Régularisation par onvolution

2.6.1 Régularisation d'une fontion

L ¹ _loc

^p

R

q

Onrappellequesi

Ω

^{estunouvertdans}

R ⁿ

,

D

p

Ω

^qt

f

^P

C

^8p

R

q

: suppf

^ompatu.

Proposition 2.18 Si

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q ,si

ϕ

^P

D

p

R

q,alors

f

ϕ

^P

C

^8p

R

q.

Si deplus

suppf

^{estompatalors}

f

ϕ

^P

D

p

R

q.

Preuve.p

f

ϕ

^qp

x

^q

³

t

^P

R f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q

dt

^{estuneintégralequidépendduparamètre}

x

^.Appliquons

lethéorèmedeonvergenedominée:notons

h

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q.À

t

^xé,l'intégrant

h

^p

t, x

^qest

C ^k

^en

x

^puisque

ϕ

^{l'est,dedérivée}

k

^-ièmeen

x

^vériant|

^∂ _∂x ^{k h} k

^p

t, x

^q||

f

^p

t

^q||

ϕ

^p

^k

^qp

x

t

^q|¤

C k

^|

f

^p

t

^q|

où

C k

^||

ϕ

^p

^k

^q||8 .

1-Cas

f

^P

L ¹

^p

R

q(plus simpleàrédiger):|

∂ ^k h

∂x ^k

^p

t, x

^{q|est bornée}indépendammentde

x

^parla

fontion

C _k f

^P

L ¹

^p

R

q ,d'où

f

ϕ

^est

C ^k

^pourtout

k

^{(etonpeutdériversouslesignesomme).}

2-Cas

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q.Ii

f

^R

L ¹

^p

R

q .Soit

x 0

^P

R

.Montronsque

f

ϕ

^est

C

^{8 en}

x 0

^.Comme

ϕ

^est

àsupportompat,D

a, b

^P

R

t.q.

supp

^p

ϕ

^q€r

a, b

^s,don,pour

x

^P

R

,

supp

^p

τ x ϕ

^qq€r

b x,

a x

^s

.

Donpourtout

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^{r(voisinageouvertde}

x 0

^):

supp

^p

τ x ϕ

^qq€r

b x 0

1,

a x 0 1

^snoté

K.

Donpourtout

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^r,ave

C k

^||

ϕ

^p

^k

^q||8 :

h

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q

1 _K

^p

t

^q

,

^|

∂ ^k h

∂x ^k

^p

t, x

^q|¤

C _k

^|

f

^p

t

^q

1 _K

^p

t

^q|

,

majoration indépendante de

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^{r, et ave}

f 1 K

^P

L ¹

^p

R

q ar

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q et

K

^est

ompat.D'où

f

ϕ

^P

C ^k

^ps

x 0

1, x 0 1

^{rq,enpartiulieren}

x 0

^,epourtout

x 0

^{et tout}

k

^.

Etsi

suppf

^{estborné,alors}

supp

^p

f

ϕ

^{qestborné,f.(2.10),don}

f

ϕ

^P

D

p

R

q.

Exerie 2.19 Montrerquesi

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q ,si

g

^P

C

^8p

R

q ,si

suppf

^et

suppg

^{sonttousdeuxlimités}

àgauhe(outousdeuxlimitésàdroite),alors

f

g

^P

C

^8p

R

q . 2.6.2 Suite régularisanteou approximationde l'identité

Dénition2.20 Unefontionintégrable

f

^{estditedemasseunitéssi}

³

f

^p

x

^q

dx

1

^{(souventdéni}

avel'hypothèsesupplémentaire

f

^¥

0

^).

Dénition2.21 Onappellesuiterégularisanteune suitep

ϕ k

^q

N

^de

D

p

R

qtelleque:

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

ϕ k

^p

x

^q¥

0,

x

^P

R , supp

^p

ϕ k

^q€r

1 k , 1

k

^s

,

»

R

ϕ _k

^p

x

^q

dx

1

^{pmasseunitéq}

.

(2.23)

Dénition similairedans

R ⁿ

oùr

1

k , _k ¹

^{sestremplaéparlabouledeentre0etderayon}

¹ _k

^.

(On verra que p

ϕ _k

^q

N

^{approximela massede Diraau sensdes} distributions,et la massede Diraest l'identitéduproduit deonvolution,d'oùlenomapproximationdel'identité.)

Soit

ζ

^lafontionde

D

p

R

qdéniepar:

ζ

^p

x

^q

$

&

%

exp

^p

1

1

x ²

^q

,

x

^Ps

1, 1

^r

,

0,

x

^Rs

1, 1

^r

.

(2.24)

Onpose:

γ 1

^p

x

^q

ζ

^p

x

^q

||

ζ

^||

_L ¹ ,

^puis

γ _k

^p

x

^q

k γ 1

^p

kx

^q

, k

^¥

1.

^(2.25)

Proposition 2.22 Lasuitep

γ k

^q

k

^P

N

^{est unesuite}régularisante.

Preuve. Comme

ζ

^¥

0

^,ona

γ 1

^¥

0

^.

Comme

ζ

^¥

0

^et

ζ

^nonidentiquementnulle,ona||

ζ

^||

_L ¹

³

R

^|

ζ

^p

x

^q|

dx

³

R ζ

^p

x

^q

dx

^¡

0

^.

Don

³

R γ 1

^p

x

^q

dx

¹

||

ζ

^||

_L ¹

³

R ζ

^p

x

^q

dx

¹

||

ζ

^||

_L ¹

^||

ζ

^||

_L ¹

1

^.

Don

³

R γ _k

^p

x

^q

dx

³

R k γ 1

^p

kx

^q

dx

³

R γ 1

^p

y

^q

dy

1

^.

Comme

γ 1

^¡

0

^et

k

^¥

0

^ona

γ _k

^¥

0

^.

Et

γ 1

^p

x

^q

0

^ssi

k

^Ps

1, 1

^r.Don

γ _k

^p

x

^q

0

^ssi

kx

^Ps

1, 1

^r.D'où

supp

^p

γ _k

^qr

¹ _k , _k ¹

^s.

2.6.3 Régularisation

C

^{8 d'une fontion}

1

r

a,b

^s

Proposition 2.23 Soit

a

 

b

^{. Soit p}

ϕ k

^{q une suite} régularisante. Dès que

k

^{est assez grand, à}

savoirdèsque

1 k

^¤

b

a

2

^,lafontion

1

r

a,b

^s

ϕ k

^P

D

p

R

qvérie,pour

x

^P

R

:

$

'

'

'

'

&

'

'

'

'

%

0

^¤p

1

r

a,b

^s

ϕ k

^qp

x

^q¤

1,

p

1

r

a,b

^s

ϕ _k

^qp

x

^q

1

^pour

x

^Pr

a 1 k , b

1

k

^s

, supp

^p

1

r

a,b

^s

ϕ _k

^qr

a

1

k , b 1 k

^s

.

(2.26)

(Etononservee résultatsionouvrel'intervalles

a, b

^r.)

Cas partiulierp

ϕ k

^qp

γ k

^{qdonnéeen(2.25):deplus}

ϕ

^p

a

^q

ϕ

^p

b

^q

¹ ₂

^.

Dans

R ⁿ

: la fontion

1 K

ϕ k

^{est également dans}

D

p

R ⁿ

q, ave

0

^¤

ϕ

^¤

1

^{, ave}

supp

^p

ϕ

^{q €}

K B

^p

~ 0, ¹ _k

^{q,et ave}

ϕ

1

^sur

K

B

^p

~ 0, _k ¹

^q,où

B

^p

~ 0, ¹ _k

^{qest labouleunité deentre}

~ 0

^etrayon

¹ _k

^.

Preuve.Ona

ϕ

1

r

a,b

^s

ϕ k

^P

D

p

R

q,f.prop.2.18.Ona

suppτ x

^p

1

^~r

a,b

^sqr

x

b, x

a

^set

suppϕ k

r

1

k , _k ¹

^s,don:

ϕ

^p

x

^q

»

t

^P

R

ϕ _k

^p

t

^q

τ _x

^p

1

^~r

a,b

^sqp

t

^q

dt

»

t

^Pr

x

b,x

a

^s

“

r

1 k , ¹ _k

^s

ϕ _k

^p

t

^q

dt,

^(2.27)

etlafontion

ϕ k

^estpositived'intégrale

³

R ϕ k

1

^.D'où

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.

Etsi

x

b

^¡

_k ¹

^ousi

x

a

 

_k ¹

^,alors

ϕ

^p

x

^q

³

H

...

0

^{, d'où}

supp

^p

ϕ

^qPr

a

_k ¹ , b ¹ _k

^s.

Etsi

x

b

 

¹ _k

^{et si}

x

a

^¡

¹ _k

^{, alorsr}

x

b, x

a

^s€r

¹ _k , ¹ _k

^s,don

ϕ

^p

x

^q

1

^.

Cas partiulierp

ϕ k

^qp

γ k

^{q: ona}

ϕ

^p

a

^q

³

u

^Pr

a

b,0

^s“r

¹ _k , ¹ _k

^s

γ k

^p

u

^q

du

³

u

^Pr

_k ¹ ,0

^s

γ k

^p

u

^q

du

¹ ₂

^,

dèsque

1

k

 

b

a

^,ar

γ k

^{est paireet}

³

u

^Pr

_k ¹ , ¹ _k

^s

γ k

^p

u

^q

du

1

^.Idem:

ϕ

^p

b

^q

¹ ₂

^.

Exeriedans

R ⁿ

.

Exerie 2.24 Donnerunefontion

f

^P

D

p

R

qtelleque

f

exp

^surr

1, 1

^set

0

^¤

f

^¤

exp

^sur

R

, où

exp : x → e ^x

^P

C

^8p

R

qestlafontionexponentielle.

Réponse. Ontronquedemanièrerégulière lafontion

exp

^:onpose

g

1

r

2,2

^s

ϕ 1

^{.Ave(2.26)ona}

g

^P

D

^p

R

q et

g

^p

x

^q

1

^surr

1, 1

^{s et}

0

^¤

g

^p

x

^{q ¤}

1

^{. Cette fontion}

g

^{est notrefontion de tronature}

régulière.Onpose

f

^p

x

^q

exp

^p

x

^q

g

^p

x

^q:lafontion

f

^{onvient,arproduitdedeuxfontions}

C

^8p

R

q,don est

C

^8p

R

q,et

suppg

^estborné,ettrivialement

suppf

^€

suppg

^,don

f

^P

D

^p

R

q.

Corollaire2.25 Soit

a

 

b

^P

R

, soit

c

 

d

^P

R

. Si r

c, d

^{s €s}

a, b

^{r alors il existe une fontion}

ϕ

^P

D

ps

a, b

^{rqquivaut1surr}

c, d

^{s,et telleque}

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.(Dessin).

Dans

R ⁿ

:si

Ω

^{estunouvertde}

R ⁿ

et

K

^{unompattelque}

K

^€

Ω

^{,alorsilexisteunefontion}

ϕ

^P

D

p

Ω

^{qqui vaut1sur}

K

^{et telleque}

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.

Preuve. Soit p

γ k

^{q une suite} régularisante. Soit

ε

¹ ₂ min

^p

c

a, b

d

^{q (dessin), soit}

e

c

ε

^et

f

d ε

^{. Soit}

k

^t.q.

¹ _k

^¤

^f

₂ ^e

^et

_k ¹

 

ε

^{. La fontion}

ϕ

1

r

e,f

^s

ϕ _k

^{onvient, f.} proposition préédente.

Dans

R ⁿ

: soit

K

suppϕ

^{et soit}

ε

d

^p

K, R ⁿ Ω

^{q ¡}

0

^{la distane de}

K

^à

R ⁿ Ω

^{. Soit}

K _ε

K B

^p

0, ^ε ₂

^{q...onontinueomme}préédemmentavelafontion

ϕ

1 _{K ε}

γ _k

^.

8 2.7.

D

^p

R

qestdensedans

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

 ⁸

Corollaire2.26 Soitp

ϕ k

^{qune suite}régularisante.Soit

x 0

^P

R

. 1-Soit

f

^P

C

^8p

R

q.Alorspour

r

^P

R

et

k

^P

N

t.q.

1

k

 

r

^{,lafontionproduit :}

f _r,k

^déf

f

^p

1

s

x ⁰

r,x ⁰ r

^r

ϕ _k

^q

,

^(2.28)

est dans

D

p

R

q et est égale à

f

^{dans un voisinage de}

x 0

^{. Plus préisément on a}

f _r,k

f

^sur

s

x 0

r ¹ _k , x 0 r

¹ _k

^{r ave}

suppf _r,k

^€s

x 0

r

¹ _k , x 0 r _k ¹

^r.

Deplus,si

f

^{estbornée,alors||}

f

f _r,k

^||8

¤||

f

^||8 .

2-Plus généralement,soit

ε

^¡

0

^,etsoit

f

^P

C

^8pr

x 0

ε, x 0 ε

^sq.Alorspour

r

^P

R

et

k

^P

N

t.q.

0

 

r

 

^ε ₂

^et

¹ _k

 

r

^{, ona}

f _r,k

^P

D

p

R

q et

f _r,k

f

^{dansunvoisinagede}

x 0

^{.Plus préisémentona}

f r,k

f

^surs

x 0

r ¹ _k , x 0 r

_k ¹

^rave

suppf r,k

^€s

x 0

r

_k ¹ , x 0 r ¹ _k

^r.

3-Deplus,si

f

^{est bornée,alors||}

f r,k

^||

L

^8ps

x 0

ε,x 0 ε

^rq¤||

f

^||

_L

⁸ps

x 0

ε,x 0 ε

^rq.

Ainsique||

f

f r,k

^||

L

^8ps

x 0

ε,x 0 ε

^rq¤||

f

^||

_L

⁸ps

x 0

ε,x 0 ε

^rq

Preuve. 1- Soit

ψ r,k

1

s

x ⁰

r,x ⁰ r

^r

ϕ k

^{. On a}

ψ r,k

^P

C

^8p

R

q, don

f r,k

^P

C

^8p

R

q.. Soit

I

s

x 0

r ¹ _k , x 0 r

¹ _k

^{r et soit}

I

^s

x 0

r

_k ¹ , x 0 r ¹ _k

^{r. On a}

ψ _r,k

1

^dans

I

, don

f _r,k

f

dans

I

et

ψ _r,k

0

^dans

I

^{, don}

f _r,k

0

^dans

R I

^.D'où2-.

3-Et

0

^¤

1

s

x 0

r,x 0 r

^r

ϕ _k

^¤

1

^,don

0

^¤|

f _r,k

^p

x

^q|¤|

f

^p

x

^q|et|

f

^p

x

^q

f _r,k

^p

x

^q|¤|

f

^p

x

^q|.

Exerie 2.27 Soit

f

^{en esalier ave}

suppf

^{borné. Soit p}

ϕ k

^q

N

^{une suite} régularisante.Alors pour

k

^{assezgrandona}

f

ϕ k

^P

D

p

R

qave||

f

ϕ k

^||8¤||

f

^||8

et ||

f

f

ϕ k

^||8¤||

f

^||8 .

Réponse. Ii D

n

^P

N

, D

a ₁ , ..., a n , c ₁ , ..., c n

^P

R

ave

a ₁

 

...

 

a n

^,

f

°

n

1

i

1 c i 1

r

a _i ,a _i 1

^{s. On prend}

1

k

^¤

min i

^p

a _i 1

a _i

2

^q.Et

f

ϕ k

^{vérielespropriétésdemandées(démarhedelaprop.2.23).}

2.7

D

p

R

q est dense dans

L ^p

^p

R

q pour

1

^¤

p

 ⁸

2.7.1 Convergene

L ^p

^{etonvergene p.p.des} régularisées

Proposition 2.28 Soit

g

1

r

a,b

^{s ave}

a, b

^P

R

,

a

 

b

^.Soitp

ϕ k

^q

k

^P

N

^unesuiterégularisante.

1-Pour

1

^¤

p

 ^{8onalaonvergenedans}

L ^p

^p

R

q:

ϕ k

1

r

a,b

^{s ÝÑ}

k →

8

1

r

a,b

^{s dans}

L ^p

^p

R

q

,

^(2.29)

i.e.||

1

r

a,b

^s

ϕ k

1

r

a,b

^s||

L ¹

^p

R

q ÝÑ

k →

8

0

^.

Pour

p

^8(as

L

^8)'estfaux.

2-Pour

1

^¤

p

^{¤8onalaonvergenesimplepresquepartout:}

ϕ _k

1

r

a,b

^{s ÝÑ}

k→

⁸

1

r

a,b

^{s presquepartout}

.

^(2.30)

3-Ononserveesrésultatspour

g

°

n

i

1 c i 1

r

a i ,b i

^sP

L ^p

^p

R

qfontionenesalier.

Preuve. 1- Cas

p

1

^{. On a}

1

r

a,b

^s

ϕ k

1

r

a,b

^{s sauf sur}

K

^r

a

_k ¹ , a ¹ _k

^s

”

r

b

¹ _k , b ¹ _k

^{s (pour}

k

^¡

₂ ¹

p

b

a

^{q) ensemble de longueur |}

K

^|

⁴ _k

^{sur lequel |}

1

r

a,b

^sp

x

^qp

ϕ k

1

r

a,b

^sqp

x

^{q| ¤}

1

^{. Don}

||

1

r

a,b

^s

ϕ k

1

r

a,b

^s||

L ¹

^p

R

q

¤

»

K

dx

4 k k

^Ý

→

^Ñ8

0

^.

Cas

1

 

p

 ^{8. Calulsimilaireave|p}

1

r

a,b

^sp

x

^q

ϕ k

1

r

a,b

^sp

x

^qq

^p

^|¤

1

^{, etmêmeonlusion.}

Cas

p

^{8. Comme}

ϕ k

g

^P

C ⁰

^p

R

q, ona||

ϕ k

ϕ

^||8

sup _x

P

R

^|p

ϕ k

ϕ

^qp

x

^{q|. Prenonslasuite}

régularisante

ϕ k

γ k

^{, f. (2.25). Soit}

k

^¡

₂ ¹

p

b

a

^{q. On a p}

ϕ k

1

r

a,b

^sqp

b

^q

¹ ₂

^{, f. (2.27). Don}

|

1

r

a,b

^sp

b

^qp

ϕ k

1

r

a,b

^sqp

b

^q|

¹ ₂

^{, don||}

1

r

a,b

^s

ϕ k

1

r

a,b

^{s||8 netend pasvers}

0

^quand

k →

8. On neonvergepasdans

L

^8p

R

q .

2- Soit

x

^P

R

t

a, b

^{u, et}

d

^p

x

^q

min

^p

d

^p

x, a

^q

, d

^p

x, b

^{qq ¡}

0

^{, faire un dessin. Soit}

k

^¡

_d ¹

p

x

^q.

On a p

ϕ _k

1

r

a,b

^sqp

x

^q

1

r

a,b

^sp

x

^{q, f.} proposition 2.23, don |

ϕ _k

1

r

a,b

^sqp

x

^q

1

r

a,b

^sp

x

^q|ÝÑ

_k →

8

0

^.

D'où(2.30).

3-Unefontionenesalierestunesommenie defontionsindiatriesd'intervalles.

9 2.7.

D

^p

R

qestdensedans

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

 ⁸

Corollaire2.29 Soitp

ϕ k

^q

k

^P

N

^unesuiterégularisante.Ona:

1-si

f

^P

L ^p

^p

R

q

, 1

^¤

p

 ⁸

,

^alors

ϕ k

f

^ÝÑ

k →

8

f

^dans

L ^p

^p

R

q

.

^(2.31)

2-si

f

^P

L ^p

^p

R

q

, 1

^¤

p

 ^{8 alors}

ϕ _k

f

^ÝÑ

k →

8

f

^{presquepartout}

,

^(2.32)

oùiionsupposedeplusquet

f

^{8uensemblenidepoints(exemple}

L ¹

^p

R

qet

f

^p

x

^q|

x

^|

^{1 2}

^).

Preuve.1)Soit

f

^P

L ^p

^p

R

q.Donilexisteunesuiteroissantep

g n

^q

N

^{defontionsenesaliersqui}

onvergevers

f

^dans

L ^p

^p

R

q .Soit

ε

^¡

0

^{. Soit}

N _ε

^t.q.||

f

g _{N ε}

^||

_L ^p

 

ε

^.Etsoit

K _ε

^{t.q., pourtout}

k

^¥

K _ε

^,||

g _{N ε}

ϕ _k

g _{N ε}

^||

_L ^p

 

ε

^{,f.(2.29).On a:}

||

f

ϕ _k

f

^||

_L ^p

^¤||

f

g _{N ε}

^||

_L ^p

^||

g _{N ε}

ϕ _k

g _{N ε}

^||

_L ^p

^||

ϕ _k

g _{N ε}

ϕ _k

f

^||

_L ^p ,

et (2.16):

||

ϕ _k

f

ϕ _k

g _{N ε}

^||

_L ^p

^||

ϕ _k

^p

f

g _{N ε}

^q||

_L ^p

^¤||

ϕ _k

^||

_L ¹

^||

f

g _{N ε}

^||

_L ^p

^||

f

g _{N ε}

^||

_L ^p

 

ε,

puisque||

ϕ _k

^||

_L ¹

1

^.Donpour

k

^¥

K _ε

^ona||

f

ϕ _k

f

^||

_L ^p

 

ε ε ε

3ε

^{,d'où(2.31).}

2) Soitp

g _n

^q

N

^{unesuitedefontionsenesaliersquionvergep.p.vers}

f

^.Soit

x

^P

R ⁿ

.Ona:

|

f

ϕ k

f

^|p

x

^q|

f

g n

^|p

x

^{q |}

g n

ϕ k

g n

^|p

x

^{q |}

ϕ k

^p

g n

f

^q|p

x

^q

Si

f

^{est bornéealors||}

f

g _n

^||8

ÝÑ

n →

8

0

^{,et don:}

|p

ϕ _k

^p

g _n

f

^qqp

x

^q|¤

»

t

^P

R

|

ϕ _k

^p

t

^qp

g _n

f

^qp

x

t

^q|

dt

^¤||

f

g _n

^||8

»

R

|

ϕ _k

^p

t

^q|

dt

^ÝÑ

n →

8

0,

puisque||

ϕ k

^||

L ¹

1

^{.D'où (2.32)(démarhesimilaireàla}préédente).

Cas

f

^P

L ^p

^p

R

q et t

f

^{8u ensemble ni : soit}

x

^{R t}

f

^{8u et}

d x

d

^p

x,

^t

f

^{8uq. Alors}

f

^est

bornéedans levoisinages

x

^d ₂ ^x , x ^d ₂ ^x

^rde

x

^{etonappliquelerésultatpréédentave}

k

^¡

_d ¹

x

.

2.7.2

D

p

R

q est densedans

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

 ⁸

Onrappelleque

D

p

R

qest l'ensembledesfontions

C

^8p

R

qquisontàsupportompatdans

R

. Lesrésultatssontprésentésdans

R

,et restentvalables dans

R ⁿ

.

Etleas

p

^{8 estàexlure:l'espae}

D

p

R

qn'estpasdensedans

L

^8p

R

q:lafontion

f

1 R

(onstante) vérie||

f

ϕ

^||8

¥

1

^{quellequesoit lafontion}

ϕ

^P

D

p

R

q,ar

ϕ

^p

x

^q

0

^àl'extérieur dusupportbornéde

ϕ

^.

Théorème 2.30 Pour

1

^¤

p

 ^8,

D

p

R

qest densedans

L ^p

^p

R

q:

f

^P

L ^p

^p

R

q

,

ε

^¡

0,

^D

ϕ

^P

D

p

R

q

,

^||

f

ϕ

^||

L ^p

 

ε.

^(2.33)

Autrementdit,toutefontion

f

^P

L ^p

^p

R

qpeutêtreapprohéeaussiprèsquesouhaitédans

L ^p

^p

R

q parune fontionde

D

p

R

q.

En partiulier,si p

ϕ k

^q

k

^P

N

^{est unesuite} régularisante,notant

ψ k

ϕ k

^p

f 1

r

k,k

^sq(régularisée delafontiontronquée

f 1

r

k,k

^{s),alorslasuitep}

ψ k

^q

k

^P

N

^onvergevers

f

^dans

L ^p

^p

R

q .

Preuve. (Partronatureetrégularisation.)Soit

f

^P

L ^p

^p

R

q,soit

θ k

1

r

k,k

^s.Considérons

f θ k

^(la

fontion

f

^{tronquée).On a|}

f θ k

^|¤|

f

^{| sur}

R

et

f

^P

L ^p

^p

R

q,don

f θ k

^P

L ^p

^p

R

q. Ona

supp

^p

f θ k

^q€

r

k, k

^s.

Soit p

ϕ k

^q

N

^{une suite} régularisante et soit

ψ k

ϕ k

^p

f θ k

^{q (la tronquée} régularisée). On a

ψ k

^P

D

p

R

q,f.prop.2.18,ave

supp

^p

ψ k

^q€

suppϕ k supp

^p

f θ k

^q€r

k

_k ¹ , k ¹ _k

^{sf. (2.10).}

Montronsque

ψ k → f

^dans

L ^p

^p

R

q.Ona:

f

ψ k

f

ϕ k

^p

f θ k

^qp

f

ϕ k

f

^{q p}

ϕ k

f

ϕ k

^p

f θ k

^qq

.

Ona

ϕ k

f → f

^dans

L ^p

^p

R

q ,f. (2.31),etona:

||

ϕ _k

^p

f

f θ _k

^q||

_L ^p

^¤||

ϕ _k

^||

_L ¹

^||

f

f θ _k

^||

_L ^p

^||

f

f θ _k

^||

_L ^p

»

x

^Rr

k

¹ _k ,k _k ¹

^s

|

f

^p

x

^q|

^p dx,

ar ||

ϕ _k

^||

_L ¹

1

^{, et lemembrede droite est le reste de}l'intégrale onvergente,don tend vers0 quand

k →

8.Don||

f

ψ _k

^||

_L ^p

^ÝÑ

_k →

8

0

^.

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