Réflexion d’Andreev

5.1.3 Le modèle BTK . . . 70 5.1.4 Effet du désordre dans le métal normal . . . 71 5.1.5 Fluctuations universelles de conductance. . . 73

5.2 Jonctions SNS . . . . 74

5.2.1 Effet Josephson . . . 74 5.2.2 Jonctions SNS . . . 75

Chapitre 5. Effet de proximité

Introduction

Dans le cadre de la physique mésoscopique, le terme "effet de proximité" se rapporte à l’influence exercée par un métal supraconducteur sur un système électronique quelconque, lorsque ceux-ci sont mis en contact. La partie non supraconductrice du système peut par exemple être un métal normal, ou un nano-objet. Dans ce chapitre nous introduirons la physique de l’effet de proximité dans les métaux conventionnels. Nous décrirons au pas- sage le mécanisme de réflexion d’Andreev spéculaire ayant lieu au sein d’une interface supraconducteur-graphène. Enfin, nous illustrerons finalement les concepts introduits dans cette partie en dressant une revue des travaux expérimentaux déjà existants sur les circuits hybrides supraconducteur-graphène.

5.1

La jonction métal normal-supraconducteur

Une jonction métal-supraconducteur est un circuit constitué d’un métal supraconducteur en contact avec un métal normal. Lorsque du courant circule dans un tel circuit, il s’écoule sans résistance dans la partie supraconductrice puis devient dissipatif dans la partie normale. Comment s’effectue la conversion du courant à l’interface entre les deux métaux ? Dans ce paragraphe nous présenterons le mécanisme microscopique appelé Réflexion d’Andreev permettant de décrire cette conversion et son impact sur les mesures de transport dans une jonction métal normal-supraconducteur.

5.1.1

Réflexion d’Andreev

Dans un métal, les électrons constituent un système de particules en interaction via la répulsion Coulombienne. Toutefois, Landau a montré que l’on peut décrire les excitations de basse énergie d’un métal par une assemblée de quasi-particules fermioniques indépendantes [9]. Ces excitations peuvent avoir une énergie située au-dessus du niveau de Fermi (k > kF) ou en-dessous (k < kF). On parle alors respectivement de quasiparticule électron ou de quasiparticule trou. Dans la suite nous omettrons le terme quasiparticule et nous parlerons simplement d’électrons et de trous. L’énergie de ces quasiparticules est notée  et est mesurée par rapport au niveau de Fermi

Dans un supraconducteur décrit par la théorie BCS, les électrons proches du niveau de Fermi s’apparient en paires de Cooper en dessous d’un température critique Tc. Plus précisément un électron de vecteur d’onde ~k et de spin s est apparié avec l’électron de vecteur d’onde −~k et de spin opposé. Ces paires assurent la conduction d’un courant électrique sans dissipation.

La théorie BCS prévoit l’existence d’un gap ∆ autour du niveau de Fermi dans la densité d’état d’un supraconducteur. Il n’existe pas de quasi-particules dans cet intervalle d’énergie. Un électron d’énergie || < ∆ provenant d’un métal normal ne peut donc pas être ajouté seul au condensat de paires de Cooper. Andreev a montré que le passage d’un courant de paires est cependant possible par un processus de rétro-réflexion de l’électron incident en un trou [8], ce qui permet d’ajouter une paire de Cooper de charge 2e au supraconducteur1_{. Les}

1. de la même manière un trou d’énergie || < ∆ peut être ajouté au condensat s’il est réfléchi sous forme d’un électron, ce qui a effet de retirer une paire de Cooper du supraconducteur.

La jonction métal normal-supraconducteur

équations de Bogoliubov-de Gennes fournissent un traitement formel de ce mécanisme, basé sur le raccordement des fonctions d’ondes du métal normal avec celle du supraconducteur [30]. La continuité des fonctions d’ondes impose que l’énergie du trou réfléchi soit symétrique à celle de l’électron incident par rapport au niveau de Fermi. Ainsi un électron d’énergie incidente EF+  et de vecteur d’onde kF + δk/2 sera réfléchi en trou d’énergie EF −  et de vecteur d’onde kF − δk/22. La différence entre les deux vecteurs d’onde est donnée par :

δk = 2

~vF

(5.1) De plus, la réflexion d’Andreev induit un déphasage δφ lors de la conversion relié à la phase Φ du supraconducteur3 _selon

δφ = Φ − arccos(  ∆) (5.2) N

S

Figure 5.1 – A gauche : Réflexion d’Andreev dans une représentation énergie. Un électron

incident d’énergie  < ∆ est réfléchi à l’interface S/N en un trou d’énergie opposée par rapport au niveau de Fermi. A droite : Réflexion d’Andreev dans l’espace réel. Comme l’électron et le

trou n’ont pas tout a fait la même énergie, il n’ont pas non plus le même vecteur d’onde ~k. Les

trajectoires de l’électron et du trou se déphasent au fur et à mesure de leur propagation dans le métal normal.

Pour  = 0, le vecteur d’onde du trou réfléchi est égal à celui de l’électron incident. Le trou issu de la réflexion d’Andreev va suivre exactement la même trajectoire dans le métal normal que celle empruntée par l’électron pour arriver au supraconducteur. Le déphasage

δφ reste constant au cours du temps. L’électron et le trou forment alors une paire d’Andreev

cohérente.

Si  6= 0, les vecteurs d’onde des deux trajectoires ne sont plus égaux et celles-ci vont se déphaser lorsque l’on s’éloigne de l’interface. A une distance L de l’interface, ce déphasage induit par la propagation est égal à δφ = δkL. Il est égal à 2π après un temps de propagation

τ = ~/. La longueur correspondante est notée L.

Dans le cas d’un métal balistique, La longueur de cohérence des paires d’Andreev vaut

L = vFτ = ~vF/.

2. La conservation du spin durant le processus de réflexion d’Andreev impose de plus que le spin du trou réfléchi soit opposé à celui de l’électron incident.

3. Dans le cas d’une conversion d’un trou vers un électron, la contribution du supraconducteur au dé- phasage change de signe et cette formule devient δφ = −Φ − arccos(

Chapitre 5. Effet de proximité

Dans le cas d’un métal désordonné de constante de diffusion D, la longueur de propaga- tion diffusive correspondant au temps τ est donnée par

L= √ Dτ = s ~D  . (5.3)

La cohérence des paires d’Andreev est donc affaiblie par l’application d’une différence de potentiel entre le métal normal et le supraconducteur. A tension nulle, la longueur de cohérence des paires diverge, y compris dans le cas diffusif. La cohérence des paires d’An- dreev est en fait toujours limitée par les chocs inélastiques et ne peut dépasser la longueur de cohérence lφ du métal normal.

Enfin, il faut remarquer que le formalisme des équation de Bogoliubov-de Gennes fait l’hypothèse d’un paramètre d’ordre supraconducteur ∆ s’annulant brusquement à l’interface S/N. En réalité les fonctions d’ondes des quasiparticules pénètrent dans le supraconducteur sous forme d’ondes évanescentes sur une distance ξS =

q ~Ds

∆ , où DS est la constante de

diffusion du supraconducteur. Cet effet porte le nom d’effet de proximité inverse. Il peut être négligé si la résistance du métal normal est grande devant la résistance du supraconducteur (dans son état normal) [66].