Quotients d’algèbres avec des τ-tranches

SoitAune algèbre ayant uneτ-trancheΣ. Dans la présente sous-section, on étudie les quotientsC =A/I, avecI un idéal contenu dans AnnΣ. Comme conséquence des résultats principaux de cette section nous obtenons que pour une telle algèbre C, on aτ_CΣ =τ_AΣ. Donc le Corollaire 4.2.2 s’applique à toutes les τ-tranches.

Le premier des deux lemmes suivants décrit les prédécesseurs et successeurs im-médiats d’une τ-tranche, alors que le deuxième décrit les morphismes irréductibles qui les relient à la τ-tranche. Avec cette information on pourra prouver le théorème principal de cette sous-section. On averti au lecteur que les trois résultats suivants sont équivalents à [47, Lemma 2.7].

Lemme 5.2.1. Soient Σ une τ-tranche dans modA, I un idéal de A tel que I ⊂ AnnΣ et f :X →Y un morphisme irréductible dans modA.

1. Si X ∈Σ, alors Y ∈modA/I; 2. Si Y ∈Σ, alors X ∈modA/I.

Démonstration. On prouve le premier énoncé, le second étant dual.

Notons queTΣ est unA/I-module parce queI ⊂AnnΣ. Alors tout facteur direct de T_Σ est aussi un A/I-module. Supposons que X ∈ Σ et que Y 6∈ Σ. Alors le Lemme 2.3.14 implique que Y n’est pas projectif. Donc τ_AY ∈ Σ parce que Σ est une présection dans Γ_A. Considérons la suite presque scindée se terminant en Y.

0→τ_AY −→^g E ^g

0

−→Y →0.

SiEest unA/I-module, alorsY l’est aussi parce qu’il est le conoyau d’un morphisme dans modA/I. Supposons que E n’est pas un A/I-module. Alors il existe un facteur direct indécomposableY₁deEqui n’est pas unA/I-module. CommeY₁est un facteur direct indécomposable de E, il existe deux morphismes irréductibles f₁ : τ_AY → Y₁ eth1 :Y1 →Y. Nous savons queτAY ∈Σet queY1 6∈Σ, doncτAY1 ∈Σ. Considérons la suite presque scindée se terminant enY₁.

0→τAY1 g1

−→E1 g⁰₁

−→Y1 →0.

On peut répéter le processus de façon récursive pour trouver, pour chaque n ∈ N, un A-module Yn qui n’est pas un A/I-module, qui est tel que τAYn ∈ Σ et des morphismes irréductiblesf_n :τ_AYn−1 →Y_neth_n:Y_n →Yn−1. De plus la composition h_nhn−1. . . h₁ est un chemin sectionnel pour tout nombre natureln.

Ainsi, nous avons construit un chemin sectionnel infini dans ΓA. Donc Yi 6= Yj

si i 6= j en vertu de [10, Corollary IX.2.3]. De plus 0 6= τ_AY_i ∈ Σ pour tout i. Or,

|Σ|<∞en vertu du Lemme 3.1.4. Cette contradiction vient de la supposition queY n’est pas unA/I-module. Alors Y est un A/I-module. Ce qui achève la preuve.

Lemme 5.2.2. SoenitI un idéal deAtel queI ⊂AnnΣetf :X →Y un morphisme avec X et Y indécomposables. Supposons que X ou Y appartient àΣ. Alorsf est un morphisme irréductible dansmodAsi et seulement sif est un morphisme irréductible dans modA/I.

Démonstration. Supposons que X ∈ Σ. Par hypothèse, f est un morphisme irréductible dans modAet le Lemme 5.2.1 implique queXetY sont desA/I-modules.

En particulierf est un morphisme irreductible dans modA/I.

Soit f un morphisme irréductible dans modA/I. En particulierX et Y sont des A/I-modules. Donc f est un morphisme dans modA, qui n’est pas nécessairement irréductible. Alors f n’est pas une section dans modA parce qu’il ne l’est pas dans

modA/I. Soit X de donner est une factorisation dans modA/I. Par hypothèse,f est irréductible dans modA/I. Au vu de ce qui précède, soit [f₁, . . . , f_t]^t est une section, soit [f₁⁰, . . . , f_t⁰] est une rétraction. Mais chaquef_i est un morphisme irréductible, de ce fait, au moins un des f_i⁰ est une rétraction et donc un isomorphisme. Ainsi f est irréductible dans modA.

La preuve est achevée, l’autre énoncé étant dual.

Comme corollaire des lemmes précédents on obtient le corollaire suivant, qui a de conséquences multiples. Nous verrons des implications de ce résultat tout au long du chapitre.

Corollaire 5.2.3. Soit I un idéal de A tel que I ⊂ AnnΣ. Alors τ_A/IX = τ_AX et τ_A/I⁻¹X =τ_A⁻¹X pour tout X ∈Σ.

Démonstration. Soit X un facteur direct indécomposable de T_Σ. Considérons la suite presque scindée de modA se terminant enX.

0→τ_AX −→^u M −→^v X →0

Le Lemme 5.2.1 implique que tout facteur direct de M est un A/I-module et le Lemme 5.2.2 implique que tout summand direct de v est un morphisme irréductible dans modA/I. En outre, comme v est un morphisme presque scindé à droite dans modA, il l’est aussi dans modA/I aussi. Cela implique que la suite presque scindée se terminant en X de modA coïncide avec la suite presque scindée se terminant en X de modA/I. Alors τ_AX = τ_A/IX. On peut prouver de façon duale que τ_A⁻¹X = τ_A/I⁻¹X.

Une conséquence immédiate du Corollaire 5.2.3 est que le Corollaire 4.2.2 s’ap-plique aux τ-tranches.

Corollaire 5.2.4. Soient Σ une τ-tranche, B = End_A(T_Σ) l’algèbre d’endomor-phismes de Σ et C = A/AnnΣ. Alors il existe une paire de torsion (X,Y) dans modB telle que

1. Le foncteur Hom_A(T_Σ,−) :modA−→modB induit une équivalence de catégo-ries entreFacTΣetY avec quasi-inverse induite par−⊗BTΣ :modB −→modA.

2. Le foncteur Ext¹_A(T_Σ,−) : modA −→ modB induit une équivalence de ca-tégories entre Sub(τ_AT_Σ) et X avec quasi-inverse induite par Tor^B₁(−, T_Σ) : modB −→modA(τ_AT_Σ).

Démonstration.Le Corollaire 5.2.3 implique queτ_AT_Σ =τ_CT_Σ, oùC =A/AnnΣ.

Par conséquent les conditions du Corollaire 4.2.2 sont satisfaites pour touteτ-tranche Σ.

Par ailleurs, le Corollaire 5.2.3 nous permet de donner une description assez ex-plicite des classes de torsion induites par des τ-tranches.

Proposition 5.2.5. Soit Σ une τ-tranche dans modA. Alors Fac(T_Σ) = addT_Σ ∪ Fac(τ⁻¹T_Σ).

Démonstration. On a prouvé dans le Corollaire 5.2.3 que τ_A⁻¹(TΣ) = τ_C⁻¹(TΣ), où C = A/AnnΣ. De plus Σ est une tranche complète dans modC en vertu du Corollaire 5.1.4. Donc il suffit de prouver l’énoncé dans le cas où A est une algèbre inclinée ayant Σcomme tranche complète. La deuxième partie de la preuve est bien connue.

Remarque 5.2.6. Soit Σ une τ-tranche dans modA. AlorsΣ est une tranche com-plète dans modC en vertu du Corollaire 5.1.4. Donc [10, Lemma VIII..5.5] implique que Hom_C(τ_C⁻¹T_Σ, T_Σ) = 0. Par conséquent Hom_A(τ_A⁻¹T_Σ, T_Σ) = 0. Ainsi toute τ-tranche Σ est en même temps un module τ-inclinant sur son support et un module τ⁻¹-coinclinant sur son support dans modA. Ce comportement des τ-tranches gé-néralise la propriété des tranches complètes qui sont en même temps des modules inclinants et coinclinants.

Théorème 5.2.7. Soient Σ une τ-tranche dans modA et I un idéal de A tel que I ⊂AnnΣ. Alors Σ est aussi une τ-tranche dans modA/I.

Démonstration.Premièrement on prouve queΣest une présection dans modA/I.

Soit α : X → Y une flèche dans Γ_A/I telle que X ∈ Σ. Si Y ∈ Σ, il n’y a rien à prouver. Supposons le contraire. Alors le Lemme 5.2.2 implique queαest induite par un morphisme irréductiblef :X →Y dans modA. Écrivons la suite presque scindée se terminant enY.

0→τ_AY ^g

0

−→E ^f

0

−→Y →0

CommeX est un facteur direct de ΣetΣest une présection dans modA, nous avons que τAY ∈Σ. Alors, le Corollaire 5.2.3 implique queY =τ_A⁻¹τAY =τ_A/I⁻¹τAY. Donc τ_AY =τ_A/IY. Ainsi τ_A/IY ∈Σ.

On peut dualiser ces arguments pour prouver que si Y ∈Σetβ :X →Y est une flèche dans Γ_A/I alors soit Y ∈ Σ, soit τ_A/I⁻¹Y ∈ Σ. Donc Σ est une présection dans modA/I.

De plus Hom_A/I(Σ, τ_A/IΣ) = Hom_A(Σ, τ_A/IΣ) = Hom_A(Σ, τ_AΣ) = 0. Donc Σ est une présection τ-rigide dans modA/I. Le Lemme 5.1.5 implique que Σ est une τ-tranche dans modA/I.