Régularisation par variation totale

La variation totale (total variation, notée TV) d’une fonction est une mesure très utilisée dans le contexte de la régularisation. Pour une fonction f : Ω ⊂ Rp _{→ R}

différentiable presque partout, elle s’écrit : TV(f) =Z

Ωk∇f(x)k dx (3.23)

et s’étend plus généralement aux fonctions à variation bornée [15].

Nous fixons dorénavant p = 2, puisque nous traitons des images 2D. La variation totale a été introduite dans la communauté du traitement d’images par Rudin, Osher et Fatemi [226] : étant donnée une image en niveaux de gris bruitée I0 = I + η, où η est la réalisation d’un processus gaussien de moyenne nulle et de variance σ2 _{connue, le} modèle ROF (Rudin, Osher, Fatemi) assimile l’image débruitée à la solution du problème

suivant : _   min I TV(I) s.c. kI − I0k2L2_(Ω)6σ2

Chambolle et Lions ont montré dans [46] que ce problème était équivalent à la minimi- sation de la fonctionnelle :

3.1. UN PROBLÈME MAL POSÉ pour une certaine valeur du paramètre de régularisation γσ. Des algorithmes efficaces

de résolution du problème (3.24) ont été proposés ces dernières années, parmi lesquels les plus fréquemment rencontrés en traitement d’images sont les algorithmes de type

primal-dual [45], la descente de gradient améliorée [27] ou les approches par lagrangien augmenté [34, 104]. Ces dernières seront utilisées pour la résolution numérique du pro- blème UPS dans la partieIV. Dans le cadre d’une étude plus théorique sur le caractère bien posé du problème UPS, nous allons voir ci-après que la résolution peut être effectuée à l’aide de méthodes élémentaires.

Nous nous intéressons dans ce chapitre à la régularisation de la profondeur z et de l’albédo ρ, mais également à celle du champ vectoriel m : Ω ⊂ R2 _{→ R}3_{. Il nous faut} donc définir la variation totale vectorielle. Lorsque f est une fonction à valeurs dans Rnd, avec n

d> 1, plusieurs définitions peuvent être utilisées3, mais la définition la plus

répandue est probablement celle de la variation totale isotrope : TV(f) =ZZ

ΩkJf(u, v)kFdu dv (3.25) où kJf(u, v)kF est la norme de Frobenius de la matrice jacobienne Jf de f = [f1. . . fnd]⊤ au point (u, v). Cette définition, qui est invariante par rotation des composantes, couple leurs dérivées partielles, ce qui est intéressant par exemple pour le débruitage d’images. Une autre définition courante de la variation totale vectorielle est la suivante :

TV(f) = nd X i=1 ZZ Ωk∇fi(u, v)kdu dv = nd X i=1 TV(fi) (3.26)

qui est anisotrope, c’est-à-dire non invariante par rotation, puisque les régularisations des nd composantes sont découplées.

Contrairement au problème de l’intégration, où nous avons choisi une régularisation similaire à la définition isotrope (3.25) (cf. paragraphe 2.4.2), l’invariance par rotation n’est pas une propriété intéressante pour le problème UPS. En effet, l’ordre des trois composantes m1, m2 et m3 est important vis-à-vis de la contrainte d’intégrabilité (3.6), et chaque paramètre d’une transformation GBR affecte une seule composante de m. Nous préférons utiliser la définition anisotrope (3.26), qui est plus facile à manipuler. Dans la suite de ce chapitre, la variation totale du champ m = [m1, m2, m3]⊤ sera donc définie par :

TV(m) = TV(m1) + TV(m2) + TV(m3) (3.27) Nous verrons que la minimisation de la variation totale de la profondeur z ou du champ m ramène l’ambiguïté GBR à une ambiguïté BR, et que la minimisation de la variation totale de l’albédo ρ permet de lever cette ambiguïté résiduelle. Nous propo- serons dans la partie IV une résolution variationnelle « classique » du problème UPS, permettant de déterminer la profondeur tout en garantissant sa régularité. Dans le pré- sent chapitre, nous nous intéressons surtout à prouver le caractère bien posé du problème

UPS régularisé : nous n’utilisons donc pas la variation totale comme un outil de « lis- sage » des éventuels biais de l’estimation, mais comme un moyen de rendre le problème bien posé.

Il nous reste à déterminer, parmi les solutions (3.16) du problème (3.8), qui dé- pendent des trois paramètres (µ, ν, λ) de l’ambiguïté GBR, celle qui minimise le critère de régularité choisi. On peut donc s’attendre à ce que ce problème d’optimisation à trois variables réelles soit relativement facile à analyser et à résoudre numériquement.

3.2

Désambiguïsation par régularisation

3.2.1 Motivations

Au vu des résultats de la figure3.1, une transformation GBR semble augmenter les variations d’un certain nombre de champs caractéristiques de la surface à reconstruire, ce qui suggère d’introduire un critère de régularisation pour résoudre le problème UPS. Dans ce paragraphe, nous illustrons plus clairement l’influence d’une transformation GBR sur les variations de l’albédo ρ, de la profondeur z et de son gradient ∇z = [p, q]⊤_{= −[n1/n3, n2/n3]}⊤_.

Ce travail s’inspire de la méthode de Alldrin et al., qui montrent dans [9] que les paramètres GBR peuvent être estimés en minimisant l’entropie de la distribution d’al- bédo. Or, l’entropie de l’albédo n’étant pas convexe vis-à-vis des paramètres (µ, ν, λ), sa minimisation nécessite de prendre garde à la possible existence de minima locaux : Alldrin et al. utilisent une approche de type « glouton » (brute force), en échantillon- nant l’ensemble des valeurs possibles de µ, ν et λ, ce qui se traduit par un algorithme extrêmement lent. Même si des méthodes numériques assez efficaces ont été récemment introduites [241], la minimisation de l’entropie reste un problème difficile. De plus, l’en- tropie est indépendante de toute notion de cohérence spatiale, comme cela est illustré sur la figure 3.2.

Lorsqu’on cherche à favoriser des zones « homogènes », on peut postuler que des points spatialement proches ont des albédos similaires, ce que ne favorise nullement l’entropie. En revanche, la variation totale permet de minimiser les variations locales de l’albédo, qui doivent être faibles dans les zones homogènes. De plus, la minimisation de la variation totale étant nettement plus facile que celle de l’entropie, on n’a pas à utiliser un algorithme glouton et on peut donc s’attendre à de meilleures performances CPU.

Une transformation GBR modifiant non seulement l’albédo de la surface, mais égale- ment son relief, les variations de ρ ne sont pas les seules affectées : celles de la profondeur

z et de son gradient ∇z = [p, q]⊤_{le sont également. Nous montrons sur la figure 3.3l’in-} fluence d’une transformation GBR sur ces variations.

Il semble donc que, pour lever l’ambiguïté GBR, on puisse minimiser non seulement les variations de ρ, mais également celles de z et de ∇z. Or, puisque :

m = p ρ k∇zk2+ 1 " −∇z 1 # (3.28) pourquoi ne pas directement minimiser les variations du champ m ?