Réduction d’instances

CHAPITRE 5. RÉDUCTIONS D’INSTANCES ET PROBLÈMES FPT

3. PROBLÈME DU NOMBRE ENVELOPPE

CHAPITRE 5. RÉDUCTIONS D’INSTANCES ET PROBLÈMES FPT

3. PROBLÈME DU NOMBRE ENVELOPPE

Nous proposons trois règles pour réduire une instance du problème du nombre

enveloppe, qui portent sur des sommets avec le même voisinage. Les sommets u et

v sontjumeaux siN(u)\{v}=N(v)\{u}. Siuetv sont adjacents, on parle de vrais

jumeaux, sinon defaux jumeaux.

Ces réductions reposent sur la transformation d’identiﬁcation(ou de contraction)

de deux sommetsu, v ∈V. Celle-ci peut être vue comme la fusion des deux sommets

en un nouveau qui hérite de l’union de leurs voisinages.

1. Ajouter un sommet s

;

2. Ajouter les arêtes {s

w|w∈N(u)∪N(v)};

3. Retirer u et v.

Dans les cas suivants de notre étude, les sommets identiﬁés sont toujours jumeaux.

Ainsi la transformation revient juste à retirer un des deux sommets. On considère,

sans perte de généralité, que c’estv et donc ques

=u. On déduit aussi la propriété

suivante sur le résultat d’une identiﬁcation, que nous utilisons par la suite dans les

démonstrations des réductions.

Propriété 5.15 Soient un graphe G et u, v ∈ V des sommets jumeaux. Soit H le

résultat de l’identiﬁcation de u et v dans G. Alors H est isométrique de G.

Preuve : H est isomorphe à V(G)\{v}. Pour tout plus court chemin de G

conte-nantv, remplacerv parudonne aussi un plus court chemin deG. Ainsi les distances

entre deux sommets de V(G)\{v}sont les mêmes dans G etH.

Avec ces pré-requis, nous pouvons maintenant énoncer les résultats de notre

étude. Les transformations suivantes sont toutes des réductions, car la taille de

l’instance diminue strictement et la taille de la solution décroît ou reste constante.

Lemme 5.16 Soient un graphe G et u, v ∈ V des sommets non simpliciaux et

jumeaux. Soit H le résultat de l’identiﬁcation de u et v dans G (cf. ﬁgure 5.5).

Alors hn(G) = hn(H).

t’

t

u

t’

t

u

v

G H

Figure5.5: Identiﬁcation de deux sommets (u, v) non simpliciaux et jumeaux.N est

le voisinage des sommets u etv; tt

est une non arête.

Preuve : Soient t, t

∈V(G) des sommets non adjacents appartenant au voisinage

de u et dev jumeaux non simpliciaux.

Montrons tout d’abord que hn(G) ≤ hn(H). Soit S un ensemble enveloppe

minimum de H. Comme H est un sous-graphe isométrique de G, on déduit d’après

la propriété 5.13 que V(G)\{v} est généré par S. Or v ∈ I

[t, t

], donc v est aussi

généré par S au pire avec une fermeture supplémentaire à celles nécessaires pour

générert et t

. Ainsi S est un ensemble enveloppe de G.

Montrons ensuite que hn(G)≥hn(H). SoitS un ensemble enveloppe minimum

de G. On montre que v a le même comportement que u pour les fermetures

suc-cessives de S dans G, pour en déduire que S est un ensemble enveloppe de H. On

peut admettre que S ne contient pas u et v en même temps. En eﬀet, s’il existe

un ensemble enveloppe minimum qui contientu et v, alors il en existe aussi un qui

contienttett

à la place. En eﬀet,u, v ∈I

[t, t

], puisuetv pourront éventuellement

générer les autres sommets lors des fermetures suivantes.

D’une part, on suppose que u, v /∈S. Soientx, y ∈V tels que de {x, y} 6={u, v}

et P un plus court chemin entre x et y. On observe que P ne peut pas contenir

à la fois u et v. Dans le cas où P contient u (resp. v), en le remplaçant par v

(resp. u), on obtient un autre plus court chemin, car u et v ont le même voisinage.

En particulier, cela implique que u et v sont générés par la même fermeture k et

que pour tout i ≤ k, I

[S] = I

[S]. Mais aussi, cela implique que les plus courts

chemins dont une seule extrémité est u ou v, génèrent les mêmes autres sommets

qu’eux-mêmes dans G. Ainsi, pour touti > k, I

[S] =I

[S]\{v}. Par conséquent,

S est un ensemble enveloppe deH.

D’autre part, on suppose qu’un seul sommet entreuetvappartient àS. S’il existe

un ensemble enveloppe minimum qui contient l’un, il existe aussi un ensemble qui

contient l’autre. On choisit u∈S. Par le même argument qu’à la ﬁn du paragraphe

précédent, on en déduit que pour tout i∈ J1,|V(G)|K, I

[S] = I

v sontjumeaux siN(u)_\{v}=N(v)_\{u}. Siuetv sont adjacents, on parle de vrais

2. Ajouter les arêtes _{s

w|w∈N(u)_∪N(v)_};

Preuve : H est isomorphe à V(G)_\{v}^{. Pour tout plus court chemin de} G

entre deux sommets de V(G)_\{v}sont les mêmes dans G etH.

Montrons tout d’abord que hn(G) _≤ hn(H). Soit S un ensemble enveloppe

la propriété 5.13 que V(G)_\{v} ^{est généré par} S. Or v ∈ I

Montrons ensuite que hn(G)_≥hn(H). SoitS un ensemble enveloppe minimum

D’une part, on suppose que u, v /∈S. Soientx, y ∈V tels que de _{x, y} 6=_{u, v}

[S]_\{v}. Par conséquent,

précédent, on en déduit que pour tout i∈ J1,|V(G)_|K, I

[S]_\{v} et donc,

Preuve : Pour montrer quehn(G)_≤hn(H)+1, on utilise queHest un sous-graphe

[S] =V(G)_\{w}. Donc S∪ {w} est un ensemble enveloppe deG.

Montrons maintenant que hn(G) _≥ hn(H) + 1. Soit S un ensemble enveloppe

minimum deG. D’après la propriété 5.12, les sommets simpliciaux_{u, v, w} ⊆S. On

si on remplace w par v. Ainsi I[w, x] = I[v, x] pour x ∈ V\{v, w}^{. Dans le cas}

(S)_\{w} et S\{w}

Preuve : Comme dans la preuve du lemme 5.17, hn(G)_≤hn(H) + 1.

Montrons ensuite quehn(G)_≥hn(H) + 1. Soit S un ensemble enveloppe

mini-mum deG. D’après la propriété 5.12, les sommets simpliciaux_{u, v} ⊆S. Commeu

[v, x]_\{v} ⊆

[u, x]. Donc, S\{v} ^{est un ensemble enveloppe de} H.