.

 Reporter toutes ces grandeurs caractéristiques dans un tableau ce qui facilitera leur comparaison à la fin du TP.

 Conclure sur l’efficacité du régulateur PI en termes de rapidité, précision statique, précision dynamique (dépassement) et stabilité.

4. Étude en boucle fermée avec correction proportionnelle – intégrale - dérivée (PID) 4.1. Objectifs

Il s'agit de comparer les comportements statique et dynamique du système, corrigé par un correcteur à action proportionnelle + intégrale +dérivée, suivant les valeurs de réglages usuelles, utilisées en régulation des processus industriels.

Dans ce cas la fonction de transfert du correcteur a pour expression :

𝐾₂(𝐾₁+ 1

𝑇_𝑖. 𝑝+ 𝑇𝑑. 𝑝 1 +𝑇_𝑑. 𝑝

𝛼

) ; avec α ≅ 8

Ce qui correspond au schéma bloc ci-contre :

K

1

𝑇

. 𝑝 K

C(p)

m_(p)

++ +

-Sr_(p)

𝑇_𝑑. 𝑝 1 +𝑇_𝑑. 𝑝

+

4.2. Prédéterminations

 Déterminer K1, Ti et Td d’après la méthode de Ziegler-Nichols

4.3. Expérimentations

Idem à la partie précédente.

Schéma synoptique pour cette série d’essais

 Reporter toutes ces grandeurs caractéristiques dans un tableau ce qui facilitera leur comparaison à la fin du TP.

 Conclure sur l’efficacité du régulateur PID en termes de rapidité, précision statique, précision dynamique (dépassement) et stabilité.

5. Comparaison P – PI – PID

 Reprendre dans les trois chapitre précédents les réglages et les enregistrements que l’on peut qualifier d’optimum et qui auront été enregistrés. Les reporter dans un plan de « comparaison de courbes ».

 Faire une comparaison des grandeurs caractéristiques qui auront été enregistrés.

 Conclure sur les différents modes de fonctionnement du régulateur.