Rayonnement acoustique d’une stucture statorique
5.1 Quelques rappels et notions de rayonnement acoustique
Cette section se propose de faire un rappel des ´equations qui r´egissent le comportement acoustique lin´eaire d’un fluide ainsi que les diff´erentes notions couramment employ´ees en acoustique lin´eaire. Pour les lecteurs d´esirant un approfondissement des notions rappel´ees ici, nous pr´ef´ererons les renvoyer aux ouvrages classiques tels que [Lesueur88] [MorseIngard86].
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5.1.1 Equations fondamentales de l’acoustique lin´´ eaire L’acoustique lin´eaire est une branche de la m´ecanique des fluides uti-lisant les hypoth`eses suivantes : fluides parfaits, pas de viscosit´e, pas de conduction thermique. Nous ne nous int´eressons qu’aux perturbations au-tour d’un point d’´equilibre, soit pour un point M rep´er´e en coordonn´ees d’Euler, tous les param`etres seront ´ecrits sous la forme :
x(M, t) =x0(M, t) +δx (5.1) L’acoustique lin´eaire est caract´eris´ee par les deux ´equations fondamentales suivantes :
1. conservation de la masse par unit´e de volume (ρ) : Z q est le d´ebit-masse par unit´e de volume
2. conservation de la quantit´e de mouvement par unit´e de volume (ρ·v) : Z
Ces deux ´equations sont compl´et´ees par une ´equation d’´etat thermodyna-mique qui d´efinit la valeur de la c´el´erit´e du son dans le fluide :
c=∂p
∂ρ
S (5.6)
Aux fr´equences qui nous int´eressent (fr´equences audibles), on peut consid´erer que les mouvements sont adiabatiques – pas d’´echange de chaleur et entropie S sensiblement constante :
p·vγ = constante (5.7) γ= Cp
Cv (5.8)
avecγ= 73 pour les gaz diatomiques comme l’air (N2,O2. . .).
Dans les hypoth`eses de l’acoustique classique – lin´eaire –, on consid`ere le fluide comme parfait, il n’y a pas de cisaillement et le mouvement est `a potentiel sans tourbillonnement (`arotationnel nul). Le milieu est homog`ene et isotrope et nous n’avons que des petits mouvements (δp=pAetpAp0),
ce qui conduit finalement, si le fluide est au repos (v0 = 0) et en supprimant
On peut combiner ces trois ´equations pour montrer que chacun des termes pA,vA ob´eit `a une ´equation des ondes :
5.1.2 Equations ´´ energ´etiques de l’acoustique lin´eaire
Les ´equations pr´ec´edentes sont suffisantes pour r´esoudre le probl`eme de rayonnement acoustique, cependant, on utilise souvent l’´equation de conser-vation de l’´energie. Si nous d´efinissons les ´energies cin´etiques et potentielles par unit´e de volume d’un ´el´ement de fluide comme1 :
T = 1
2 ·ρ0· kvk2 (5.14)
V = 1 2· p2
ρ0·c2 (5.15)
et si l’on poseE =T +V comme la densit´e volumique d’´energie, E = 1 Nous obtenons pour la loi de conservation de l’´energie dans le cas o`u il n’y a pas de sources, les ´equations (5.17) et (5.18) :
∂
1En acoustique, seules les variations autour d’un point d’´equilibre sont int´eressantes (seules les variables xA sont utiles). Ainsi, comme nous n’´etudions que les termes de variationxA, pour des raisons de simplification d’´ecriture, nous supprimerons d´esormais les indicesAet nous ne consid´ererons que les variations des termesx
Le second membre correspond `a la puissance fournie au syst`eme par l’ext´erieur.
On appelle g´en´eralement la quantit´eF =pv le flux acoustique – la densit´e surfacique de flux de puissance acoustique. Dans le cas o`u des sources sont pr´esentes par l’interm´ediaire des param`etresq etf d´efinis pr´ec´edemment, la loi deconservation de l’´energie prend la forme de l’´equation (5.19) :
p·q
ρ0 +f·v
=∇ ·(pv) + ∂
∂t(E) (5.19)
En g´en´eral, ces notions d’´energie sont utilis´ees en moyenne. Pour le cas particulier d’ondes sinuso¨ıdales, en posant ¯x comme la valeur moyenne de x, on peut montrer qu’en dehors des sources [Lesueur88] :
T¯ = 1
4 ·v·v∗ (5.20)
V¯= 1
4 · p·p∗
ρ0·c2 (5.21)
L= ¯T −V¯ (5.22)
En posant Π = 12 ·pv∗ comme l’intensit´e acoustique que l’on d´ecompose ensuite en une partie r´eelle et une partie imaginaire Π =I+jJ, on peut montrer ´egalement que [Lesueur88] :
∇ · I = 0 (5.23)
∇ · J =−2ω· L (5.24)
Ces deux quantit´es sont utilis´ees pour caract´eriser les sources, ainsi si nous reprenons le calcul en incluant les termes de sources, on obtient pour la puissance de ces sources une partie active et une partie r´eactiveP =Pa+jPr
qui sont li´ees aux intensit´es acoustiques par les relations : Pa=−
Z
S I ·ndS (5.25)
Pr=− Z
V
2ω· LdV − Z
S J ·ndS (5.26)
La quantit´e Π est l’intensit´e qui est un vecteur traduisant localement la puissance moyenne sur le temps par unit´e de surface.I est l’intensit´e active ou propagative,J l’intensit´e r´eactive ou non propagative.I a un caract`ere conservatif. On peut donc choisir n’importe quelle surface qui entoure la source pour mesurer la puissance acoustique de cette derni`ere.
5.1.3 Caract´erisation des sources en acoustique
Pour caract´eriser la puissance rayonn´ee par une source, on s’int´eresse surtout `a la partie propagative de la puissance, c’est `a dire `aI2.
Pa= Z
S IdS = Z
S I ·ndS (5.27)
Ainsi, en se pla¸cant dans une chambre an´echo¨ıque – sans ´echo – et en ef-fectuant des mesures suffisamment loin de la source3, on peut assimiler le champ `a une onde plane :
Fig. 5.1 – exemple d’approximation en onde plane d’un champ sph´erique
p=ρ0·c· kvk (5.28)
I =p·¯v∗= p2rms
ρ0·c (5.29)
2le signe devant l’int´egrale est parfois positif ou n´egatif suivant la convention de signe adopt´ee pour la normale `a la surface. Dans la suite de l’´etude on conservera une signe positif devant l’int´egrale en se rappelant que la puissance provient de la source `a l’int´erieur de cette surface
3par suffisamment loin, on entend pouvoir faire l’hypoth`ese du champ lointain (ra, λ avecr distance d’observation de la source,a taille de la source etλ longueur d’onde du champ rayonn´e), cela signifie qu’`a cette distance le champ peut ˆetre assimil´e, localement,
`
a une onde plane sur une r´egion dont la dimension est de l’ordre deλ(cf.Fig5.1)
Si nous mesurons la pression efficace (Root Mean Square) prms = ¯p2, la puissance rayonn´ee vaudra4 :
Pa= 1 ρ0·c·
Z
S
p2rmsdS (5.30)
= 1
ρ0·c·X
i
p2rms, i·Si (5.31)
Pour effectuer ces mesures, on se d´efinit g´en´eralement un maillage d’une surface entourant la source5. Ces surfaces peuvent ˆetre semi-sph´eriques, cu-biques, parall´elip´ediques (cf.Fig5.2). En chacun desnoeuds dumaillage, on
Fig. 5.2 – exemples de surface de mesure de l’intensit´e en fonction des dimensions de la source
rel`eveI – ou simplementp si nous pouvons faire l’approximation de champ lointain. `A l’aide de ces relev´es de mesure, on peut caract´eriser la distribu-tion spatiale du champ acoustique rayonn´e par la source. Ces mesures nous donnent acc`es `a :
1. ladirectivit´e de la source : ces directions d’´emission privil´egi´ees 2. lespectre du champ acoustique : sa nuisance sonore (bruit blanc, rose,
monochromatique. . .)
3. la puissance acoustique de la source : contrairement `a la pression qui d´epend de la distance d’audition, la puissance est une donn´ee in-trins`eque de la source
Dans la pratique, on utilise g´en´eralement des ´echelles logarithmiques pour exprimer les diff´erentes grandeurs. Ceci permet d’introduire les notions
4plutˆot que d’utiliser l’approximation en onde plane, la tendance actuelle est d’utili-ser des m´ethodes intensim´etriques qui permettent de mesurer directement I = pv¯∗ en mesurantp`a l’aide d’une moyenne sur deux microphones et de d´eduirev `a partir d’une approximation du gradient de pression entre ces deux microphones. Cette m´ethode per-met de travailler avec des quantit´es vectorielles, ce qui perper-met de pouvoir se rapprocher de la source et ´egalement de ne plus avoir besoin de chambre an´echo¨ıque (cf. par exemple [Fahy95])
5le type de surface a peu d’influence puisque l’intensit´e est conservative en dehors des sources, l’int´egrale de surface de l’intensit´e acoustique sera donc identique quelle que soit la surface choisie
de niveau de pression ou deniveau de puissance6 :