Convolution de fonctions et régularisation.

(1)

Notesdeoursdel'ISIMA,deuxièmeannée

http://www.isima.fr/

leborgne

Convolution de fontions

GillesLeborgne

17novembre2017

[Paragrapheextraitduoursdedistribution.℄

Table des matières

2 Convolution 1

2.1 Notations

f

q^et

τ x f

^q ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ¹

2.2 Dénitiondelaonvolution . . . 2

2.3 Stabilitéparonvolution:

L ¹

^p

R

q

L ^p

^p

R

q

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

^¤⁸ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ³

2.4 Dérivationetonvolution . . . 5

2.5 Stabilitéde

L ¹ _loc

^p

R

qparonvolutionbornée . . . 5

2.6 Régularisationparonvolution . . . 6

2.6.1 Régularisationd'unefontion

L ¹ _loc

^p

R

q . . . 6

2.6.2 Suite régularisanteouapproximationdel'identité. . . 6

2.6.3 Régularisation

C

⁸ ^d'une^fontion

1

r

a,b

^s ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁷

2.7

D

p

R

qestdensedans

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

⁸ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁸

2.7.1 Convergene

L ^p

^et ^onvergene^p.p.^desrégularisées . . . 8

2.7.2

D

p

R

qestdensedans

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

⁸ ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ^. ⁹

2.8 LemmedeLebesgue . . . 10

2.9 Partitiondel'unité . . . 10

2.9.1

1 ^R

^omme^somme^derégularisées(partitiondel'unitéde

R

) . . . 10

2.9.2 Partitiondel'unité dans

R ⁿ

. . . 11

2.10

L ^p _loc

^p

R

qetrésultatdeprojetion . . . 12

2 Convolution

2.1 Notations

f

q^et

τ _x f

^q

Dénition2.1 Pour

f : R → R

,ondénit

f

q

: R → R

par:

f

q^p

x

^q

f

^p

x

^q

.

^(2.1)

Autrementdit

f

q

f

g

^où

g

^p

x

^q

x

^.

(Legraphede

f

q^est^le^symétrique^du^graphe^de

f

^par^rapport^à^l'axe^des

y

^.)

Dénition2.2 Pour

f : R → R

,et

c

^P

R

ondénitlatranslatée

τ c

^p

f

^q^noté

τ c f

^de

f

^par^:

τ _c f

^p

x

^q

f

^p

x

c

^q

.

^(2.2)

Autrementdit

τ _c f

f

h _c

^où

h _c

^p

x

^q

x

c

^.

(Legraphede

τ _c f

^est^le^translaté^du^graphe^de

f

^de

c

^:^en^partiulier^p

τ _c f

^qp

c

^q

f

^p

0

^q.)

Exerie 2.3 Montrerque:

τ

|

c f

τ

c f .

^q ^(2.3)

Autrementdit, lesopérateursqet

τ c

^ne^ommutent^pas^pour

c

0

^:^p^q

τ c

^qp

f

^q^p

τ

c

^q^qp

f

^q.

Réponse.

τ

}

c f

^p

x

^q

τ c f

^p

x

^q

f

^p

x

c

^q

f

^q^p

x c

^q

τ c f

^q^p

x

^q.

(2)

Proposition 2.4 Pour

f : R → R

etpour

c

^P

R

,ona:

supp f

^q

suppf, supp

^p

τ c f

^q

suppf c, supp

^p

τ c f

^q^q

suppf c.

^(2.4)

Immédiatsurundessin. Enpartiulier,si

suppf

^r

a, b

^s^où

a

^¤

b

^,^alors^:

supp

^p

f

^q^q^r

b,

a

^s

, supp

^p

τ c f

^q^r

a c, b c

^s

, supp

^p

τ c f

^q^q^r

b c,

a c

^s

.

^(2.5)

Preuve. Pour

f

q^: ^on ^a^t

x : f

^q^p

x

^q

0

^u^t

x : f

^p

x

^q

0

^u ^t

y : f

^p

y

^q

0

^u, ^d'où, ^en ^prenant

l'adhérene,

supp f

^q

suppf

^.

Pour

τ _c f

^: ^on^a^t

x : τ _c f

^p

x

^q

0

^u^t

x : f

^p

x

c

^q

0

^u^t

y c : f

^p

y

^q

0

^u,^d'où, ^en ^prenant

l'adhérene,

suppτ _c f

suppf c

^.

2.2 Dénition de la onvolution

Onrappellequesi

f, g : R ⁿ → R

sontdeuxfontions(mesurables),alors

f

g : R ⁿ → R

estla fontiondonnéeformellementpar:

p

f

g

^qp

x

^q

»

t

^P

R n

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

»

t

^P

R n

f

^p

t

^q

τ _x

^q

g

^p

t

^q

dt,

^(2.6)

intégrale qui dépend du paramètre

x

^. ^En partiulier, si

f, g

^P

L ²

^p

R

q alors pour haque

x

^on ^a

τ x

^q

g

^P

L ²

^p

R

q(ar

³

t

^P

R

^|

g

^p

x

t

^q|

² dt

³

s

^P

R

^|

g

^p

s

^q|

² ds

^8),^et ^don^:

p

f

g

^qp

x

^q^p

f, τ x

^q

g

^q

L ²

^p

R

q

.

Danslasuite,poursimplierlaprésentation,ononsidèreraessentiellementleas

R ⁿ R

. Exemple2.5 Si

f

^P

L ¹

^p

R

qet

g

1 R

^,^on ^a^p

f

1 R

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

dt

^onstante,^et ^don^l'appli-

ation

f → f

1 R

êst^la^fontionâire^sous^laôurbe

f

(indépendantede

x

^).

Exemple2.6 Si

f

^P

L ¹

^p

R

qet

g

Π k

k1

r

1 2 k , 2 ¹ k

^s

,onap

f

g

^qp

x

^q

k

³

1 2 k

f

^p

x

t

^q

dt

^la^valeur

moyennede

f

^à^travers^une^fenêtre^de^largeur

¹ _k

^entrée^en

x

^.^Dessin.

Lamesured'unefontion

f

^à^traversûnâppareil^d'uneêrtaine^préisionêstûneâppliation

detype

M k : f → M k

^p

f

^q

f

Π k

^,^ave^don

M k

^p

f

^qp

x

^q^approhant

f

^p

x

^q,approximationd'autant meilleureque

k

êst ^grand,î.e.^que^l'appareilêst^préis.^L'appareilîdéal^(de^préision^parfaite)êst

M

8

: f → M

8

p

f

^q

f

^p

x

^q,^soit

M

8

δ 0

^,^voir^plus^loin.

Proposition 2.7 Quandelleestdénie, l'opérationestdistributiveet ommutative:

g

f

g, f

^p

g 1 λ g 2

^q

f

g 1 λ f

g 2 ,

^(2.7)

d'oùlenomdeproduit (ommutatif)deonvolution.Etona:

f

~

g

f

^q^q

g,

^et

τ _a

^p

f

g

^q^p

τ _a f

^q

g

f

^p

τ _a g

^q

.

^(2.8)

Et:

#

p

f

^et

g

^paires)^ou^p

f

^et

g

^impairesq^ñ

f

g

^paire

,

p

f

^paire^et

g

^impaire)^ou^p

f

^impaire^et

g

^paire)^ñ

f

g

^impaire

.

(2.9)

Preuve.p

f

g

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

³

R f

^p

x

u

^q

g

^p

u

^q

du

^p

g

f

^qp

x

^q^donne^laommutativité.Et ladistributivitérésultedeladistributivitédelamultipliationde

R

etdelalinéaritédel'intégrale.

Puis p

f

q^q

g

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

g

^p

x t

^q

dt

³

R f

^p

u

^q

g

^p

x

u

^q

du

^p

f

g

^qp

x

^q.

Puis

τ a

^p

f

g

^qp

x

^q^p

f

g

^qp

x

a

^q

³

R f

^p

t

^q

g

^p

x

a

t

^q

dt

³

R f

^p

t

^q

τ a g

^p

x

t

^q

dt

^p

f

τ a g

^qp

x

^q

et

f

g

f

^.

Puis p

f

g

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

^:^si

g

^est ^paire,^alors^p

f

g

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

g

^p

x t

^q

dt

³

R f

^p

u

^q

g

^p

x

u

^q

dt

^, ^d'où ^si

f

^est ^paire ^alors^p

f

g

^qp

x

^q ^p

f

g

^qp

x

^q, ^et ^si

f

êst împaire âlors

p

f

g

^qp

x

^q^p

f

g

^qp

x

^q^; ^et

f

g

f

^.

(3)

3 2.3. Stabilitéparonvolution:

L ¹

^p

R

q

L ^p

^p

R

q

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

^¤⁸

Proposition 2.8 Pour

f, g : R → R

,lafontiononvolée

f

g

^vérie^(quandêlleâûn^sens)^:

supp

^p

f

g

^q

suppf suppg.

^(2.10)

Preuve. Onap

f

g

^qp

x

^q

»

t

^P

R

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

»

t

^P

suppf

suppτ x

^q

g

f

^p

t

^q

τ _x

^q

g

^p

t

^q

dt

^.

Cas simple :

suppf

^r

a, b

^s ^et

suppg

^r

c, d

^s, ^ave

a

^¤

b

^et

c

^¤

d

^, ^don

suppf suppg

r

a c, b d

^s. ^Et

suppτ _x

^q

g

^r

d x,

c x

^s, ^don

suppf

suppτ _x

^q

g

^r

a, b

^s^X^r

d x,

c x

^s, ^donne

suppf

suppτ x

^q

g

^H ^ssi ^soit

a

^¡

c x

^soit

b

d x

^, ^i.e. ^ssi

x

a c

^ou

x

^¡

b d

^. ^Don

suppf

suppτ x

^q

g

^H ^dès^que

x

^R^r

a c, b d

^s, ^don

supp

^p

f

g

^q

suppf suppg

^.

Cas général : on a p

f

g

^qp

x

^q

0

^dès ^que

suppf

suppτ x

^q

g

^H. ^Et ^D

t

^P

suppf

suppτ x

^q

g

ssiD

t

^P

suppf

^et

t

^P

x

suppg

^, ^i.e. ^ssi^D

t

^P

suppf

^et

x

^P

t suppg

⁽

suppf suppg

^).^Don ^si

x

^R

suppf suppg

^alors

suppf

suppτ x

^q

g

^H^don ^p

f

g

^qp

x

^q

0

^.^Don^t

x :

^p

f

g

^qp

x

^q

0

^u

suppf suppg

^.^D'où^(2.10).

Remarque 2.9 Rappel : lasomme de deuxfermés n'est pasnéessairementunfermé : prendre

F

N

t

n, n

^P

N

uet

G

^t

k ¹ _k , k

^P

N

uqui donne

F G

^t

n

k ¹ _k , k, n

^P

N

u.

Ii

R F

_n

P

N

^s

n, n 1

^r^et

R G

_k

P

N

^s

k ¹ _k ,

k 1 _k ¹

1

^r^sont^des^ouverts^(union

d'ouverts), don

F

^et

G

^sont ^fermés, ^mais

F G

^ontient ^la ^suite ^p

¹ _k

^q

_k

P

N

^qui ^onverge^vers

0

dans

R

,ave

0

^R

F G

^,^don

F G

^n'est^pas^fermé.

Rappel:lasommed'unompatetd'unferméest unfermé:soit

K

^ompat^et

G

^fermé,^soit

p

z n

^q^une^suite^dans

K G

^qui^onverge^vers

z

^dans

R

.Montronsque

z

^P

K G

^.^On^a

z n

k n g n

^,

et quitte àextraireune sous-suite, ona

k n → k

^dans

K

^. ^Don

g n

z n

k n

^P

G

^onverge^vers

z

k

^,^ave

G

^fermé,^don

g

^déf

z

k

^P

G

^,^don

z

k g

^P

K G

^,^don

K G

^est^fermé.

2.3 Stabilité par onvolution :

L ¹

^p

R

q

L ^p

^p

R

q

L ^p

^p

R

q pour

1

^¤

p

^¤⁸

Proposition 2.10 Si

f, g

^P

L ¹

^p

R

qalors|

f

^|^|

g

^|^P

L ¹

^p

R

qet

f

g

^P

L ¹

^p

R

q,ave:

||

f

g

^||

1

^¤^||

f

^||

1

^||

g

^||

1 .

^(2.11)

Preuve. Ona,siçaaunsens:

||

f

g

^||

_L ¹

»

x

^P

R

|p

f

g

^qp

x

^q|

dx

»

x

^P

R

|

»

t

^P

R

f

^p

x

t

^q

g

^p

t

^q

dt

^|

dx.

¤

»

x

^P

R

p

»

t

^P

R

|

f

^p

x

t

^q|^|

g

^p

t

^q|

dt

^q

dx

»

x

^P

R

p|

f

^|^|

g

^|qp

x

^q

dx.

(2.12)

Comme

f

^et

g

^sont^dans

L ¹

^p

R

qlafontion

f

^b

g :

^p

x, y

^q

→ f

^p

x

^q

g

^p

y

^q^(fontion^à^variables^séparées)

estdans

L ¹

^p

R ²

q.EtonpeutappliquerFubini: 8¡||

f

^||

_L ¹

^||

g

^||

_L ¹

»

p

y,t

^qP

R ²

|

f

^p

y

^q|^|

g

^p

t

^q|

dtdy

»

p

x,t

^qP

R ²

|

f

^p

x

t

^q|^|

g

^p

t

^q|

dtdx,

où on a utilisé le hangement de variable

F :

^p

y, t

^q ^P

R ² → F

^p

y, t

^q

x

F 1

^p

y, t

^q

y t t

F 2

^p

y, t

^q

t

,

diéomorphismede

R ²

danslui-même,dejaobien

det

∂F ¹

∂y

∂F ¹

∂t

∂F ²

∂y

∂F ²

∂t

p

y, t

^q

det

1 1 0 1

1

^qui

donnep

dtdy

^q^|

1

^|^p

dtdx

^q^p

dtdx

^q.^D'où^||

f

g

^||

_L ¹

^¤^||

f

^||

_L ¹

^||

g

^||

_L ¹

^8, ^i.e.^(2.11).

Exerie 2.11 Montrer(2.11)àl'aideduthéorèmed'intégrationdeTonelli(oursd'intégration).

Réponse.RappeldeTonelli:silafontion

h : Ω 1

Ω 2

^Ñ

R

satisfaitauxdeuxhypothèses:

»

y

^P

Ω 2

|

h

^p

x, y

^q|

dy

⁸ ^p.p.

x

^et

»

x

^P

Ω 1

»

y

^P

Ω 2

|

h

^p

x, y

^q|

dy

dx

⁸ ^(2.13)

alors

h

^P

L ¹

^p

Ω 1

Ω 2

^q,êtâlorsôn^peutînverser^l'ordred'intégration(Fubini).

(4)

4 2.3. Stabilitéparonvolution:

L ¹

^p

R

q

L ^p

^p

R

q

L ^p

^p

R

qpour

1

^¤

p

^¤⁸

Ii onpose

h

^p

t, x

^q ^|

f

^p

t

^q|^|

g

^p

x

t

^q|êtôn^vérie ^les ^hypothèses^:ômmençant ^parîntégrer ên

x

^à

t

xé,ilvient,à

t

^xé^:

»

x

^P

R

|

f

^p

t

^q|^|

g

^p

x

t

^q|

dx

^|

f

^p

t

^q|p

»

x

^P

R

|

g

^p

x

t

^q|

dx

^q^|

f

^p

t

^q|p

»

y

^P

R

|

g

^p

y

^q|

dy

^q^¤^|

f

^p

t

^q|^||

g

^||

1

⁸

,

^(2.14)

puis:

»

t

^P

R

|

f

^p

t

^q|^||

g

^||

₁ dt

^¤^||

g

^||

₁

»

t

^P

R

|

f

^p

t

^q|

dt

^¤^||

g

^||

₁

^||

f

^||

₁

⁸

.

^(2.15)

D'oùlerésultat.

Exemple2.12

f

^p

t

^q

g

^p

t

^q

e

^t 1 R

^p

t

^q. ^On ^a

³

R

^|

f

^p

t

^q|

dt

³

8

0 e

^t dt

1

^8, ^et

f, g

^P

L ¹

^p

R

q . Et p

f

g

^qp

x

^q

³

R e

^t 1 R

^p

t

^q

e

^p

^x

^t

^q

1 R

^p

x

t

^q

dt

³

x

t

0 e

^t e

^p

^x

^t

^q

1 R

^p

x

^q

dt

³

x

0 e

^x 1 R

^p

x

^q

dt

xe

^x 1 R

^p

x

^q,^intégrable^sur

R

,dononabien

f

g

^P

L ¹

^p

R

q .

Exerie 2.13 Montrerquesi

f, g, h

^P

L ¹

^p

R

qsontpositiveset

f

^¤

g

^,^alors

f

h

^¤

g

h

^.

Réponse.Onap

f

h

^qp

x

^q

³

R f

^p

t

^q

h

^p

x

t

^q

dt

^¤

³

R g

^p

t

^q

h

^p

x

t

^q

dt

^p

h

g

^qp

x

^q.

Remarque 2.14 L'inégalité(2.11)obtenueestuneinégalitéoùàgauheonadefaituneintégrale

double,f. (2.12),alorsqu'àdroite onaunproduitdesdeuxintégralessimples.

En partiulier,||

f

g

^||

1

^(alul ^d'une ^intégrale ^double)^n'a ^rien ^à^voir^ave ^le^produit ^||

f g

^||

1

(aluld'uneintégralesimple)qui engénéraln'apasdesenspour

f

^et

g

^dans

L ¹

^p

R

q . Par exemple,

f

^et

g

^données ^par

f

^p

t

^q

g

^p

t

^q ^?

¹

t 1

s

0,1

^s ^sont ^dans

L ¹

^p

R

q (ar

³

1 0

^|

1

?

t

^|

dt

r

2

?

t

^s

¹ ₀

2

^8), ^mais ^p

f g

^qp

t

^q

¹ _t 1

s

0,1

^s ^n'est ^pas ^dans

L ¹

^p

R

q . Alors que

f

g

^donnée ^par

p

f

g

^qp

x

^q

³

t 1

?

|

t

^|

1

?

|

x

t

^|

dt

^est ^dans

L ¹

^p

R

q : ettefontion est dénie p.p., et plus préisément pourtout

x

^P

R

,etn'estpasdénieen

x

0

^,^maisê^n'est^pas^gênant^puisque,îi,^seul^leâratère

intégrable(ausensdeLebesgue)nousintéresse(notionde presquepartout):autrementditona

L ¹

^p

R

q

L ¹

^p

R

qar

R

t

0

^u ^et ^l'ensemble^singleton ^t

0

^u^est négligeablepourlamesure de Lebesgue. Enpartiulier,onavuque

³

R

^|

f

g

^|p

x

^q

dx

^¤^||

f

^||

1

^||

g

^||

1

^8.

On rappelleque

g

^P

L ^p

^p

R

qssi|

g

^|

^p

^P

L ¹

^,^et ^qu'alors^||

g

^||

_p

^p||^|

g

^|

^p

^||

_L ¹

^q

¹ ^p

^p

³

R

^|

g

^p

x

^q|

^p dx

^q

¹ ^p

^est

unenormedans

L ^p

^p

R

q ,f. oursintégraledeLebesgue.

Proposition 2.15 Soit

p

^P^r

1,

^8s.^Soit

f

^P

L ¹

^p

R

q et

g

^P

L ^p

^p

R

q. Alors

f

g

^P

L ^p

^p

R

q, autrement dit

L ¹

^p

R

q

L ^p

^p

R

q

L ^p

^p

R

q,etona:

||

f

g

^||

p

^¤^||

f

^||

1

^||

g

^||

p .

^(2.16)

Preuve. Le as

p

1

^vient^d'être ^traité, ^et ^le^as

p

⁸ êst îmmédiat âr âlors^|p

f

g

^qp

x

^q| ^¤

||

g

^||⁸

³

R

^|

f

^p

t

^q|

dt

^.^Supposons^don

1 p

^8.

On va utiliser l'inégalité de Hölder : soit

q

^l'exposant^onjugué ^de

p

^, ^donné ^par

¹ _p ¹ _q

1

^;

quand

α

^P

L ^q

^et

β

^P

L ^p

^alors

αβ

^P

L ¹

^p

R

qet||

αβ

^||

1

^¤^||

α

^||

q

^||

β

^||

p

^(voir^ours d'intégration).Ona:

»

t

^P

R

|

f

^|p

t

^q|

g

^|p

x

t

^q

dt

»

t

^P

R

|

f

^|

¹ ^q

^p

t

^q|

f

^|

^p ¹

^p

t

^q|

g

^|p

x

t

^q

dt

^(2.17)

Onpose

α

^|

f

^|

1 q

P

L ^q

^p

R

q,don

α ^q

^|

f

^|^P

L ¹

^p

R

q .

À

x

^xé, ^on ^pose

β _x

^p

t

^q ^|

f

^p

t

^q|

¹ ^p

^||

g

^|p

x

t

^q, ^don

β _x

^p

t

^q

^p

^|

f

^p

t

^q||

g

^|

^p

x

t

^q.^Et

³

t

^P

R β _x

^p

t

^q

^p dt

³

t

^P

R

^|

f

^|p

t

^q^|

g

^|

^p

x

t

^q

dt

^p|

f

^|^|

g

^|

^p

^qp

x

^q^est^bien^déni^ar^|

f

^|^P

L ¹

^p

R

q ,|

g

^|

^p

^P

L ¹

^p

R

q ,f.(2.11).Don

β _x

^P

L ^p

^p

R

q .Don(Hölder):

»

t

^P

R

|

f

^|

1 q

p

t

^q|

f

^|

1 p

p

t

^q|

g

^|p

x

t

^q

dt

^¤^p

»

t

^P

R

|

f

^|p

t

^q

dt

^q

1 q

p

»

t

^P

R

|

f

^|p

t

^q|

g

^|

^p

x

t

^q

dt

^q

1 p

||

f

^||

1 q

1

^p|

f

^|^|

g

^|

^p

^qp

x

^q

¹ ^p .

(2.18)

Don,ave(2.17):

|p|

f

^|^|

g

^|q|

^p

x

^q^¤^||

f

^||

p q

1

^|p|

f

^|^|

g

^|

^p

^qp

x

^q|

.

^(2.19)

D'où|p

f

g

^q|

^p

^est^dans

L ¹

^p

R

qave:

|||

f

g

^|

^p

^||

1

^¤^||

f

^||

p q

1

^||

f

^||

1

^||^|

g

^|

^p

^||

1 .

^(2.20)

Comme

1 ^p _q

p

^,^on^a^(2.16).(Démonstrationsimilairedans

R ⁿ

.)

(5)

2.4 Dérivation et onvolution

Proposition 2.16 Si

f

^P

L ¹

^p

R

q , si

g

^P

L ^p

^p

R

qpourun

p

^P^r

1,

^8s,^si

g

^est^dérivable^dans

R

,et si

g

¹^P

L

⁸^p

R

q(i.e.

g

¹ ^est^bornée),^alors

f

g

^est ^dérivable^dans

R

et:

p

f

g

^q¹

f

g

¹

.

^(2.21)

Preuve. Leshypothèsesindiquentque

f

g

^et

f

g

¹ ^ont^un^sens.

(2.21)signie

d dx

»

t

^P

R

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

»

t

^P

R

∂

∂x

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q

dt

^.^C'est^vrai^grâe^au^théorème

deonvergenedominée:l'intégrant

h

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q^est^dérivable^en

x

^(ar

g

^l'est),^de^dérivée

∂h

∂x

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

g

¹^p

x

t

^q, ^et ^|

^∂h _∂x

^p

x, t

^q| ^¤ ^||

g

¹^||8

|

f

^p

t

^q|, ^ave ^||

g

¹^||8

|

f

^| ^P

L ¹

^p

R

q fontion dominante intégrableindépendantede

x

^.

2.5 Stabilité de

L ¹ _loc

^p

R

q par onvolution bornée Lerésultatsuivantseragénéraliséàlaonvolutiondesdistributions.

f, g

^P

L ¹ _loc

^p

R

q.

1-Si

suppg

êstômpat,âlors

f

g

^P

L ¹ _loc

^p

R

q.

2- Si

suppf

^et

suppg

^sont ^tous ^deux ^limités ^à^gauhe ^(ou ^tous ^deux ^limités ^à ^droite), ^alors

f

g

^P

L ¹ _loc

^p

R

q .

3-Leshypothèses

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

qet

g

^P

L ¹

^p

R

qsontinsusantes.

Preuve.Pourtout

α

β

^on^veut

f

g

^P

L ¹

^pr

α, β

^sq,^i.e.

³

β x

α

^p

³

b

t

a

^|

g

^p

t

^q

f

^p

x

t

^q|

dt

^q

dx

^8.^On^a^:

»

β x

α

|p

f

g

^qp

x

^q|

dx

^¤

»

β x

α

p

»

b t

a

|

g

^p

t

^q

f

^p

x

t

^q|

dt

^q

dx

^(2.22)

1-

g

^à^supportômpat,^donîlêxiste

a, b

^P

R

t.q.

supp

^p

g

^q^r

a, b

^s^et

g

^P

L ¹

^p

R

q.Pourinverser l'ordredesintégrationsdans(2.22),appliquons lethéorèmedeFubiniTonelli.

À

t

^xé,

³

β

x

α

^|

g

^p

t

^q

f

^p

x

t

^q|

dx

^|

g

^p

t

^q|

³

β

x

α

^|

f

^p

x

t

^q|

dx

^|

g

^p

t

^q|

³

β

t

x

α

t

^|

f

^p

y

^q|

dy

⁸^ar

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q.Etpour

t

^P^r

a, b

^s^on^a

α

t

^¥

α

b

^et

β

t

^¤

β

a

^,^don

³

β

t

x

α

t

^|

f

^p

y

^q|

dy

^¤

³

β

a

x

α

b

^|

f

^p

y

^q|

dy

^.

Don

»

b t

a

»

β x

α

|

g

^p

t

^q

f

^p

x

t

^q|

dxdt

^¤

»

b t

a

|

g

^p

t

^q|

»

β

a x

α

b

|

f

^p

y

^q|

dy dt

»

b t

a

|

g

^p

t

^q|

dt

»

β

a x

α

b

|

f

^p

y

^q|

dy

8ar

f, g

^P

L ¹ _loc

^p

R

q .Dononpeutéhangerl'ordredesintégrationsdans(2.22):

»

β x

α

|p

f

g

^qp

x

^q|

dx

^¤

»

b t

a

|

g

^p

t

^q|p

»

β x

α

|

f

^p

x

t

^q|

dx

^q

dt

»

b t

a

|

g

^p

t

^q|

»

β

t y

α

t

|

f

^p

y

^q|

dy dt

¤

»

b t

a

|

g

^p

t

^q|

»

β

a y

α

b

|

f

^p

y

^q|

dy dt

^¤^||

g

^||

_L ¹

»

β

a y

α

b

|

f

^p

y

^q|

dy

⁸

.

Vraipourtout

α, β

^, ^don

f

g

^est

L ¹ _loc

^p

R

q .

2- Supports limités àgauhe: il existe

a, b

^P

R

t.q.

suppf

^r

a,

^8r ^et

suppg

^r

b,

^8r.^Don,

pour

x

^P

R

,ona

suppτ x

^q

g

^s8

,

b x

^s.^Don

suppf

suppτ x

^q

g

^r

a,

b x

^s,êtâve^Fubiniônâ^:

»

β x

α

|p

f

g

^qp

x

^q|

dx

^¤

»

β x

α

»

b x t

a

|

f

^p

t

^q

τ x

^q

g

^p

t

^q|

dt dx

^¤

»

β x

α

»

b β t

a

|

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q|

dt dx

»

b β t

a

»

β x

α

|

f

^p

t

^q

g

^p

x

t

^q|

dx dt

»

b β t

a

»

β

t y

α

t

|

f

^p

t

^q

g

^p

y

^q|

dy dt

¤

»

b β t

a

»

β

a y

α b

β

|

f

^p

t

^q

g

^p

y

^q|

dy dt

^¤

»

b β t

a

|p

f

^p

t

^q|

dt

»

β

a y

α b

β

|

g

^p

y

^q|

dy,

niar

f

^et

g

^sont

L ¹ _loc

^p

R

q.Idempoursupportslimités àdroite.

3- On prend

f

^p

t

^q

e

^t

^sur

R

et

g

^p

t

^q

e

^t 1 R

^p

t

^q ^don

g

^P

L ¹

^p

R

q; alors p

f

g

^qp

x

^q

³

R g

^p

t

^q

f

^p

x

t

^q

dt

³

8

0 e

^t e

^p

^x

^t

^q

dt

³

8

0 e

^x dt

^8.

(6)

2.6 Régularisation par onvolution

2.6.1 Régularisation d'une fontion

L ¹ _loc

^p

R

q

Onrappellequesi

Ω

êstûnôuvert^dans

R ⁿ

,

D

p

Ω

^q^t

f

^P

C

⁸^p

R

q

: suppf

^ompatu.

Proposition 2.18 Si

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q ,si

ϕ

^P

D

p

R

q,alors

f

ϕ

^P

C

⁸^p

R

q.

Si deplus

suppf

êstômpatâlors

f

ϕ

^P

D

p

R

q.

Preuve.p

f

ϕ

^qp

x

^q

³

t

^P

R f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q

dt

êstûneîntégrale^qui^dépend^du^paramètre

x

^.^Appliquons

lethéorèmedeonvergenedominée:notons

h

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q.^À

t

^xé,l'intégrant

h

^p

t, x

^q^est

C ^k

^en

x

^puisque

ϕ

^l'est,^de^dérivée

k

^-ième^en

x

^vériant^|

^∂ _∂x ^k ^h k

^p

t, x

^q|^|

f

^p

t

^q|^|

ϕ

^p

^k

^q^p

x

t

^q|^¤

C k

^|

f

^p

t

^q|

où

C k

^||

ϕ

^p

^k

^q^||8 .

1-Cas

f

^P

L ¹

^p

R

q(plus simpleàrédiger):|

∂ ^k h

∂x ^k

^p

t, x

^q|^est ^bornéeindépendammentde

x

^par^la

fontion

C _k f

^P

L ¹

^p

R

q ,d'où

f

ϕ

^est

C ^k

^pour^tout

k

^(et^on^peut^dériver^sous^le^signe^somme).

2-Cas

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q.Ii

f

^R

L ¹

^p

R

q .Soit

x 0

^P

R

.Montronsque

f

ϕ

^est

C

⁸ ^en

x 0

^.^Comme

ϕ

^est

àsupportompat,D

a, b

^P

R

t.q.

supp

^p

ϕ

^q^r

a, b

^s,^don,^pour

x

^P

R

,

supp

^p

τ x ϕ

^q^q^r

b x,

a x

^s

.

Donpourtout

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^r^(voisinage^ouvert^de

x 0

⁾^:

supp

^p

τ x ϕ

^q^q^r

b x 0

1,

a x 0 1

^s^noté

K.

Donpourtout

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^r,^ave

C k

^||

ϕ

^p

^k

^q^||8 :

h

^p

x, t

^q

f

^p

t

^q

ϕ

^p

x

t

^q

1 _K

^p

t

^q

,

^|

∂ ^k h

∂x ^k

^p

t, x

^q|^¤

C _k

^|

f

^p

t

^q

1 _K

^p

t

^q|

,

majoration indépendante de

x

^Ps

x 0

1, x 0 1

^r, ^et ^ave

f 1 K

^P

L ¹

^p

R

q ar

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q et

K

^est

ompat.D'où

f

ϕ

^P

C ^k

^ps

x 0

1, x 0 1

^rq,^en^partiulier^en

x 0

^,^e^pour^tout

x 0

^et ^tout

k

^.

Etsi

suppf

^est^borné,^alors

supp

^p

f

ϕ

^q^est^borné,^f.^(2.10),^don

f

ϕ

^P

D

p

R

q.

Exerie 2.19 Montrerquesi

f

^P

L ¹ _loc

^p

R

q ,si

g

^P

C

⁸^p

R

q ,si

suppf

^et

suppg

^sont^tous^deux^limités

àgauhe(outousdeuxlimitésàdroite),alors

f

g

^P

C

⁸^p

R

q . 2.6.2 Suite régularisanteou approximationde l'identité

Dénition2.20 Unefontionintégrable

f

^est^dite^de^masse^unité^ssi

³

f

^p

x

^q

dx

1

^(souvent^déni

avel'hypothèsesupplémentaire

f

^¥

0

^).

Dénition2.21 Onappellesuiterégularisanteune suitep

ϕ k

^q

N

^de

D

p

R

qtelleque:

$

'

&

'

%

ϕ k

^p

x

^q^¥

0,

x

^P

R , supp

^p

ϕ k

^q^r

1 k , 1

k

^s

,

»

R

ϕ _k

^p

x

^q

dx

1

^pmasse^unitéq

.

(2.23)

Dénition similairedans

R ⁿ

oùr

1 k , _k ¹

^sêst^remplaé^par^la^boule^deêntre⁰êt^de^rayon

¹ _k

^.

(On verra que p

ϕ _k

^q

N

^approxime^la ^masse^de ^Dira^au ^sens^des distributions,et la massede Diraest l'identitéduproduit deonvolution,d'oùlenomapproximationdel'identité.)

Soit

ζ

^la^fontion^de

D

p

R

qdéniepar:

ζ

^p

x

^q

$

&

%

exp

^p

1

1 x ²

^q

,

x

^Ps

1, 1

^r

,

0,

x

^Rs

1, 1

^r

.

(2.24)

Onpose:

γ 1

^p

x

^q

ζ

^p

x

^q

||

ζ

^||

_L ¹ ,

^puis

γ _k

^p

x

^q

k γ 1

^p

kx

^q

, k

^¥

1.

^(2.25)

Proposition 2.22 Lasuitep

γ k

^q

k

^P

N

^est ^une^suiterégularisante.

(7)

Preuve. Comme

ζ

^¥

0

^,^on^a

γ 1

^¥

0

^.

Comme

ζ

^¥

0

^et

ζ

^nonidentiquementnulle,ona||

ζ

^||

_L ¹

³

R

^|

ζ

^p

x

^q|

dx

³

R ζ

^p

x

^q

dx

^¡

0

^.

Don

³

R γ 1

^p

x

^q

dx

¹

||

ζ

^||

_L ¹

³

R ζ

^p

x

^q

dx

¹

||

ζ

^||

_L ¹

^||

ζ

^||

_L ¹

1

^.

Don

³

R γ _k

^p

x

^q

dx

³

R k γ 1

^p

kx

^q

dx

³

R γ 1

^p

y

^q

dy

1

^.

Comme

γ 1

^¡

0

^et

k

^¥

0

^on^a

γ _k

^¥

0

^.

Et

γ 1

^p

x

^q

0

^ssi

k

^Ps

1, 1

^r.^Don

γ _k

^p

x

^q

0

^ssi

kx

^Ps

1, 1

^r.^D'où

supp

^p

γ _k

^q^r

¹ _k , _k ¹

^s.

2.6.3 Régularisation

C

⁸ ^d'une ^fontion

1

r

a,b

^s

a

b

^. ^Soit ^p

ϕ k

^q ^une ^suite régularisante. Dès que

k

^est ^assez ^grand, ^à

savoirdèsque

1 k

^¤

b

a

2

^,^la^fontion

1

r

a,b

^s

ϕ k

^P

D

p

R

qvérie,pour

x

^P

R

:

$

'

&

'

%

0

^¤^p

1

r

a,b

^s

ϕ k

^qp

x

^q^¤

1,

p

1

r

a,b

^s

ϕ _k

^qp

x

^q

1

^pour

x

^P^r

a 1 k , b

1 k

^s

, supp

^p

1

r

a,b

^s

ϕ _k

^q^r

a

1 k , b 1 k

^s

.

(2.26)

(Etononservee résultatsionouvrel'intervalles

a, b

^r.)

Cas partiulierp

ϕ k

^q^p

γ k

^q^donnée^en^(2.25)^:^de^plus

ϕ

^p

a

^q

ϕ

^p

b

^q

¹ ₂

^.

Dans

R ⁿ

: la fontion

1 K

ϕ k

^est ^également ^dans

D

p

R ⁿ

q, ave

0

^¤

ϕ

^¤

1

^, ^ave

supp

^p

ϕ

^q

K B

^p

~ 0, ¹ _k

^q,^et ^ave

ϕ

1

^sur

K

B

^p

~ 0, _k ¹

^q,^où

B

^p

~ 0, ¹ _k

^qêst ^la^bouleûnité ^deêntre

~ 0

^et^rayon

¹ _k

^.

Preuve.Ona

ϕ

1

r

a,b

^s

ϕ k

^P

D

p

R

q,f.prop.2.18.Ona

suppτ x

^p

1

^~r

a,b

^s^q^r

x

b, x

a

^s^et

suppϕ k

r

1 k , _k ¹

^s,^don^:

ϕ

^p

x

^q

»

t

^P

R

ϕ _k

^p

t

^q

τ _x

^p

1

^~r

a,b

^s^qp

t

^q

dt

»

t

^Pr

x

b,x

a

^s

r

1 k , ¹ _k

^s

ϕ _k

^p

t

^q

dt,

^(2.27)

etlafontion

ϕ k

^est^positived'intégrale

³

R ϕ k

1

^.^D'où

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.

Etsi

x

b

^¡

_k ¹

^ou^si

x

a

_k ¹

^,^alors

ϕ

^p

x

^q

³

H

...

0

^, ^d'où

supp

^p

ϕ

^q^P^r

a

_k ¹ , b ¹ _k

^s.

Etsi

x

b

¹ _k

^et ^si

x

a

^¡

¹ _k

^, ^alors^r

x

b, x

a

^s^r

¹ _k , ¹ _k

^s,^don

ϕ

^p

x

^q

1

^.

Cas partiulierp

ϕ k

^q^p

γ k

^q^: ^on^a

ϕ

^p

a

^q

³

u

^Pr

a

b,0

^s^r

¹ _k , ¹ _k

^s

γ k

^p

u

^q

du

³

u

^Pr

_k ¹ ,0

^s

γ k

^p

u

^q

du

¹ ₂

^,

dèsque

1 k

b

a

^,^ar

γ k

^est ^paire^et

³

u

^Pr

_k ¹ , ¹ _k

^s

γ k

^p

u

^q

du

1

^.^Idem^:

ϕ

^p

b

^q

¹ ₂

^.

Exeriedans

R ⁿ

.

Exerie 2.24 Donnerunefontion

f

^P

D

p

R

qtelleque

f

exp

^sur^r

1, 1

^s^et

0

^¤

f

^¤

exp

^sur

R

, où

exp : x → e ^x

^P

C

⁸^p

R

qestlafontionexponentielle.

Réponse. Ontronquedemanièrerégulière lafontion

exp

^:^on^pose

g

1

r

2,2

^s

ϕ 1

^.Âve^(2.26)ônâ

g

^P

D

^p

R

q et

g

^p

x

^q

1

^sur^r

1, 1

^s ^et

0

^¤

g

^p

x

^q ^¤

1

^. ^Cette ^fontion

g

^est ^notre^fontion ^de ^tronature

régulière.Onpose

f

^p

x

^q

exp

^p

x

^q

g

^p

x

^q^:^la^fontion

f

^onvient,^ar^produit^de^deux^fontions

C

⁸^p

R

q,don est

C

⁸^p

R

q,et

suppg

^est^borné,^ettrivialement

suppf

suppg

^,^don

f

^P

D

^p

R

q.

Corollaire2.25 Soit

a

b

^P

R

, soit

c

d

^P

R

. Si r

c, d

^s ^s

a, b

^r âlors îl êxiste ûne ^fontion

ϕ

^P

D

ps

a, b

^rq^qui^vaut¹^sur^r

c, d

^s,^et ^telle^que

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.^(Dessin).

Dans

R ⁿ

:si

Ω

êstûnôuvert^de

R ⁿ

et

K

^un^ompat^tel^que

K

Ω

^,âlorsîlêxisteûne^fontion

ϕ

^P

D

p

Ω

^q^qui ^vaut¹^sur

K

^et ^telle^que

0

^¤

ϕ

^¤

1

^.

Preuve. Soit p

γ k

^q ^une ^suite régularisante. Soit

ε

¹ ₂ min

^p

c

a, b

d

^q ^(dessin), ^soit

e

c

ε

^et

f

d ε

^. ^Soit

k

^t.q.

¹ _k

^¤

^f

₂ ^e

^et

_k ¹

ε

^. ^La ^fontion

ϕ

1

r

e,f

^s

ϕ _k

^onvient, ^f. proposition préédente.

Dans

R ⁿ

: soit

K

suppϕ

^et ^soit

ε

d

^p

K, R ⁿ Ω

^q ^¡

0

^la ^distane ^de

K

^à

R ⁿ Ω

^. ^Soit

K _ε

K B

^p

0, ^ε ₂

^q...ônôntinueômmepréédemmentavelafontion

ϕ

1 _K _ε

γ _k

^.

Convolution de fonctions et régularisation.

f

τ x f

L 1

R

L p

R

L p

R

1

p

L 1 loc

R

L 1 loc

R

C

1

a,b

D

R

L p

R

1

p

L p

D

R

L p

R

1

p

1 R

R

R n

L p loc

R

f

τ x f

f : R → R

f

: R → R

f

x

f

x

.

f

f

g

g

x

x

f

f

y

f : R → R

c

R

τ c

f

τ c f

f

τ c f

x

f

x

c

.

τ c f

f

h c

h c

x

x

c

τ c f

f

c

τ c f

c

L ¹

L ^p

L ^p

L ¹ _loc

L ¹ _loc

L ^p

L ^p

L ^p

1 ^R

R ⁿ

L ^p _loc

τ _x f

τ _c f

τ _c f

h _c

h _c

τ _c f

τ _c f

τ _c f

x : τ _c f