Conversion ´ electrom´ ecanique d’´ energie
3.4 Calcul des efforts d’origine magn´ etique
=
(vecteur rang de temps de
taille du vecteur rang temps conductance
z }| { {1· · ·1}T ·
vecteur rang de temps de {F mmˆ }
T
(3.30) matrice rang
d’es-pace deB
=
(vecteur rang d’es-pace de
taille du vecteur rang espace conductance
z }| { {1· · ·1}T ·
vecteur rang d’es-pace de{F mmˆ }
T
(3.31) Cette matrice [ ˆB] peut ˆetre vue de mani`ere identique `a la matrice de force magn´etomotrice de l’´equation (3.22) o`u maintenant, `a un rang de tempsn0 et un rang d’espacem0correspond un champ harmonique de densit´e de flux tournant dans l’entrefer `a la vitesse nm0ω0 . On peut ´egalement utiliser l’outil graphique de spectre en 2D pour repr´esenter le champ de densit´e de flux.
Cette matrice [ ˆB] va ˆetre utilis´ee dans la section suivante pour calculer les harmoniques de couple ainsi que les efforts radiaux `a l’origine des nuisances acoustiques.
3.4 Calcul des efforts d’origine magn´ etique
Dans cette section, nous allons montrer comment apparaˆıssent les dif-f´erents efforts cr´e´es par les champs magn´etiques pr´ec´edemment calcul´es. La perm´eabilit´e des mat´eriaux ferromagn´etiques classiques ´etant tr`es sup´erieure
`
a celle de l’air – plusieurs miliers de fois –, il estraisonnablede consid´erer que le champ magn´etique dans le fer est n´egligeable devant le champ magn´etique dans l’entrefer. Ainsi, la conversion d’´energie magn´eto-m´ecanique se fera principalement dans l’entrefer et il n’y aura pas d’effet d’origine ´electrostatique.
Nous n´egligerons donc les efforts cr´e´es `a l’int´erieur du fer et notamment les forces magn´etostrictives ainsi que les efforts d’origine ´electrostatiques. Les efforts produits seront d´ecompos´es suivant deux dimensions :
1. les effortstangentielsqui vont ˆetre `a l’origine de la cr´eation du couple 2. les efforts radiaux qui vont attirer le stator et ainsi ˆetre `a l’origine des vibrations statoriques et donc du bruit rayonn´e `a l’ext´erieur de la machine
3.4.1 Calcul des couples
La d´emonstration compl`ete de la formulation des couples est report´ee dans l’annexe B.3. Dans cette sous-section, nous rappelerons simplement les principaux r´esultats.
Dans les sections pr´ec´edentes, nous avons tent´e de formuler les diff´erents champs magn´etiques comme la superposition de champs tournants harmo-niques. Ces champs sont soit cr´e´es par le stator, soit par le rotor. On peut montrer `a l’aide du th´eor`eme des Travaux Virtuels qu’il ne peut y avoir cr´eation de couple que si lar´epartition spatiale du champ cr´e´ee par le sta-tor est identique `a celle cr´e´ee par le rotor c’est-`a-dire que le rang d’espace est identique au rotor et au stator (ms = mr = m). Soit pour un champ
´el´ementaire statorique et rotorique de la forme :
Hs(t, θ) = ˆHs(ns, m)·sin(nsωt+mθ) (3.32) Hr(t, θ) = ˆHr(nr, m)·sin(nrωt+m(θ+ϕrs))
Le couple cr´e´ee par l’int´eraction de ces deux champs prendra la forme sui-vante (cf. annexe B.3) :
C = +µ0
2 ·lf ·R0·δr·2π·Hˆs(ns, m)·Hˆr(nr, m)
2 ·m·
sin((ns±nr)ωt∓ϕrs) (3.33)
Il apparaˆıt dans l’´equation (3.33) que sins=±nr, alors nous avons cr´eation d’un couple moyen constant non nul. Tous les autres cas conduisent `a la cr´eation de couples sinuso¨ıdaux, `a moyenne nulle qu’on appellecouples pul-sants.
Finalement, nous constatons que l’utilisation des champs rotoriques et statoriques sous forme de champs tournants harmoniques conduit `a une for-mulation tr`es pratique des couples. Nous pouvons d´eterminer de mani`ere simple les pulsations de couples et savoir quels champs magn´etiques mo-difier pour r´eduire ces pulsations et s’approcher ainsi le plus possible d’un couple constant.
3.4.2 Calcul des efforts radiaux d’origine magn´etique
Pour calculer les efforts radiaux appliqu´es `a la structure, nous avons uti-lis´e la formulation du tenseur de Maxwell. De mˆeme que pour le calcul des couples, nous avons rejet´e dans l’annexe B.4 les d´etails de construction de ce tenseur. Nous y avons ´egalement ajout´e une discussion concernant la perti-nance de l’utilisation de cet outil. Dans cette sous-section, nous consid´ererons ce tenseur comme unebonne approximation de la densit´e surfacique d’effort
appliqu´ee `a la surface interne du stator. Ce tenseur peut finalement se sim-plifier sous l’ecriture standard :
fradial≈Tradial= Bradial2
2µ0 (3.34)
On constate que ce qui va cr´eer la force n’est pas l’interaction entre le champ statorique et rotorique mais une forme quadratique du champ global dans l’entrefer, c’est-`a-dire la r´eunion de ces deux champs. Ainsi, `a partir des cal-culs pr´ec´edents de densit´e de flux magn´etique, on va regrouper – superposer – sous un mˆemevecteur spectre les deux champs – stator et rotor12.
Bˆtotal = superposition de {Bˆs} et de {Bˆr} (3.35) On fait de mˆeme pour lesvecteursrang de temps et rang d’espace du spectre du champ de densit´e de flux magn´etique total dans l’entrefer, ce qui nous permet d’utiliser de nouveau des multiplications matricielles pour obtenir les spectres de densit´e de force radiale :
[ ˆfradial] = 1
2µ0 · {Bˆtotal} · {Bˆtotal}T (3.36) ainsi que les matrices de rangs associ´es `a cette matrice de spectre de la densit´e d’effort surfacique appliqu´ee au stator :
matrice rang de temps de fradial
=
vecteur rang de temps de Btotal
·
taille duvecteurBtotal
z }| { {1· · ·1}
+
taille duvecteur Btotal
z }| { {1· · ·1}T ·
vecteur rang de temps de Btotal
T
(3.37) matrice rang
d’es-pace defradial
=
vecteur rang d’es-pace deBtotal
·
taille duvecteurBtotal
z }| { {1· · ·1}
+
taille duvecteur Btotal
z }| { {1· · ·1}T ·
vecteur rang d’es-pace deBtotal
T
(3.38) Ainsi, `a un certain rang d’espacem00 et de tempsn00 correspondra un effort d’allure spatiale identique `a la Fig 3.7 et qui tourne dans l’entrefer `a la vitesse nm0000ω.
Cette fa¸con de d´efinir les efforts surfaciques en terme de champs tour-nants harmonique va se r´ev´eler tr`es pratique pour calculer le r´eponse dyna-mique – vibratoire – de la structure. Cette mod´elisation sera trait´ee dans le
12Dans le cas de champs statoriques et rotoriques ayant la mˆeme pulsation nsω et le mˆeme nombre d’ondem, on superpose ces deux champs (addition des amplitudes com-plexes), ce qui revient `a retrouver le champ de magn´etisation
chapitre suivant qui pr´esentera les outils de mod´elisation m´ecanique puis le couplage entre le comportement ´electrom´ecanique trait´e dans ce chapitre et le comportement vibratoire d’un stator de machine asynchrone.