Nous avons observé les propriétés des champs qui su- bissent une discontinuité à la traversée d’une surface Σ et dont le terme cinétique du lagrangien n’est pas linéaire en w. Quid de tout cela ? Formulons les règles suivantes : trouver des lagrangiens et des configurations de champs solutions tels que d’une métrique defond g on atteint une métrique effective ˆg. Les éléments des métriques g et ˆg sont les données du problèmes.
❦ Un premier modèle bidimensionnel :
Supposons que la métrique de fond soit la métrique minkowskienne :
ds2= dt2− dr2
et la métrique que nous cherchons à atteindre telle que : ˆ
gtt= f (r), ˆgrr =− 1
f (r), ˆgtr= ˆgrt= 0. Des termes non-diagonaux de ˆg on en déduit :
soit Lww= 0, soit ∂tϕ = 0, soit ∂rϕ = 0.
Le premier cas donne un terme cinétique linéaire en w, il n’y a rien à attendre d’un tel lagrangien. De même, le dernier cas est intenable : on ne peut avoir la métrique ef- fective comme une fonction de r d’un champ indépendant de cette variable. Seul reste ∂tϕ = 0, soit ϕ = ϕ(r). On en
déduit : w = −∂rϕ∂rϕ =−(ϕ′)2.
Simplifications faites on obtient : ˆ gtt= f (r) = 1 Lw , ˆ grr=− 1 f (r)= 1 Lw −1 + L 2wLww w+ 2wLww =− 1 Lw+ 2wLww .
En substituant f(r) on réalise que l’équation : Lw+ 2wLww=
1 Lw
doit être vérifiée. Par intégration directe on établit : Lw= √ λw− 1, c’est-à-dire : L = 1 λ 2 3 λw− 1 3 2 − V (ϕ). Du signe de w on en déduit que λ < 0.
Nous obtenons la première pierre de l’édifice : un la- grangien susceptible de faire émerger la métrique effective désirée. En examinant l’élément ˆgtt on en tire le champ
ϕ(r) :
ϕ(r) = p1 |λ|
Z s 1
f2(r)+ 1 dr.
Nous sommes pratiquement à la fin du périple : on a une classe de lagrangiens, une configuration de champ dé- terminée, il reste à fixer le potentiel pour que l’équation du mouvement soit vérifiée. En tenant compte du fait que ϕ = ϕ(r), de même que w =−(ϕ′)2on établit :
∂µ( p |g|gµνL w2∂νϕ) =−2ϕ′′(Lw− 2(ϕ′)2Lww) =−2ϕ′′(Lw+ 2wLww) =−2ϕ′′f (r) = 2p1 |λ| 1 p f2(r) + 1 f′(r) f (r) ayant utilisé la relation vérifiée par le lagrangien. On en déduit : δV δϕ(r) =− 2 p |λ| 1 p f2(r) + 1 f′(r) f (r).
Relation par laquelle on peut reconstruire le potentiel. Il s’agit désormais de quitter les généralités et de se choisir un exemple plus concret. La forme particulière de la métrique ˆgtt = (ˆgrr)−1 apparaît dans la métrique de
Schwarzschild pour laquelle : f (r) = 1−1
r.
L’intégration du champ ϕ(r) est quelque peu labo- rieuse, une stratégie menant au résultat est la suivante : faire le changement de variable u = 1/f(r) pour f(r) = 1− 1/r, poser u = tg θ, puis utiliser la variable t = tg θ
2
avec les formules de duplication, on arrive ainsi à une fraction rationnelle qui se résout en éléments simples et s’intègre à vue. Reste à inverser tous les changements de variables ce qui en fin de calcul donne :
ϕ(r) = 1 2p|λ| ln|r − 1| − r √2r2− 2r + 1 + 1 − 2r √ 2r2− 2r + 1 + 1 − r +√1 2ln √ 2r2− 2r + 1 + 1 −√2r √ 2r2− 2r + 1 + 1 +√2r ,
où nous avons négligé la constante d’intégration. On re- marquera qu’avec [ ]|r, qui n’est pas la continuité au sens
de Cauchy, ϕ(r) est continue en r = 1. La dérivée du po- tentiel en tant que fonction de la variable radiale s’écrit :
δV δϕ(r) =− 2 p |λ| 1 √ 2r2− 2r + 1 1 r− 1.
111 Pour terminer cette étude il nous faut réexprimer δV /δϕ
en terme de ϕ, c’est-à-dire inverser ϕ(r) en r(ϕ) puis in- tégrer formellement. De l’écriture de ϕ(r) et δV /δϕ(r) on ne peut inverser l’un en l’autre sous une forme fermée. Un logiciel comme Mathematica R
sait résoudre numérique- ment un tel problème. La figure ci-après montre ϕ(r) [en (a)] ainsi que V (ϕ) [en (b)].
Avec ce premier modèle, qui présente d’utiles proprié- tés d’intégrabilité, nous avons su illustrer la méthode de calcul en : trouvant un lagrangien (son terme cinétique, son potentiel) ainsi que le champ solution capable de faire émerger une métrique effective de type Schwarzschild. ❦ Un second exemple bidimensionnel :
Continuons ce procédé d’illustration, dans les lignes qui suivent nous considérons un modèle plus proche encore de celui que nous avons publié.
Étudions une fois encore un modèle bidimensionnel où la métrique sous-jacente est minkowskienne. Cette fois cherchons à atteindre la métriqueeffective de Milne :
dˆs2= dt2
− t2dr2.
Sous l’argument que les éléments non-diagonaux de la mé- trique effective sont nuls et que les autres sont des fonc- tions de la variable t on en déduit :
∂rϕ = 0 ⇔ ϕ = ϕ(t) ⇒ w = ∂tϕ∂tϕ = ( ˙ϕ)2.
Si on examine la composante ˆgtt on observe :
ˆ
gtt= 1 =
1
Lw+ 2wLww ⇔ Ψ[w] = 1,
ce qui nous permet d’intégrer la densité lagrangienne à : L = w− 2λ√w− V (ϕ).
La composante ˆgrr=−t2 nous fournit l’équation :
1 Lw
= t2,
qui impose à λ d’être négatif et nous permet d’intégrer le champ à la forme : ϕ(t) = λ t + lnr t− 1 t + 1 ,
la constante d’intégration additive ayant été prise nulle. Identiquement à l’exemple précédent, il n’est pas question d’inverser ϕ(t) en t(ϕ). Pour que l’équation du mouvement soit tenue le potentiel, en tant que fonction de la variable t (au travers du champ ϕ(t)), doit vérifier l’équation :
δV
δϕ(t) =−2 ¨ϕ(t).
En faisant appel au logiciel on retrouve le potentiel V (ϕ) représenté en (d) de la figure ci-après.
❦ Quelques autres résultats :
De fait, nous pourrions encore choisir des métriques et trouver toute une classe de lagrangiens susceptibles de faire émerger celles-ci sur un fond minkowksien. De même, on peut souhaiter résorber une métrique sous-jacente d’un espace-temps courbe vers une métrique effective plate. Plus encore, on peut changer les règles du jeu, fixer le la- grangien (cinétique + potentiel), le champ ϕ et la métrique de fond, p.ex. sous le prétexte qu’en laboratoire nous ne sommes capables de produire que des objets de types bien spécifiés, puis regarder toutes les métriques effectives à même d’être produites sous ces contraintes. Les possibili- tés de jeux sont innombrables. Nous ne poursuivrons pas ici une telle étude.
Mentionnons, néanmoins, que durant nos calculs il a souvent été pertinent de fixer la forme de Ψ[w] telle que :
Ψ[w] = αLww+ βLw+ γ
qui rend L(w) complètement intégrable. De fait nous pour- rions relaxer α à α(w), cela ne modifierai pas l’intégrabilité de L(w). On en déduit quatre grandes classes de lagran- giens :
(i) β = 1, α6= 0 : L(w) = aw + (bw + c) ln(1 + dw), (ii) β = 1, α = 0 : L(w) = aw + bw ln|w|,
(iii) β6= 1, α 6= 0 : L(w) = aw + b(1 + cw)d, (iv) β6= 1, α = 0 : L(w) = aw + bwd.
Les deux premiers types de lagrangiens sont relativement exotiques et il est difficile de les considérer comme viables. Indépendamment de l’hypothèse d’intégrabilité, on peut étudier les deux derniers types de lagrangiens pour leur intérêt propre. D’ailleurs, pour le lagrangien de type (iii) en posant : a = 0, b = 1 λ 2 3(−1) 3 2, c =−λ et d = 3 2 on retrouve le lagrangien du schwarzschild bidimensionnel. De même, avec
a = 1, b =−2λ, c = 12
on obtient pour le type (iv) le lagrangien nécessaire à la métriqueeffective de Milne. De fait, dans le type (iii) une paramétrisation pertinente est telle que :
a + bcd =1 2 pour la limite w → 0, ou
a =1
2 et d < 1
pour la limite w → ∞, de telle sorte qu’en certains do- maines on recouvre le terme cinétique usuel.
(a) r ϕ(r) 1 (b) ϕ V(ϕ) (c) t ϕ(t) −1 1 (d) ϕ V(ϕ) (e) t ϕ(t) (f) ϕ V(ϕ)
Figure
C1. Diagrammes pour les métriques effectives de Schwarzschild [(a)-(b)], Milne [(c)-(d)] et de Sitter [(e)- (f)]. Dans tous les cas apparaît la constante d’intégration λ qui doit être négative, ici nous avons posé λ = −1. Les diagrammes (e) et (f) sont respectivement ceux du champ et du potentiel induisant la métrique effective de de Sitter de la publication [16]. Le facteur d’expansion contient la constante de Hubble H, nous avons posé H = 1 pour les deux graphiques. Pour tous les champs ϕ la constante d’intégration additive à été considérée comme nulle. Les unités de tous les schémas sont arbitraires. Les diagrammes (b) et (d) sont des reconstructions numériques des potentiels V (ϕ). En (b) la constante d’intégration à été choisie telle que V (ϕ = 0) = 0. En (d) le potentiel n’est pas aussi abrupt que le dessin le laisse paraître, mais la variation de V (ϕ) pour |ϕ| ≤ 1 étant relativement plus élevée que pour |ϕ| ≥ 1 ce détail n’est pas visible sur le schéma.113