Instances réduites métriques

Nous avons vu comment rendre une instance métrique en augmentant les

dis-tances. On étudie maintenant l’évolution de la métricité lorsque l’on diminue les

distances. Les instances réduites sont telles que la somme des offsets appliqués à

l’instance initiale est la plus grande possible. Or cette somme est toujours positive.

Les instances métriques n’ont donc aucune garantie de rester métrique après

réduc-tion. Malgré cela, existe-t-il des instances réduites qui sont métriques et si oui, quelle

est leur forme ?

Nous utiliserons les notations suivantes. Soient I = (V, E) un graphe complet

non orienté avec des coûts positifsc

e

sur les arêtes,

E

0

=_{e∈E |c

e

= 0_} et I

0

= (V, E

0

),

E

∗

=_{e∈E |c

e

>0_} et I

∗

= (V, E

∗

).

On remarque queI

0

et I

∗

sont complémentaires.

Théorème 4.7 L’instance I est réduite et métrique si et seulement si toutes les

propositions suivantes sont vraies.

1. I

0

est une union de cliques disjointes de taille au moins deux,

2. les arêtes incidentes à deux mêmes cliques de I

0

ont le même coût,

3. l’inégalité triangulaire est respectée pour tout triplet de sommets pris dans trois

cliques distinctes de I

0

.

Preuve : Nous allons faire la démonstration en cinq étapes : d’abord montrer que

les arêtes de coût nul couvrent les sommets de l’instance réduite par des sous-cliques

disjointes de taille au moins deux, puis que les arêtes restantes, celles de coût non

nul, forment une seule composante connexe, qu’elles ont le même coût entre deux

mêmes parties et que l’inégalité triangulaire est respectée entre plusieurs parties, et

enfin l’équivalence.

D’après la propriété 4.3, tous les sommets deI sont incidents à une arête de coût

nul, donc I

0

est le graphe induit par E

0

. De plus, d’après l’inégalité triangulaire,

si deux arêtes d’un triangle sont de coût nul, la troisième l’est aussi. Ainsi tout

sous-ensemble de sommets connexe dans I

0

forme une clique. On en déduit queE

0

CHAPITRE 4. MODIFICATION D’INSTANCES

Figure 4.6: Caractérisation d’une instance réduite métrique. Les cercles

représen-tant des cliques de coût nul partitionnent les sommets du graphe. Toutes les arêtes

entre deux cliques, représentées par une arête en pointillé, sont de même coût. Le

graphe formé par les cercles et les arêtes en pointillé est métrique.

Le résultat précédent implique que le graphe I

∗

, restreint aux arêtes de coût

non nul, est connexe ou sans arêtes. En effet, s’il n’est pas connexe, alors le graphe

complémentaire, qui est I

0

, contient une coupe du graphe complet I, c’est-à-dire

toutes les arêtes entre deux ensembles partitionnant les sommets. Ceci représente

un ensemble connexe contenant tous les sommets deI. Or toute composante connexe

deI

0

est une clique. Dans ce cas,I

0

est alors tout le graphe I etI

∗

n’a pas d’arêtes.

D’après la propriété 4.3, toute arête de coût non nul est adjacente à au moins

une arête de coût nul. Or, d’après l’inégalité triangulaire, dans un triangle, si une

arête a un coût nul, le coût des deux autres arêtes est égal. Ainsi, toutes les arêtes

entre deux parties ont le même coût. De proche en proche, entre deux sous-cliques

de coût nul, les arêtes ont le même coût non nul, qu’on notec

ij

entre les sous-cliques

i et j (point 2).

Par ailleurs, s’il y a au moins trois sous-cliques de coût nul, il apparaît des

triangles sans arêtes de coût nul, lorsqu’on prend chaque sommet dans une clique

disjointe. Dans ce cas-là, il faut que l’inégalité triangulaire y soit respectée (point 3).

Pour prouver l’équivalence, il faut montrer que la caractérisation donnée est une

instance métrique réduite. Il y a deux types de coûts d’arêtes : 0 et c

ij

strictement

positif. Avec ces coûts, deux configurations violent l’inégalité triangulaire. Soit le

triangle a une arête de coût positif et deux de coût nul. Or cette configuration est

proscrite, car les arêtes de coût nul forment des sous-cliques disjointes et donc tout

triangle dont deux arêtes ont un coût nul appartient à une telle clique. Soit il existe

un triangle sans arêtes de coût nul tel que c

ij

+c

jk

< c

ik

, qui n’est possible qu’entre

des sommets appartenant à des cliques disjointes. Or l’inégalité triangulaire est bien

respectée entre les parties, ce qui rend aussi cette configuration impossible.

Enfin, pour vérifier que la caractérisation représente une instance réduite, on

montre que la valeur de la solution de son problème de réduction d’instances associé

5. ÉTUDES EXPÉRIMENTALES

est nulle. Tout sommet appartient à une unique clique. Or, quand on additionne les

contraintes du programme linéaire (4.4) associées aux arêtes d’une clique de coût

nul, on obtient que la somme des offsets sur la clique est nulle. En considérant toutes

les cliques disjointes et de taille au moins deux, couvrant les sommets du graphe, on

en déduit que la solution optimale est de coût nul.

Ce théorème est une caractérisation des instances réduites métriques, schématisée

par la figure 4.6. Cette description donne une méthode pour diminuer la taille de

l’instance lorsqu’on cherche à la résoudre. En effet, on peut décomposer le tour

optimale. Celui-ci est composé de chemins hamiltoniens dans chaque composante

connexe du sous-graphe I

0

restreint aux arêtes de coût nul, qui sont des cliques

disjointes couvrant le graphe. Ces chemins sont ensuite reliés entre eux chacun par

une arête de I

∗

. Cela revient à trouver un cycle hamiltonien dans le graphe obtenu

par contraction des composantes connexes de I

0

, qui est une clique dont la taille

correspond au nombre de composantes connexes deI

0

et les coûts sur les arêtes sont

non nuls de coûtc

ij

entre les sommets représentant les contractions des sous-cliques

de coût nulietj. La taille de la nouvelle instance ainsi obtenue est au moins divisée

par deux. Toutefois il n’y a aucune garantie de pouvoir itérer le processus, car la

réduction d’une instance métrique ne reste pas forcément métrique.

Si l’on souhaite rester sur l’ensemble des instances métriques, on peut poser le

problème de réduction d’instances sous contrainte de rester métrique. Il en découle

également une nouvelle mesure de performance stable en évaluant les algorithmes

sur ces instances réduites. On suppose qu’une caractérisation des telles instances

pourrait être développée en s’appuyant sur les travaux déjà fait pour la réduction

non métrique. Ces travaux pourrait avoir des répercussion dans l’étude de

l’approxi-mation du TSP métrique, pour lequel est conjecturé l’existence d’un algorithme de

facteur

4

3

, en donnant des instances où la mesure de performance est maximum.

5 Études expérimentales

Ces travaux évaluent l’impact de la réduction d’instances pour des études

expéri-mentales. Nous mesurons les variations de performances des méthodes de résolution

entre les instances réduites et initiales. Nous commençons par étudier un algorithme

de recherche locale, invariant par modification par offset, pour mesurer l’écart avec

les mesures habituelles. Puis nous appliquons l’étude à des méthodes gloutonnes,

dont le comportement est sensible aux modifications par offset, pour observer

l’im-pact sur ces méthodes.

CHAPITRE 4. MODIFICATION D’INSTANCES

5.1 Impact de la réduction d’instances sur la performance

Dans le document Caractérisation des instances difficiles de problèmes d'optimisation NP-difficiles (Page 82-85)