Définition d’une denture à partir de l’outil générateur

Nous avons vu que le profil d’une denture est défini par 5 paramètres indépendants. Mais, pour cette définition, nous n’allons pas retenir les 5 paramètres (rb, Z, rf, ra, s0) mis en évidence dans le paragraphe précédent parce qu’ils ne sont pas commodes pour le tailleur d’engrenage.

Nous avons vu au chapitre 4 que l’outil de taillage « portait » la géométrie de la denture à tailler. Nous voulons définir un pignon à partir du dessin de son outil générateur. Ainsi le choix de l’outil par le tailleur sera direct et la standardisation des outils sera également plus aisée.

5.2.1 Crémaillère génératrice

Prenons le cas du taillage à la fraise mère. La première question que nous devons nous poser est : « Est ce que ce mode de génération produit bien une développante de cercle telle que nous l’avons définie au paragraphe 2.3 ? ».

Dans son traité, M. Dufailly démontre de façon détaillée que le profil généré est bien une ddc. Nous nous contentons de la justification suivante : tous les procédés de génération d’engrenage reproduisent un mouvement d’engrènement avec un outil dont le profil est en ddc. Le pignon généré aura donc naturellement un profil en ddc.

Nous extrayons le profil de la fraise mère. Ce profil a la géométrie d’une crémaillère que nous appellerons crémaillère génératrice.

La crémaillère génératrice est définie à partir d’une ligne de référence par 4 grandeurs principales : m,  , ha’, et hf’ . Nous laissons pour le moment

volontairement de côté le rayon 0 que nous considérons comme un paramètre secondaire, mais nous en reparlerons au paragraphe 5.3.

figure 43 : Crémaillère génératrice (illustration G. Henriot) Le module m0

Le module est la grandeur la plus importante car il définit l’échelle de la crémaillère. Il définit en particulier le pas p0 de la crémaillère qui est égal à m0. On peut noter que dans les pays anglo-saxons où on a l’usage des mesures en pouces, le module est remplacé par le diametral pitch (DP) qui représente le rapport du nombre de dents par le diamètre primitif exprimé en pouces. On a alors m0=25.4/DP

L’angle de pression 0

L’angle de pression donne l’inclinaison des flancs de la crémaillère. Il correspond à l’angle d’inclinaison au rayon primitif des dents du pignon taillé (voir paragraphe suivant).

Le coefficient de saillie ha’0

Le coefficient de saillie permet de définir la hauteur ha0 de la dent de la crémaillère à partir de la ligne de référence. Cette hauteur correspondra au creux des dents du pignon taillé (noté hf).

Le coefficient de creux hf’0

Le coefficient de creux permet de définir la profondeur hf0 de la dent de la crémaillère à partir de la ligne de référence. Cette profondeur correspondra à la saillie des dents du pignon taillé (notée ha).

5.2.2 Génération sans déport

Le mouvement de génération (rotation de la pièce et translation combinée de la crémaillère) correspond au roulement sans glissement de la ligne de référence autour d’un cercle que nous appellerons cercle primitif de taille. Sur le périmètre de ce cercle, on dispose Z dents de pas p0. Le rayon r0 de ce cercle doit donc vérifier :

𝑟0=𝑍𝑝₀

2𝜋 =𝑚₀𝑍 2

figure 44 : Taillage d’une denture sans déport On établit assez facilement les équations suivantes :

𝑠₀=𝜋𝑚₀ 2

𝑟_𝑎= 𝑟₀+ ℎ𝑓′₀𝑚₀ 𝑟_𝑓= 𝑟₀− ℎ𝑎′₀𝑚₀

Etant donné que la crémaillère roule sans glisser au niveau du cercle primitif de taille, la tangente à la ddc en r0 est inclinée de l’angle 0 par rapport à la droite radiale. On a alors également :

𝑟_𝑏= 𝑟₀cos 𝛼₀

figure 45

Analysons maintenant l’influence du paramètre . Dans les figures ci-dessous,



pour =14°, =20°, et =28°. On observe que le paramètre  détermine la forme « carrée » ou « triangulaire » de la denture.

figure 46 : Simulations de génération de denture : en haut à gauche, =14° ; en haut à droite, =20° ; en bas, =28°

Nous pouvons donc désormais définir le profil d’une denture par les 4 paramètres liés à l’outil générateur (m0, 0, ha’0, hf’0) auxquels s’ajoute Z. Les équations ci-dessus permettent de passer du jeu de ces 5 paramètres vers les paramètres (rb, Z, rf, ra, s0) vus au paragraphe 5.1.

5.2.3 Génération avec déport

Nous venons de voir que nous pouvions définir le profil d’une denture à partir des 4 paramètres de la crémaillère génératrice. La variabilité d’ordre 4 est cependant trop grande pour une gestion aisée des outils. Nous cherchons à la réduire. Pour ceci la norme ISO 53 standardise la hauteur de denture en figeant ha’0 et hf’0 respectivement à 1.25 et 1. Ainsi le creux de dent sera légèrement plus profond que la saillie. Il ne nous reste alors plus qu’une variabilité d’ordre 2 : m0 qui définit l’échelle et 0 qui définit la forme.

Pour faire varier la forme de la denture, il est un réglage que nous pouvons faire facilement sur la machine. Ce réglage consiste à décaler la ligne de référence de la crémaillère par rapport à la ligne de roulement (ligne en contact avec le cercle primitif de taille). Ce décalage xm0 est appelé déport et x est appelé coefficient de déport. Il sera compté positif si la crémaillère s’éloigne du centre du pignon.

figure 47 : Taillage d’une denture à déport positif Nous complétons alors les équations vues au paragraphe précédent :

𝑟₀=𝑚₀𝑍 2 𝑠₀=𝜋𝑚₀

2 + 2𝑥𝑚₀tan 𝛼₀ 𝑟_𝑎= 𝑟₀+ ℎ𝑓′₀𝑚₀+ 𝑥𝑚₀ 𝑟_𝑓= 𝑟₀− ℎ𝑎′₀𝑚₀+ 𝑥𝑚₀ 𝑟_𝑏= 𝑟₀cos 𝛼₀

Dans la figure 48, nous analysons l’influence du paramètre x. La crémaillère (en rouge) roule sur un même cercle primitif (en bleu). La trace de cette crémaillère (en noir) génère les dentures pour x=-0.4, x=0, et x=0.6. On observe que le paramètre x permet, avec une seule et même crémaillère, de modifier la forme de la denture comme le paramètre  de la figure 46. L’angle 0 n’a plus besoin d’être modifié et peut donc être figé.

Dans la suite, nous allons définir les profils de denture avec les 6 paramètres (Z, m0, 0, x, ha’0, hf’0). Comme un profil est défini par seulement 5 paramètres, il y a une redondance dans cette définition : on montrera au paragraphe 5.3.3 que 2 pignons avec des définitions différentes peuvent être identiques. Nous conservons tout de même les 6 paramètres de définition car 0, qui est figé dans une très grande majorité des cas à 20°, peut, pour certaines anciennes constructions ou pour des problèmes d’interférence de taille (voir paragraphe 5.3.1), prendre les valeurs comprises entre 14° et 30° (0=14.5° est la valeur choisie par R. Willis en 1860 car son sinus, proche de ¼, facilite les calculs. On retrouve cette valeur couramment dans les anciennes définitions de denture).

De façon normalisée (ISO 53) on prendra donc 0=20°, ha’0=1.25 et hf’0=1. La variabilité des outils de taillage n’est alors plus que d’ordre 1 et porte sur le

figure 48 : Simulations de la génération de denture : en haut à gauche, x=-0.4 ; en haut à droite, x=0 ; en bas, x=0.6