Régulation de la phase

Nous avons vu dans la première partie de ce chapitre, que la phase quaternionique, qui est codée en trois angles, est très importante dans la localisation des caractéristiques dans l'image ainsi que pour la définition des textures. Dans [51], Chan et ses co-auteurs mettent en relief l'utilité de la phase de la QWT dans le traitement et l'analyse d'images. Les auteurs ont démontré qu'il est possible de coder la translation de la phase en coordonnées x-y du système. Ce théorème trouve son application dans la détection des contours et la modélisation statique de l'image.

Grâce à l'analyse cohérente obtenue à la fois par l'amplitude et la phase de la transformée en ondelette quaternionique, R. Soulard et P. Carré ont développé une méthode de codage de l'image [62] et un algorithme de classification des textures [63]. Dans leurs approches, ils ont pris une mesure globale de l'énergie obtenue à partir de l'amplitude qu'ils combinent avec la

Chapitre III. Seuillage de l'amplitude dans un voisinage et régulation de la phase

63

déviation pondérée du troisième angle de la phase. Ils ont constaté que cette phase contient des informations structurelles qui augmentent les performances de la classification.

La phase quaternionique a été également utilisée dans la mise en correspondance des images stéréoscopiques. Dans [64], les auteurs estiment la disparité entre deux images en établissant des correspondances de structures de phase quaternionique entre les transformations quaternionique des deux images. La disparité est calculée ensuite comme une minimisation de l'énergie locale d'une fonction de cout .

Dans la littérature, très peu de travaux impliquent la phase dans le débruitage. En effet, la grande majorité des chercheurs s'intéressent uniquement à l'amplitude des transformées en ondelette quand l'objectif est l'amélioration de la qualité des images. Estimer les variations spatiales de la phase est un vrai challenge et sa correction n'as pas un grand apport quand ces variations sont très fortes. Certaines études, considèrent les deux composantes de l'ondelette analytique, c'est à dire, les parties réelles et imaginaires de cette transformée sont régulées équitablement et séparément, mais la phase n'est pas utilisée comme entité entière. Fessler [65] a été un des rares a intégrer la phase comme partie entière dans la reconstruction des images IRM (imagerie par résonance magnétique). Il s'est œuvré a réguler fortement la phase tout en préservant la résolution spatiale de l'amplitude.

Dans l'exemple suivant, nous allons démontrer l'importance de la phase dans la reconstruction d'une image en niveau de gris (figure III.10). En prenant, l'amplitude d'une des deux images et la phase de la seconde image (ces deux données sont issues d'une transformée en ondelette analytique), pour reconstruire une nouvelle image par transformée inverse, nous pouvons constater que dans les deux cas de figure, la phase apporte plus d'informations que l'amplitude. Les caractéristiques de phase sont plus apparentes dans l'image reconstruite.

A partir de tous ces travaux et remarques, nous avons déduit que ajouter une régulation de la phase et particulièrement le troisième angle au seuillage des coefficients d'amplitude quaternionique (NeighShrink), a le potentiel d'apporter d'intéressants changements dans notre méthode de débruitage. Trois motivations alimentent notre approche: la réduction du bruit, la reconstruction dans l'espace des ondelettes quaternioniques et la préservation du signe lors du processus d'inversion pour retrouver l'image débruitée.

Chapitre III. Seuillage de l'amplitude dans un voisinage et régulation de la phase

64

Dans notre approche de correction de la phase, nous considérons la décomposition de l'image par la transformée en ondelette quaternionique sous sa forme polaire. Le coefficient d'ondelette quaternionique est donné par l'équation suivante:

𝑤_𝑘,𝑑 𝑛, 𝑚 = 𝑤_𝑘,𝑑^𝑏 𝑛, 𝑚 𝑒𝑖𝜑𝑒𝑗𝜃𝑒𝑘𝛽 (III. 29) Les deux premiers angles de la phase permettent de suivre les translations dans l'image dans les deux directions conventionnelles. Le troisième angle nous informe sur la structure. Notre objectif est de réduire les variations de l'angle 𝛽 afin de permettre une meilleure reconstruction de l'image après seuillage de l'amplitude 𝑤_𝑘,𝑑^𝑏 𝑛, 𝑚 . D'une manière plus précise, nous appliquons un lissage spatial de l'image correspondante à 𝛽(𝑛, 𝑚) pour ne pas avoir à absorber des sauts en 𝜋 de cet angle.

Comme nous l'avons mentionné précédemment, une minimisation de la fonction de coût entre l'image référence et l'image reconstruite (débruitée), revient à minimiser une fonction de coût entre les coefficients d'ondelette (passage de l'espace image à l'espace ondelette). En tenant compte de cette remarque, l'objectif est de minimiser la fonction suivante:

𝜉 𝑤 , 𝛽 = 𝑤 − 𝑇. 𝑤 2+ 𝐿. 𝛽 (III. 30)

(a) (b)

Amplitude de (b) et phase de (a) Amplitude de (a) et phase de (b)

Chapitre III. Seuillage de l'amplitude dans un voisinage et régulation de la phase

65

Où T est la fonction de seuillage donnée dans l'équation (III.24) et L est la fonction de lissage de la phase. On voudrai estimer, jointement, l'amplitude et la phase en minimisant la fonction précédente, tel que:

𝑤 , 𝛽 = 𝑎𝑟𝑔min

𝑤 ,𝛽𝜉 𝑤 , 𝛽 (III.31) avec : 𝑤 = 𝑇. 𝑤 et 𝛽 = 𝐿. 𝛽

L'approche de lissage que nous proposons dans notre travail est la suivante: comme les variations de la structure et de la direction des caractéristiques sont très faibles dans le voisinage immédiat du coefficient central, l'idée est de concentrer les phases (les troisièmes angles) des coefficients voisins autour d'une valeur globale afin de donner une direction unique à tous ces coefficient dans un voisinage. Finalement, la fonction L est simplement un filtre médian. L'équation de débruitage conjoint de l'amplitude et de la phase, que nous proposons, est donc:

𝑤_𝑘,𝑑 𝑛, 𝑚 = 𝑤_𝑘,𝑑^𝑏 𝑛, 𝑚 𝑒𝑖𝜑𝑒^𝑗𝜃𝑒^{𝑘 𝑳 𝛽} (III. 32) Il est à noter que la taille de la matrice de lissage finie L varie en fonction de l'échelle d'une manière identique à celle de la fenêtre de seuillage de l'amplitude (figure III.9).

L'équation III.32 nous indique que le lissage de la phase est conditionné par le seuillage du module. Par cette démarche, nous voulons effectuer une régulation de la phase, uniquement pour des coefficients dont le module a déjà été traité. En effet, une première localisation par le module des pixels bruités sera ensuite suivie par une seconde procédure de débruitage par la phase, chose qui nous permettra de réduire le nombre de données à traiter.