Réducteur épicycloïdal

Un train d’engrenages est épicycloïdal si un ou plusieurs pignons intermédiaires tournent autour d’un axe mobile par rapport au bâti. Ces pignons sont appelés satellites et l’axe mobile est appelé porte-satellite. Les pignons qui ne sont pas montés sur le porte-satellite sont appelés planétaires.

Pour étudier un train épicycloïdal, il faut tout d’abord identifier l’entrée et la sortie du train. La difficulté est que cette entrée et cette sortie ne sont pas nécessairement les entrée et sortie effectives du mécanisme. L’entrée et la sortie du train sont les 2 extrémités de la chaîne d’engrenages. Ils sont nécessairement planétaires.

12.2.1 Relation cinématique : formule de Willis

Lorsqu’entrée, sortie et porte-satellite sont identifiés, on se place dans un repère lié au porte-satellite. Dans ce repère on voit tourner les pignons autour d’axes fixes. On peut donc écrire :

𝜔_{𝑠/𝑝𝑠} 𝜔 − 𝜔

12.2.2 Différents types de train épicycloïdal

Quatre types d’architecture de train simple peuvent être identifiés.

T1

12.2.3 Exemple de train plus complexe

A partir de ces 4 types de base, différentes constructions de train peuvent être envisagées.

Le réducteur ci-dessous peut être vu comme la mise en série de 2 trains de type 3. Les roues dentées qui le composent sont Z1=20, Z2=14, Z3=15, Z4=21, Z5=19, Z6=14, Z7=13, Z8=18. L’entrée est le planétaire Z1 relié au bâti. La sortie est le planétaire Z8 qui est aussi la sortie effective du mécanisme. Le porte-satellite est l’entrée effective du mécanisme.

figure 110 La formule de Willis donne :

𝜔_𝑠− 𝜔_𝑝𝑠

Cette construction très compacte permet, grâce au mouvement épicycloïdal, d’obtenir une très forte réduction.

12.2.4 Trains imbriqués

Certaines constructions sont composées de plusieurs trains épicycloïdaux imbriqués. Les trains imbriqués s’identifient par le fait qu’ils comptent plus que 2 planétaires d’entrée/sortie et plusieurs « chemins » les reliant. Le porte-satellite est cependant commun à tous les trains.

L’exemple ci-dessous comporte le train T1 dont l’entrée est Z1 et la sortie est Z3

et le train T2 dont l’entrée est Z1 et la sortie est Z5. On peut remplacer T1 ou T2 par le train T3 dont l’entrée serait Z3 et la sortie Z5.

figure 111 Il faut écrire la relation de Willis pour chacun de ces trains :

{

𝜔_𝑠 𝜔𝑒

=𝑍₁(𝑍₂𝑍₅− 𝑍₃𝑍₄) 𝑍2𝑍5(𝑍₁+ 𝑍3)

Train de Ravigneaux

Le second exemple est le train de Ravigneaux. Ce train est le cœur d’une boîte de vitesse automatique que nous étudierons aux TD5 (page 121) et TD6 (page 124). Il est composé du train T1 de raison négative dont l’entrée est Z1 et la sortie est Z6, et du train T2 de raison positive dont l’entrée est Z4 et la sortie est Z6.

figure 112

12.2.5 Etude énergétique

Un train épicycloïdal comporte 3 organes mobiles : l’entrée, la sortie et le porte-satellite. Nous avons une équation cinématique qui relie ces 3 organes (la formule de Willis). Il reste donc une mobilité (un degré de liberté) dans le mécanisme. Nous avons alors 3 configurations.

Fonctionnement en réducteur

Dans le paragraphe précédent, nous avons montré des exemples où un des planétaires d’entrée ou de sortie est relié au bâti. Cette liaison supprime une mobilité. La formule de Willis détermine alors de façon univoque, la sortie en fonction de l’entrée.

Fonctionnement en collecteur de puissance

Dans certains mécanismes, le train épicycloïdal reçoit et cumule 2 entrées données. La sortie est alors déterminée par la formule de Willis en fonction de ces 2 entrées.

Ceci est le cas par exemple dans certaines voitures hybrides. Les 2 entrées sont le moteur thermique et le moteur électrique. En fonction des paramètres de conduite du véhicule, un calculateur détermine la puissance fournie par chacune des entrées. Le train épicycloïdal effectue la collecte de ces 2 entrées pour la transmettre aux roues. Dans ce cas c’est donc le calculateur qui lève la mobilité du mécanisme.

Fonctionnement en distributeur de puissance

Les mécanismes distributeurs de puissance conservent leur mobilité pour permettre de répartir la puissance vers les 2 sorties de manière différenciée en fonction de la situation.

Le mécanisme distributeur de puissance le plus courant est le différentiel qui équipe les véhicules automobiles et qui permet de transmettre la rotation du moteur vers les 2 roues motrices. En ligne droite les satellites ne tournent pas la rotation est transmise de manière identique vers les 2 roues. En virage, les satellites rentrent en action et distribuent la vitesse (et la puissance) de manière différenciée vers les 2 roues.

figure 113 : Différentiel

Du point de vue de l’étude cinématique, le différentiel est un train épicycloïdal dont l’entrée est la roue gauche, la sortie est la roue droite, la coquille (qui est l’entrée effective) est le porte satellite. Le différentiel comporte 2 satellites en parallèles. Le système pourrait fonctionner avec un seul satellite, le second permet d’équilibrer les efforts. La raison du train est r=-1.

Pour déterminer comment la vitesse se répartit vers les 2 roues, il faut écrire la relation de puissance : la somme des puissances entrantes (>0) et des puissances sortantes (<0) est nulle.

𝐶_𝑝𝑠𝜔_𝑝𝑠+ 𝐶_𝑒𝜔_𝑒+ 𝐶_𝑠𝜔_𝑠= 0

{𝐶_𝑒𝜔_𝑒+ 𝐶_𝑝𝑠𝜔_𝑝𝑠+ 𝐶_𝑠𝜔_𝑠 = 0 𝑟𝜔_𝑒+ (1 − 𝑟)𝜔_𝑝𝑠+ (−1)𝜔_𝑠= 0

Nous avons 2 combinaisons linéaires du vecteur (e, ps, s) qui sont nulles. On en déduit que les coefficients sont proportionnels entre eux :

𝐶_𝑒

𝑟 = 𝐶_𝑝𝑠

(1 − 𝑟)= 𝐶_𝑠

−1

Comme la raison d’un différentiel est égal à -1, on en déduit que, le couple moteur Cps se divise en 2 vers les roues droite et gauche : Ce = Cs = -Cps/2. Le différentiel est donc un système qui, quelle que soit la situation (ligne droite ou virage), délivre un même couple (une même motricité) vers chacune des 2 roues.

ANNEXES

140,00498150,00615160,00749170,00902180,01076190,01272200,01490210,01734220,02005230,02305240,02635250,02998260,03395270,03829280,04302290,04816 14,020,0050015,020,0061716,020,0075217,020,0090618,020,0108019,020,0127620,020,0149521,020,0174022,020,0201123,020,0231124,020,0264225,020,0300526,020,0340327,020,0383828,020,0431229,020,04827 14,040,0050315,040,0062016,040,0075517,040,0090918,040,0108319,040,0128020,040,0150021,040,0174522,040,0201723,040,0231824,040,0264925,040,0301326,040,0341127,040,0384728,040,0432129,040,04838 14,060,0050515,060,0062316,060,0075817,060,0091218,060,0108719,060,0128420,060,0150421,060,0175022,060,0202323,060,0232424,060,0265625,060,0302026,060,0342027,060,0385628,060,0433129,060,04849 14,080,0050715,080,0062516,080,0076117,080,0091618,080,0109119,080,0128820,080,0150921,080,0175522,080,0202823,080,0233024,080,0266325,080,0302826,080,0342827,080,0386528,080,0434129,080,04859 14,10,0050915,10,0062816,10,0076417,10,0091918,10,0109519,10,0129220,10,0151421,10,0176022,10,0203423,10,0233724,10,0267025,10,0303626,10,0343627,10,0387428,10,0435129,10,04870 14,120,0051115,120,0063016,120,0076717,120,0092218,120,0109819,120,0129720,120,0151821,120,0176622,120,0204023,120,0234324,120,0267725,120,0304326,120,0344527,120,0388328,120,0436129,120,04881 14,140,0051415,140,0063316,140,0077017,140,0092618,140,0110219,140,0130120,140,0152321,140,0177122,140,0204623,140,0234924,140,0268425,140,0305126,140,0345327,140,0389228,140,0437129,140,04892 14,160,0051615,160,0063516,160,0077217,160,0092918,160,0110619,160,0130520,160,0152821,160,0177622,160,0205123,160,0235624,160,0269125,160,0305926,160,0346227,160,0390228,160,0438129,160,04903 14,180,0051815,180,0063816,180,0077517,180,0093218,180,0111019,180,0130920,180,0153221,180,0178122,180,0205723,180,0236224,180,0269825,180,0306626,180,0347027,180,0391128,180,0439129,180,04914 14,20,0052015,20,0064016,20,0077817,20,0093618,20,0111319,20,0131320,20,0153721,20,0178622,20,0206323,20,0236824,20,0270525,20,0307426,20,0347827,20,0392028,20,0440129,20,04924 14,220,0052215,220,0064316,220,0078117,220,0093918,220,0111719,220,0131820,220,0154221,220,0179222,220,0206923,220,0237524,220,0271225,220,0308226,220,0348727,220,0392928,220,0441129,220,04935 14,240,0052515,240,0064616,240,0078417,240,0094218,240,0112119,240,0132220,240,0154721,240,0179722,240,0207523,240,0238124,240,0271925,240,0309026,240,0349527,240,0393928,240,0442129,240,04946 14,260,0052715,260,0064816,260,0078717,260,0094618,260,0112519,260,0132620,260,0155121,260,0180222,260,0208023,260,0238824,260,0272625,260,0309726,260,0350427,260,0394828,260,0443129,260,04957 14,280,0052915,280,0065116,280,0079017,280,0094918,280,0112819,280,0133020,280,0155621,280,0180822,280,0208623,280,0239424,280,0273325,280,0310526,280,0351227,280,0395728,280,0444229,280,04968 14,30,0053115,30,0065316,30,0079317,30,0095218,30,0113219,30,0133520,30,0156121,30,0181322,30,0209223,30,0240124,30,0274025,30,0311326,30,0352127,30,0396628,30,0445229,30,04979 14,320,0053415,320,0065616,320,0079617,320,0095618,320,0113619,320,0133920,320,0156621,320,0181822,320,0209823,320,0240724,320,0274725,320,0312126,320,0352927,320,0397628,320,0446229,320,04990 14,340,0053615,340,0065916,340,0079917,340,0095918,340,0114019,340,0134320,340,0157121,340,0182322,340,0210423,340,0241424,340,0275425,340,0312926,340,0353827,340,0398528,340,0447229,340,05001 14,360,0053815,360,0066116,360,0080217,360,0096318,360,0114419,360,0134820,360,0157521,360,0182922,360,0211023,360,0242024,360,0276225,360,0313626,360,0354727,360,0399428,360,0448229,360,05012 14,380,0054115,380,0066416,380,0080517,380,0096618,380,0114819,380,0135220,380,0158021,380,0183422,380,0211623,380,0242724,380,0276925,380,0314426,380,0355527,380,0400428,380,0449229,380,05023 14,40,0054315,40,0066716,40,0080817,40,0096918,40,0115219,40,0135620,40,0158521,40,0184022,40,0212223,40,0243324,40,0277625,40,0315226,40,0356427,40,0401328,40,0450229,40,05034 14,420,0054515,420,0066916,420,0081117,420,0097318,420,0115519,420,0136120,420,0159021,420,0184522,420,0212823,420,0244024,420,0278325,420,0316026,420,0357227,420,0402228,420,0451329,420,05046 14,440,0054815,440,0067216,440,0081417,440,0097618,440,0115919,440,0136520,440,0159521,440,0185022,440,0213423,440,0244624,440,0279025,440,0316826,440,0358127,440,0403228,440,0452329,440,05057 14,460,0055015,460,0067416,460,0081717,460,0098018,460,0116319,460,0136920,460,0159921,460,0185622,460,0213923,460,0245324,460,0279825,460,0317626,460,0359027,460,0404128,460,0453329,460,05068 14,480,0055215,480,0067716,480,0082017,480,0098318,480,0116719,480,0137420,480,0160421,480,0186122,480,0214523,480,0245924,480,0280525,480,0318426,480,0359827,480,0405128,480,0454329,480,05079 14,50,0055415,50,0068016,50,0082317,50,0098718,50,0117119,50,0137820,50,0160921,50,0186622,50,0215123,50,0246624,50,0281225,50,0319226,50,0360727,50,0406028,50,0455429,50,05090 14,520,0055715,520,0068316,520,0082617,520,0099018,520,0117519,520,0138220,520,0161421,520,0187222,520,0215723,520,0247324,520,0281925,520,0320026,520,0361627,520,0407028,520,0456429,520,05101 14,540,0055915,540,0068516,540,0083017,540,0099418,540,0117919,540,0138720,540,0161921,540,0187722,540,0216323,540,0247924,540,0282725,540,0320826,540,0362427,540,0407928,540,0457429,540,05112 14,560,0056215,560,0068816,560,0083317,560,0099718,560,0118319,560,0139120,560,0162421,560,0188322,560,0216923,560,0248624,560,0283425,560,0321626,560,0363327,560,0408928,560,0458529,560,05124 14,580,0056415,580,0069116,580,0083617,580,0100118,580,0118719,580,0139620,580,0162921,580,0188822,580,0217523,580,0249224,580,0284125,580,0322426,580,0364227,580,0409828,580,0459529,580,05135 14,60,0056615,60,0069316,60,0083917,60,0100418,60,0119119,60,0140020,60,0163421,60,0189422,60,0218223,60,0249924,60,0284825,60,0323226,60,0365127,60,0410828,60,0460529,60,05146 14,620,0056915,620,0069616,620,0084217,620,0100818,620,0119519,620,0140420,620,0163921,620,0189922,620,0218823,620,0250624,620,0285625,620,0324026,620,0365927,620,0411728,620,0461629,620,05157 14,640,0057115,640,0069916,640,0084517,640,0101118,640,0119919,640,0140920,640,0164421,640,0190522,640,0219423,640,0251324,640,0286325,640,0324826,640,0366827,640,0412728,640,0462629,640,05169 14,660,0057315,660,0070216,660,0084817,660,0101518,660,0120219,660,0141320,660,0164921,660,0191022,660,0220023,660,0251924,660,0287025,660,0325626,660,0367727,660,0413628,660,0463729,660,05180 14,680,0057615,680,0070416,680,0085117,680,0101818,680,0120619,680,0141820,680,0165421,680,0191622,680,0220623,680,0252624,680,0287825,680,0326426,680,0368627,680,0414628,680,0464729,680,05191 14,70,0057815,70,0070716,70,0085417,70,0102218,70,0121019,70,0142220,70,0165921,70,0192122,70,0221223,70,0253324,70,0288525,70,0327226,70,0369427,70,0415628,70,0465729,70,05203 14,720,0058115,720,0071016,720,0085817,720,0102518,720,0121419,720,0142720,720,0166421,720,0192722,720,0221823,720,0253924,720,0289325,720,0328026,720,0370327,720,0416528,720,0466829,720,05214 14,740,0058315,740,0071316,740,0086117,740,0102918,740,0121819,740,0143120,740,0166921,740,0193222,740,0222423,740,0254624,740,0290025,740,0328826,740,0371227,740,0417528,740,0467829,740,05225 14,760,0058515,760,0071516,760,0086417,760,0103218,760,0122319,760,0143620,760,0167421,760,0193822,760,0223023,760,0255324,760,0290725,760,0329626,760,0372127,760,0418428,760,0468929,760,05237 14,780,0058815,780,0071816,780,0086717,780,0103618,780,0122719,780,0144020,780,0167921,780,0194322,780,0223623,780,0256024,780,0291525,780,0330426,780,0373027,780,0419428,780,0469929,780,05248 14,80,0059015,80,0072116,80,0087017,80,0104018,80,0123119,80,0144520,80,0168421,80,0194922,80,0224323,80,0256624,80,0292225,80,0331226,80,0373927,80,0420428,80,0471029,80,05260 14,820,0059315,820,0072416,820,0087317,820,0104318,820,0123519,820,0144920,820,0168921,820,0195522,820,0224923,820,0257324,820,0293025,820,0332126,820,0374827,820,0421428,820,0472129,820,05271 14,840,0059515,840,0072716,840,0087717,840,0104718,840,0123919,840,0145420,840,0169421,840,0196022,840,0225523,840,0258024,840,0293725,840,0332926,840,0375727,840,0422328,840,0473129,840,05283 14,860,0059815,860,0072916,860,0088017,860,0105018,860,0124319,860,0145820,860,0169921,860,0196622,860,0226123,860,0258724,860,0294525,860,0333726,860,0376627,860,0423328,860,0474229,860,05294 14,880,0060015,880,0073216,880,0088317,880,0105418,880,0124719,880,0146320,880,0170421,880,0197122,880,0226723,880,0259424,880,0295225,880,0334526,880,0377527,880,0424328,880,0475229,880,05306 14,90,0060315,90,0073516,90,0088617,90,0105818,90,0125119,90,0146720,90,0170921,90,0197722,90,0227423,90,0260124,90,0296025,90,0335326,90,0378427,90,0425328,90,0476329,90,05317 14,920,0060515,920,0073816,920,0088917,920,0106118,920,0125519,920,0147220,920,0171421,920,0198322,920,0228023,920,0260724,920,0296725,920,0336226,920,0379327,920,0426228,920,0477429,920,05329 14,940,0060715,940,0074116,940,0089317,940,0106518,940,0125919,940,0147720,940,0171921,940,0198822,940,0228623,940,0261424,940,0297525,940,0337026,940,0380227,940,0427228,940,0478429,940,05340 14,960,0061015,960,0074416,960,0089617,960,0106918,960,0126319,960,0148120,960,0172421,960,0199422,960,0229223,960,0262124,960,0298225,960,0337826,960,0381127,960,0428228,960,0479529,960,05352 14,980,0061215,980,0074616,980,0089917,980,0107218,980,0126719,980,0148620,980,0172921,980,0200022,980,0229923,980,0262824,980,0299025,980,0338626,980,0382027,980,0429228,980,0480629,980,05364

TABLE d'INVOLUTES

Formulaire simplifié pour engrenages cylindriques droits

Définition d'un pignon

Z nombre de dents nombre entier

x coefficient de déport valeur comprise entre -1 et +1,5

m0 module de taille 0,5/0,6/0,8/1/1,25/1,5/2/2,5/3/4/5/6/8/10/12/16

0 angle de pression de taille 20° en général ha’0 coefficient de saillie crémaillère 1,25 pour ISO

hf’0 coefficient de creux crémaillère 1 pour ISO

f rayon de fond de dent b largeur de dent

s signe de la denture s=1 (extérieure) ou s=-1 (intérieure) Caractéristiques d'une denture

s0 épaisseur de dent au primitif de taille

(creux de dent pour denture intérieure) ^𝑠0= 𝜋𝑚₀ p pression de contact

𝑝 = √^𝐹(¹ + ^𝑠) ¹

Formulaire général pour engrenages hélicoïdaux, coniques ou spiro-coniques

Définition d'un pignon

Z nombre de dents nombre entier

x coefficient de déport valeur comprise entre -1 et +1,5

m0 module de taille 0,5/0,6/0,8/1/1,25/1,5/2/2,5/3/4/5/6/8/10/12/16

0 angle de pression de taille 20° en général

0 angle d’hélice au primitif de taille valeurs courantes : 20°, 25°, 30°

0 ½ angle de cône au primitif de taille

ha’0 coefficient de saillie crémaillère 1,25 pour ISO hf’0 coefficient de creux crémaillère 1 pour ISO

f rayon de fond de dent b largeur de dent

s signe de la denture s=1 (extérieure) ou s=-1 (intérieure) rspir rayon de spirale (pour spiro-conique)

Caractéristiques d'une denture

mt0 module apparent _𝑚𝑡0= ^𝑚0

cos 𝛽0

t0 angle de pression apparent _{tan 𝛼}

𝑡0=tan 𝛼₀ cos 𝛽0

Zv nombre de dents virtuel (conique) _𝑍

𝑣= 𝑍

cos 𝛿0

rv0 rayon primitif virtuel de taille _𝑟

𝑣0=𝑚𝑡0𝑍𝑣 st0 épaisseur apparente de dent au primitif

(creux de dent pour denture intérieure) ^𝑠𝑡0= 𝜋𝑚𝑡0

Assemblage de 2 pignons

t angle de pression apparent _{inv 𝛼}

𝑡= inv 𝛼_𝑡0+ 2 tan 𝛼₀ 𝑥₁+ 𝑠. 𝑥₂ non-interférence secondaire suivre les calculs décrits au paragraphe 8.1.3

(page 68)

p pression de contact

𝑝𝐻= √^{𝐹𝑡cos 𝛽}𝑏𝜀_𝛼 ^𝑏( ¹

Métrologie d’un pignon (cylindrique uniquement)

Wk cote sur k dents 𝑊_𝑘= 𝑚₀cos 𝛼₀[(𝑘 −1

TD1 : Tracé de développantes de cercle et de lignes d’engrènement

Je vous propose un petit TD récréatif qui consiste à tracer des développantes de cercle et des lignes d’engrènement. Pour ceci vous devez vous munir de feuilles épaisses, crayon, règle, gomme, compas, ciseau, rapporteur.

Tracés de développantes de cercle

Sur 2 feuilles séparées, tracez les ddc pour un cercle de base de rayon 50 et 100mm.

Pour ceci vous pouvez utiliser les équations de la ddc (paragraphe 2.3.3) ou la méthode de tracé à la ficelle (paragraphe 2.3.2). Découpez ensuite les 2 « pignons ».

Pour le tracé avec les équations vous pouvez utiliser le tableau ci-dessous :

alpha theta r1 X1 Y1 r2 X2 Y2

invol(alpha) 50/cos(alpha) r1.cos(theta) r1.sin(theta) 100/cos(alpha) r2.cos(theta) r2.sin(theta)

0 0,0000 50,0 50,0 0,0 100,0 100,0 0,0

0,4 0,0228 54,3 54,3 1,2 108,6 108,5 2,5

0,6 0,0841 60,6 60,4 5,1 121,2 120,7 10,2

0,7 0,1423 65,4 64,7 9,3 130,7 129,4 18,5

0,8 0,2296 71,8 69,9 16,3 143,5 139,8 32,7

0,9 0,3602 80,4 75,3 28,3 160,9 150,6 56,7

0,95 0,4484 86,0 77,5 37,3 171,9 154,9 74,5

1 0,5574 92,5 78,5 49,0 185,1 157,1 97,9

1,05 0,6933 100,5 77,3 64,2 201,0 154,6 128,4

1,1 0,8648 110,2 71,5 83,9 220,5 143,0 167,8

1,15 1,0845 122,4 57,2 108,2 244,8 114,4 216,4

1,17 1,1900 128,2 47,6 119,0 256,3 95,3 237,9

Tracé de la ligne d’engrènement

Sur une troisième feuille tracez un axe et positionnez O1 et O2 avec les 3 entraxes suivants : 200, 225 et 250mm. Positionnez le centre des 2 pignons en O1 et O2 avec un objet pointu. Simulez ensuite l’engrènement entre les 2 profils. Pointez le point de contact entre les 2 profils à différents endroits de l’engrènement. Vous devez vérifier que ces points d’engrènement sont sur une même droite. Procédez ainsi pour les 3 entraxes et mesurez les 3 angles de pression .

A l’aide de votre cours (en particulier de la figure du paragraphe 2.3.5), retrouvez la

TD2 : Calcul d’un engrenage de petite voiture de circuit 24

Je vous propose de jouer au circuit de petites voitures.

La voiture est propulsée par un moteur électrique qui transmet sa rotation aux roues arrière par un engrenage cylindrique droit Z11/Z36 que nous allons étudier.

Les données de l’engrenage sont :

pignon roue

Z 11 36

m0 0,5 0,5

0 20° 20°

x 0,55 0

ha’0 1,25 1,25

hf’0 1 1

b 3 3

Question 1

Le tour du circuit fait 3m50. Un bon pilote met 7,2 secondes pour le parcourir. Quelle est la vitesse moyenne de la voiture (en m/s) ? v=3,5/7,2=0,486 m/s Question 2

Le diamètre de la roue est de 22mm. A quelle vitesse moyenne tourne le moteur (en tr/min) ?

=0,486*36/11*60/2/pi/11*1000=1381 tr/min Question 3

La voiture pèse 120g et atteint sa vitesse maximale en 0,1s. Quelle est la force de propulsion (en N) ?

F=0,486/0,1*0,12=0,583 N Question 4

Calculez le couple délivré par le moteur (en Nm) et sa puissance.

C=0,583*11/1000*11/36=0,00196 Nm P=0,00196*1381*pi/30=0,284 W Question 5

La voiture fait un désagréable bruit d’engrènement. Comment pourrait-on atténuer ce bruit ? A votre avis pourquoi ne l’a-t-on pas fait ?

Question 6

Calculez l’entraxe de cet engrenage. =23,119°

r1=2,810mm r2=9,196mm a=12mm Question 8

Calculez le rapport de conduite de cet engrenage. =1,362 Question 9

Vérifiez si cet engrenage présente une interférence en pied de dent du pignon.

ra2max=9,682mm > ra2=9,5mm Question 10

Calculez l’effort normal au profil transmis par l’engrenage.

F=0,00196/2,584*1000=0,759 N Question 11

Faites une estimation de la contrainte en pied de dent. Cette contrainte est-elle admissible ?

=2,67 MPa Question 12

Pour la matière plastique on prendra les caractéristiques suivantes : E=4000 MPa et

=0,4. Calculez la pression de contact en I, S1 et S2. PHI=15 MPa PHS1=9 MPa

TD3 : Vérification du dimensionnement d’engrenage de réducteur

Nous allons vérifier le dimensionnement d’engrenage d’un réducteur de turbine à gaz de 50 MW. La turbine se situe à gauche sur la photo ci-dessous. Elle tourne à 4918 tr/min. Le réducteur se situe sur la droite de la photo. Il convertit le régime pour l’alternateur (non visible sur la photo) qui tourne à 3000 tr/min.

Le réducteur est composé d’un engrenage cylindrique hélicoïdal de largeur 530mm. Le pignon d’entrée comporte 61 dents de module 8 et d’angle d’hélice égal à 6°.

Question 1

Combien de dents comporte la roue ? Z2=4918/3000*61=100

Question 2

On admet que le coefficient de déport du pignon est x=0,19 et celui de la roue est x=0,12. A l’aide des formules du paragraphe 8.2, calculez les rayons caractéristiques des pignons et vérifiez l’entraxe de cet engrenage.

pignon roue

Estimez la conduite de profil et de recouvrement de cet engrenage S1H1 / S2H2 108,958 162,466 IH1 / IH2 86,980 142,590

 1,76362

 2,20430

Question 4

Vérifiez que les glissements spécifiques en pied de dent du pignon et de la roue sont équilibrés

L’application de la formule du paragraphe 7.1 donne le glissement spécifique en pied du pignon gs1(S2)=0,47687 et le glissement spécifique en pied de la roue gs2(S1)=0,48094.

Question 5

A l’aide de la figure 73, calculez la force apparente Ft qui circule le long de la ligne d’engrènement. Estimez alors la force axiale Fax.

C (Nm) 97085

Ft (N) 421378

Ftg (N) 394221

Fax (N) 41434

Question 6

Estimez la contrainte en pied de dent du pignon. Qu’en pensez-vous ?

L’application de la formule du paragraphe 7.2 donne t=531 MPa. En réalité à cause de la conduite très élevée (3,96) la contrainte est bien plus basse et se situe autour de 130 MPa.

Question 7

Estimez la pression de contact en I. Qu’en pensez-vous ?

Si on prend une longueur de contact égale à b, on trouve pH=545 MPa.

TD4 : Etude de la transmission d’un robot de cuisine

Nous allons étudier la transmission d’un robot de cuisine très répandu et reconnu pour sa robustesse. Ce robot est composé d’un moteur vertical de 600W à 12000tr/min qui est situé dans le montant (sous le bouton de commande). La transmission se situe dans la partie supérieure et est composée d’une courroie suivie d’un réducteur à engrenage, lui-même suivi d’un train épicycloïdal.

La courroie et le réducteur permettent de réduire la vitesse du batteur. Le rendement de chaque étage de réduction sera pris à 0,95. Le train épicycloïdal permet de donner au batteur une double rotation : le batteur tourne avec la sortie E du réducteur et tourne également sur lui-même grâce à l’engrènement du pignon Z15 avec la denture intérieure Z50.

Question 1

Calculez la vitesse angulaire de sortie du porte-satellite E. E=-179 tr/min Question 2

Calculez la vitesse angulaire du batteur par rapport au bâti. 15=-7/3 E =417 tr/min

Question 3

Le réducteur est composé de 3 étages de réduction en série. Les entraxes sont : AC=28mm, CD=36,5mm et DE=48,5mm. En faisant l’hypothèse de déport nul, calculer les modules des 3 étages. Justifier la variation de ces modules.

mAC=1,3 mCD=1,46 mDE=1,73

Question 4

En réalité les caractéristiques de l’engrenage d’entrée sont les suivantes : pignon roue

Vérifiez l’entraxe de cet engrenage t=25,585° a=28mm Question 5

A l’achat, le robot est équipé d’un pignon d’entrée A en polyamide chargé 30% fibre de verre (E=50 GPa =0,4 Re=150 MPa). Un kit de réparation permet de remplacer ce pignon par un pignon B en acier. Ce kit est-il justifié ?

C=600*0,95/12000/11*34/*30=1,4 Nm Ft=1,4*1000/7,635=183 N

t=128 MPa pHI=424 MPa Question 6

Les caractéristiques de l’engrenage du train épicycloïdal sont : pignon roue

Calculez les caractéristiques suivantes r0, ra, rf, rb.

Question 7

Calculez l’entraxe de cet engrenage. t =19,25° a=27mm Question 8

Vérifiez si cet engrenage présente une interférence en pied de dent du pignon.

ra2min=37,485mm < ra2=37,99mm Question 9

Calculez le rapport de conduite de cet engrenage. =1,52 Question 10

Vérifiez l’équilibrage des glissements spécifiques en pied de dent.

gs1(S2)=0,682 gs2(S1)=0,666

Question 11

Calculez l’effort normal au profil transmis par l’engrenage.

P=600*0,95^4=489W

=179+417=596 tr/min C=7,83 Nm

F=7,83/10,924*1000=717N Question 12

Faites une estimation de la contrainte en pied de dent. Cette contrainte est-elle admissible ?

t=276 MPa Question 13

Calculez la pression de contact en I.

PHI=722 MPa

TD5 : Etude d’une transmission automatique de voiture

Les boîtes de vitesses traditionnelles nécessitent un embrayage qui désaccouple le moteur de la boîte de vitesses car le passage de vitesse doit se faire à couple nul.

Le passage de vitesse sous couple (powershift) n’est possible que sur les boîtes de vitesses automatiques. L’architecture de ces boîtes est fondamentalement différente et est basée sur un train de Ravigneaux dont les différents planétaires sont reliés soit au moteur soit au bâti à travers des embrayages.

Le schéma ci-dessous représente une boite automatique à 6 rapports que l’on retrouve sur plusieurs voitures haut de gamme. Elle est composée de :

- Un coupleur convertisseur permet de relier le moteur à l’entrée de la boîte. Cette transmission hydraulique autorise un glissement relatif utile pour les phases de démarrage.

- Un train épicycloïdal d’entrée dont le planétaire d’entrée est la couronne de 100 dents, le planétaire de sortie est le pignon de 50 dents relié au bâti.

- 5 embrayages/freins à commande hydraulique C456, C1234, C35R, C26, C1R permettent de combiner les liaisons entre les entrées du train de Ravigneaux.

- Une roue libre FW permet de ne pas surcharger C1R pour les phases de démarrage.

Etude du train épicycloïdal d’entrée Etude du train de Ravigneaux

Le train T1 d’entrée Z1=50 et de sortie Z6=101 a pour équation : 𝜔₆− 𝜔₂

𝜔1−𝜔2

= − 50 101

Le train T2 d’entrée Z4=41 et de sortie Z6=101 a pour équation : 𝜔₆− 𝜔₂

𝜔4−𝜔2

= 41 101 Calcul des rapports

La grille sous le schéma indique les embrayages actifs pour chaque rapport.

Rapport de 1ère

On a C1234 actif donc 4=2/3e et C1R actif donc 2=0. Comme le porte-satellite est bloqué, on a un train à axes fixes. Le train T2 donne directement :

𝜔₆= 3 × 41 2 × 101𝜔_𝑒

Rapport de 2eme Le train T1 donne directement

𝜔6=353 303𝜔𝑒

Rapport de 3eme

On a C1234 actif donc 4=2/3e et C35R actif donc 1=2/3e : les 2 entrées du train du Ravigneaux reçoivent la même vitesse.

{ équations sont nuls. Soit :

𝜔₆= 𝜔₂=2 3𝜔_𝑒

Cette configuration est singulière car elle produit un mouvement solide du train de Ravigneaux (mouvement relatif nul des satellites).

TD6 : Etude d’une transmission de vélo

Le mécanisme qui vous est proposé est un pédalier de vélo. Ce pédalier est composé d’un train épicycloïdal de Ravigneaux permettant d’obtenir 3 rapports de transmission différents qui remplacent les 3 plateaux avant qui équipent d’habitude un vélo.

L’ensemble pédalier/pédales constitue le porte-satellite du train.

Les planétaires intérieurs (pignons de 27 et 43 dents) sont reliés à un système de clavette coulissante qui permet la sélection de vitesse par la translation de la tige de commande centrale.

Le planétaire extérieur (couronne de 77 dents) du train est muni d’un plateau de 40 dents qui transmet le mouvement par une chaîne de vélo classique vers les pignons montés sur la roue arrière.

Les pignons de la roue arrière ne sont pas à étudier ici mais il s’agit également d’un système nouveau qui permet d’obtenir 3 rapports sans déraillement de chaîne. Pour simplifier vous considérerez que la roue arrière est munie de 3 pignons de 18, 21 et 24

dents. L’ensemble de la transmission permet donc d’obtenir 9 rapports sans translation (donc sans déraillement) de la chaîne.

10 roulements à gorge profonde 15/32/9

carré 11x11

Z11

Z12 Z31

Z3 Z4

plateau 40 dents axe vélo

Z11 = 27 (0,4) Z12 = 13 (0,5) Z31 = 43 (-0,3) Z3 = 17 (0,3) Z4 = 77 (0,3)

plan pédale ligne de chaîne = 48 mm

10

cable de commande

PARTIE 1 : Calcul des rapports et de l’étagement de la boîte de vitesse Question 1 : sélection de vitesse

Expliquez le fonctionnement du système de sélection de vitesse à clavette coulissante.

Pour les 3 positions du sélecteur expliquez quelles sont les liaisons entre le pignon de 27 dents, le pignon de 43 dents et le bâti.

Question 2 : calcul des rapports

Un train de Ravigneaux est un ensemble de 2 trains épicycloïdaux imbriqués qui partagent un même porte-satellite. Identifiez les entrées et sorties de ces 2 trains et écrivez les équations cinématiques qui les régissent.

Pour les 3 positions du sélecteur, calculez le rapport de vitesse entre les pédales (le porte-satellite) et le plateau de sortie (couronne planétaire de 77 dents).

tour plateau

pos 1 0,649

pos 2 1

pos 3 1,558

Question 3 : calcul des développements

Le développement consiste à calculer pour un tour de pédale, l’avancement de la bicyclette. La roue arrière est une roue de 700mm de diamètre.

Calculer les 9 développements. Commentez l’étagement de la transmission.

24 21 18

pos 1 2,379 2,719 3,172

pos 2 3,665 4,189 4,887

pos 3 5,710 6,526 7,614

L’étagement de cette boîte varie entre 1,143 et 1,168

PARTIE 2 : Etude de la tenue mécanique du système à clavette coulissante

Pour équilibrer le mécanisme, le train de Ravigneaux est composé de 5 équipements c’est-à-dire 5 ensembles de satellites montés en parallèle à 72° (la photo de la première page montre une ancienne version à seulement 3 équipements). Le couple maxi correspond au cas où un cycliste (m=120kg) pèse de tout son poids sur une pédale (longueur de manivelle=175mm).

Question 4 : effort sur la denture

Calculez l’effort transmis à l’axe du porte-satellite qui supporte le pignon de 17 dents (on prendra comme entraxe de ce pignon 45mm).

Fps=120*9,81*175/45/5=915,6 N

En isolant ce pignon calculez l’effort transmis par la denture.

Fdt=915,6/2/cos(20°)=487,2 N

Question 5 : effort supporté par les billes

Les 6 billes qui font office de clavette sont de diamètre 4mm et sont disposées sur un rayon de 14mm. En isolant le pignon de 43 dents calculez la force encaissée par chaque bille.

Fb=5*Fdt*rb/6/14=5*487,2*1,5*43/2*cos(20°)/6/14=878,8 N

Question 6 : estimation de la pression de contact sur les billes Estimez la pression de contact sur les billes.

Pb=Fb/(*r^2/2)=140 MPa

PARTIE 3 : Etude d’un engrenage

L’engrenage formé par les pignons de 27 et 13 dents est un engrenage parallèle droit.

Les 2 pignons sont en acier (E=210000 MPa, =0,3).

pignon roue

Calculez pour le pignon et la roue les rayons de base, de pied, primitif de taille, et de tête.

Question 9

Montrer que l’engrenage ainsi défini ne présente pas d’interférence en pied de dent du pignon.

ra2max=23,244mm > ra2=22,35mm

Question 10

Calculez le rapport de conduite de cet engrenage.

=1,383

Question 11

Faites une estimation de la contrainte en pied de dent. Cette contrainte vous paraît-elle admissible ? Pourrait-on envisager des pignons en matière plastique ?

=353 MPa

Dans le document André MEYER ENGRENAGES (Page 109-136)