Dans le premier chapitre nous avons rappelé la quantifi- cation canonique de la mécanique classique. Cette quanti- fication est relativement directe quand l’espace des phases (V, ω) est tel que V a la structure d’un espace vectoriel, c’est par exemple le cas pour V = T∗Rn
≃ R2n. Autre-
ment, suivant la géométrie ou la topologie de l’espace des phases nombre d’observables ne peuvent être quantifiées en respectant les règles de quantification canonique. En un certain sens la quantification par états cohérents gé- néralisés, que nous exposons dans ce chapitre, permet de contourner ces difficultés, ou, du moins fournit des idées quant à la façon de les contourner.
Ce chapitre est articulé de la façon suivante. Dans un premier temps, nous rappellerons l’exemple élémentaire mais fondamental des états cohérents de l’oscillateur har- monique. Ensuite, après avoir établi les propriétés remar- quables que vérifient ces états cohérents, on rappellera le formalisme des états cohérents généralisés scalaires. Fina- lement, on présentera les états cohérents généralisés vecto- riels qui sont ceux que nous utilisons dans les deux travaux qui suivent ce chapitre.
§.États cohérents de l’oscillateur
harmonique
L’oscillateur harmonique est un problème bien connu de la mécanique quantique pour lequel l’hamiltonien est :
H = P 2 2m+ 1 2mω 2Q2.
L’opérateur position dans la représentation de Heisenberg s’écrit :
Q(t) = e~iHtQe− i ~Ht
et on peut trouver des états |zi paramétrés par z ∈ C, tels qu’en moyenne le mouvement classique soit retrouvé :
hz|Q(t)|zi = 2 r
~
2mω |z| cos(ωt + ϕ),
où ϕ = arg z. Ces états cohérents |zi canoniques [7, 8, 121, 122] peuvent être construits comme :
|zi = e−|z|22 ∞ X k=0 zk √ k! φk
où les φk forment une base hilbertienne de l’espace des
états HOH. De fait, pour l’oscillateur harmonique le pro-
blème est analytiquement résoluble et, en représentation
position ou en représentation impulsion, les φksont des po-
lynômes de Hermite proprement normalisés. On distingue quatre propriétés remarquables que vérifient ces états co- hérents :
1. Les états |zi saturent l’inégalité de Heisenberg : h∆Qizh∆P iz= ~ 2, avec h∆Qiz= p hz|Q2|zi − hz|Q|zi2.
2. Les états |zi sont des vecteurs propres d’un opéra- teur d’annihilation de valeur propre z :
a|zi = z|zi, z ∈ C, avec a = (2m~ω)−1
2(mωQ + iP ).
3. Les états |zi s’obtiennent comme orbite de l’état fondamental |0i sous l’action unitaire du groupe de Weyl-Heisenberg :
|zi = e(za†−za)
|0i.
On rappelle que l’algèbre de Heisenberg AH,
de l’oscillateur harmonique, est engendrée par {Q, P, 1HOH} telle que [Q, P ] = i~1HOH, c’est-à-
dire : [a, a†] = 1 HOH.
4. Les états |zi forment une base surcomplète dans l’es- pace de Hilbert des états HOH, ce qui se lit sur la
résolution de l’identité : 1HOH = 1 π Z C |zihz| dx dy, où z = x + iy, x, y ∈ R.
Ces quatre propriétés servent, chacune, de point de départ pour définir des états cohérents généralisés. Par exemple, la propriété 3 est au cœur de l’approche des états cohé- rents par Perelomov [122]. Les états cohérents générali- sés que nous utilisons suivent l’approche de la quantifica- tion, dite de Klauder-Berezin-Toeplitz, telle que dévelop- pée dans [7, 8]. Brièvement, soit X un espace muni d’une mesure µ et l’espace de Lebesgue L2(X, µ) des fonctions
de carré intégrable : kfk2= Z X |f(x)|2dµ(x) < +∞, hf|gi = Z X f (x)g(x) dµ(x).
Pour se fixer les idées on peut considérer X comme étant l’espace des phases, mais ce n’est pas une nécessité. Parmi L2(X, µ) on choisit un sytème orthonormé φ
k de L2(X, µ)
qui engendre un sous-espace séparable H de dimension finie N ou infinie. Dans le cas de la dimension infinie, on demande à ce que ces vecteurs vérifient la condition (cru- ciale !) :
0 <N (x) =X
k
|φk(x)|2< +∞
vérifiée presque partout vis-à-vis de µ. Enfin, on construit les états cohérents par la formule :
|xi = p 1 N (x)
X
k
φk(x)|φki ∈ H .
Notons que, par construction, les états cohérents |xi véri- fient alors les deux propriétés :
1. Normalisation :
hx|xi = 1, 2. Résolution de l’identité dans H :
Z
X
N (x)|xihx|dµ(x) = 1H.
Grâce à ces états cohérents on quantifie les observables “classiques” f, c’est-à-dire des fonctions sur X possédant certaines propriétés mathématiques, par :
ˆ
f = Af =
Z
X
f (x)|xihx| N (x) dµ(x)
où f(x) est le symbole, dit supérieur, de l’opérateur Af =
ˆ
f . De même, la valeur moyenne dans un état cohérent : hx|Af|xi = ˇAf est appelé le symbole inférieur de Af. On
remarquera qu’il n’y a aucune ambiguïté dans ce pro- cessus de quantification, pas de problème d’ordonnance- ment par exemple. Par contre, il n’y a pas nécessairement Aq2 = (Aq)2. Enfin, on notera que cette quantification
est associée au choix de l’espace engendré par les φk dans
L2(X, µ). Il faudra alors justifier la pertinence du choix
de cet espace de hilbert H en comparant les propriétés spectrales des opérateurs quantifiés de cette façon et les valeurs observées.
§.États cohérents vectoriels
Les états cohérents vectoriels [123] étendent la construction des états cohérents généralisés où les états
cohérents sont à plusieurs composantes |x, ii avec x ∈ X, comme précédemment, et i appartient à un ensemble dis- cret d’indices (généralement fini). On considère deux es- paces de Hilbert H = H et K complexes séparables. Soient φk et χi des bases hilbertiennes de, respectivement, H et
K. On considère B2(K) l’espace vectoriel des opérateurs
de Hilbert-Schmidt sur K. Soit Fk : X → B2(K) une ap-
plication linéaire continue qui vérifie les deux propriétés suivantes : 1. normalisabilité, ∀x ∈ X : 0 <N (x) = dim KX k=0 Tr |Fk(x)| < +∞ où |Fk(x)|2=|Fk(x)F †
k(x)| est la partie positive de
l’opérateur Fk(x).
2. résolution de l’identité dans K : Z
X
Fk(x)Fl†(x)dν(x) = δkl1K.
Alors, on construit les états cohérents |x, ii par : |x, ii = p 1
N (x)
dim KX k=0
Fk(x)χi⊗ φk
et ceux-ci vérifient les deux relations : (a) normalisation : dim KX i=1 k|x, iik2= 1, (b) résolution de l’identité : dim KX i=1 Z X N (x) |x, iihx, i| dν(x) = 1H⊗ 1K.
Enfin, à une observable classique f sur X on associe l’opé- rateur : ˆ f = Af = dim KX i=1 Z x f (x)|x, iihx, i| N (x)dν(x) et la valeur moyenne dans un état cohérent :
ˇ Af =
dim KX i=1