Quelques caract´ erisations courantes

5.3.3.1 Autcorr´elations

L’autocorr´elation est une des m´ethodes de caract´erisation parmi les plus anciennes et les plus r´epandues. Elle constitue une caract´erisation incompl`ete car elle ne fournit qu’une information restreinte sur l’impulsion `a mesurer. Elle repose sur le principe suivant : un interf´erom`etre de Michelson s´epare l’impulsion `a caract´eriser en deux r´epliques identiques, d´ecal´ees temporellement. Ces deux r´epliques sont focalis´ees et superpos´ees au sein d’un cristal doubleur χ⁽²⁾. L’intensit´e de la seconde harmonique ainsi g´en´er´ee est enregistr´ee en fonction du d´elai entre les deux r´epliques. Il existe deux types d’autocorr´elations : intensim´etrique [49] et interf´erom´etrique[50]. L’autocorr´elation intensim´etrique est pr´esent´e

Figure5.11 – Autocorr´elations : (a) intensim´etrique, (b) interf´erom´etrique. Dans les deux cas, l’impulsion `a mesurer est s´epar´ee en deux r´epliques d´ecal´ees temporellement qui sont recombin´ees dans un cristal doubleur. L’intensit´e de seconde harmonique est enregistr´ee en fonction du d´elai entre les r´epliques.

sur la figure5.11(a): les deux copies d´ecal´ees temporellement sont focalis´ees dans le cristal de fa¸con non-colin´eaire. La seconde harmonique g´en´er´ee contient trois contributions : le doublage de la premi`ere r´eplique E(t), le doublage de la seconde r´eplique E(t−τ) ainsi que le terme crois´e. Par conservation du vecteur d’onde, chaque contribution sort du cristal avec un angle donn´e, le terme crois´e ´etant au milieu. A l’aide d’un filtre spatial, ce terme est s´electionn´e et envoy´e vers une photodiode. La seconde harmonique arrivant sur la photodiode peut ainsi s’´ecrireE<sub>2</sub>(t, τ)∝E(t)E(t−τ). La photodiode est lente (`a l’´echelle de la dur´ee de l’impulsion) et elle fournit donc un signal proportionnel `a l’int´egrale de

l’intensit´e de E₂(t, τ) :

L’autocorr´elateur intensim´etrique donne ainsi acc`es `a la fonction d’autocorr´elation de l’in-tensit´e de l’impulsion. Il fournit un signalsur fond noir car le signal revient `a z´ero lorsque les r´epliques ne sont plus superpos´ees temporellement. L’int´erˆet principal de ce dispositif est sa simplicit´e. Cependant, il fournit une information tr`es limit´ee sur l’impulsion. En particu-lier, pour estimer la dur´ee d’une impulsion `a partir de son signal d’autocorr´elation, il faut faire une supposition sur la forme de l’impulsion [49]. De plus, le signal d’autocorr´elation est sym´etrique, ce qui signifie qu’une impulsion pr´ec´ed´ee de pr´e-impulsions aura la mˆeme trace d’autocorr´elation qu’une impulsion suivie de post-impulsions. De plus, l’autocorr´ ela-tion intensim´etrique ne donne aucune information sur ce qui se passe sous l’enveloppe : par exemple, une impulsion `a d´erive de fr´equence aura la mˆeme trace d’autocorr´elation qu’une impulsion limit´ee par transform´ee de Fourier plus longue.

L’autocorr´elation interf´erom´etrique (voir figure5.11(b) page pr´ec´edente) se distingue de l’autocorr´elation intensim´etrique par le fait que les deux r´epliques de l’impulsion `a mesurer sont recombin´ees dans le cristal de fa¸con colin´eaire. Le champ incident sur la photodiode contient donc les trois composantes de la seconde harmonique et on obtient ainsi un signal de la forme :

S(τ)∝ Z

|E₂(t, τ)|² dt∝ Z

|E(t) +E(t−τ)|⁴dt (5.15) Il existe deux diff´erences essentielles entre ce signal et celui issu d’une autocorr´elation intensim´etrique. Tout d’abord, mˆeme lorsque les r´epliques ne sont pas superpos´ees tempo-rellement, le signal ne revient pas `a z´ero car il contient aussi le doublage de chaque r´eplique.

L’autocorr´elation interf´erom´etrique n’est donc pas sur fond noir. Ensuite, le signal inter-f´erom´etrique pr´esente des oscillations rapides qui correspondent au battement entre les diff´erentes composantes de la seconde harmonique. Par analyse de Fourier de ces oscilla-tions, le spectre de l’impulsion peut ˆetre reconstruit. L’autocorr´elation interf´erom´etrique offre donc un peu plus d’information que l’autocorr´elation intensim´etrique.

5.3.3.2 Interf´erom´etrie spectrale

Initialement mise au point par Froehly et ses collaborateurs [23], l’interf´erom´etrie spectrale repose sur un dispositif tr`es simple qui ne contient gu`ere plus qu’un spectrom`etre (voir figure5.12 page ci-contre). Elle permet une caract´erisation compl`ete de l’impulsion `a mesurerE(t) en utilisant une r´ef´erence parfaitement connue E_ref(t). La mesure se d´eroule en deux temps.

Dans un premier temps (figure 5.12(a) page suivante), l’impulsion `a mesurer est envoy´ee seule dans le spectrom`etre. Sans surprise, ce dernier donne un signal

I(ω) =|E(ω)|² =A²(ω) (5.16)

(a) (b)

Figure 5.12 – Interf´erom´etrie spectrale. L’impulsion `a mesurer est envoy´ee dans un spec-trom`etre : (a) seule pour mesurer de l’intensit´e spectrale, (b) avec une r´ef´erence connue E_ref d´ecal´ee temporellement pour mesurer la phase spectrale.

permettant ais´ement de retrouver l’amplitude spectrale A(ω).

Dans un deuxi`eme temps, les deux impulsions sont envoy´ees dans le spectrom`etre, s´epar´ees d’un d´elaiτ fix´e (figure5.12(b)). Le signal du spectrom`etre pr´esente maintenant des franges dues `a l’interf´erences entre les deux impulsions :

I(ω) =

E(ω) +E_ref(ω)

e

2 (5.17)

= A²(ω) +A²_ref(ω) +...

... 2A(ω)A_ref(ω) cos [ϕ(ω)−ϕ_ref(ω)−ωτ] (5.18) Le terme en cosinus, responsable des franges, est compos´e de deux contributions. La contribution principale, −ωτ, est due au d´elai et fixe l’interfrange. La deuxi`eme contri-bution, ϕ(ω)−ϕ<sub>ref</sub>(ω), correspond `a la diff´erence de phase entre l’impulsion `a mesurer et l’impulsion de r´ef´erence et vient modifier localement l’interfrange. Pour extraire cette diff´erence de phase, on utilise le plus souvent un filtrage par transform´ee de Fourier [51,52].

Le principe est le suivant : on prend la transform´ee de Fourier de I(ω) qui est consti-tu´ee de trois lobes respectivement centr´es autour de −τ, 0, et τ. Ensuite, on applique un filtre d’amplitude pour ne conserver que le lobe en τ et on en prend la transform´ee de Fourier inverse. Ceci donne la fonction complexe

Iτ(ω) =A(ω)Aref(ω) exp [i(ϕ(ω)−ϕref(ω)−ωτ)] (5.19) dont on peut extraire l’argument :

θ(ω) = ϕ(ω)−ϕ_ref(ω)−ωτ (5.20) Comme ϕ_ref(ω) est connue, on peut retrouver ϕ(ω) moyennant un terme de phase lin´eaire −ωτ. Ce terme correspond simplement `a un d´elai et ne modifie pas la forme de l’impulsion. L’interf´erom´etrie spectrale permet donc de mesurer `a la fois A(ω) et ϕ(ω)

`

a partir desquelles l’impulsion peut ˆetre reconstruite. Pour que cela fonctionne, il faut

toutefois respecter certaines conditions. Tout d’abord l’impulsion `a mesurer et l’impulsion de r´ef´erence doivent avoir le mˆeme support spectral et ˆetre coh´erentes afin de pouvoir observer des interf´erences. Ensuite, le d´elai τ doit ˆetre suffisamment petit pour que les franges soient correctement ´echantillonn´ees par le spectrom`etre. En pratique, si la r´esolution du spectrom`etre est δω, on doit v´erifier τ < τ<sub>max</sub> = 2π/(6δω) pour un ´echantillonnage raisonnable. Enfin, pour que la technique fonctionne correctement, les trois lobes de la transform´ee de Fourier de l’interf´erogramme doivent ˆetre bien s´epar´es. Ceci implique que τ > [3T,3T<sub>ref</sub>] o`u T et T_ref sont les dur´ees de l’impulsion inconnue et de l’impulsion de r´ef´erence.

Il est `a noter qu’il existe une technique ´equivalente, mais fonctionnant dans le domaine temporel, `a savoir la spectroscopie par transform´ee de Fourier[52]. Cette technique ne n´ecessite pas de spectrom`etre : le signal est recueilli par une simple photodiode et enregistr´e en fonction d’un d´elai τ variable entre l’impulsion `a mesurer et l’impulsion de r´ef´erence.