– Mousse initiale totalement ferm´ee (R&G Voronoi closed-cells),
– Mousse initiale `a laquelle 20% de parois ont ´et´e supprim´ees (R&G Voronoi 20% faces deleted),
– Mousse initiale `a laquelle 40% de parois ont ´et´e supprim´ees (R&G Voronoi 40% faces deleted),
– Mousse initiale `a laquelle plus de 70% de parois ont ´et´e supprim´ees (R&G Voronoi>70% faces
deleted).
On constate que les mousses compl`etement ferm´ees atteignent les meilleures propri´et´es et que
le module d’Young diminue avec la quantit´e de parois enlev´ee, c’est `a dire quand la proportion de
porosit´e ouverte augmente. En revanche l’exposantnde la loi d’´echelle en densit´e relative augmente
avec la proportion de porosit´e ouverte. Il passe de≈1.2 pour une mousse totalement ferm´ee `a≈2.0
pour une mousse ouverte, ce qui correspond au mod`ele de Gibson etAshby.
Enfin la mod´elisation num´erique peut ˆetre utilis´ee pour ´etudier le comportement m´ecanique de
mousses r´eelles. La g´eom´etrie de la structure en 2 ou 3 dimensions est num´eris´ee par diff´erentes
techniques d’acquision d’images — microscopie confoncale optique, `a balayage laser, tomographie
X — puis est maill´ee pour ensuite effectuer des calculs par ´el´ements finis. Diverses strat´egies de
maillage `a partir des images ont ´et´e adopt´ees.
Maillage «poutres» : les images subissent un traitement de type squelettisation qui permet
d’extraire la fibre neutre des arˆetes constituant le mat´eriau. Ce squelette est alors discr´etis´e
en ´el´ements poutres `a une dimension. Cette m´ethode convient bien pour des mousses ouvertes
dont les arˆetes sont fines. Une telle approche a ´et´e utilis´ee par Nygaard et al.pour l’´etude de
la compression de mousses ouvertes d’aluminium [19] et par Elliott et al. pour l’´etude de la
d´eformation de mousses de polyur´ethane [20].
Maillage «voxels» : chaque voxel, l’´equivalent du pixel en 3D, de l’image num´eris´ee repr´esente
un ´el´ement hexa´edrique `a 8 nœuds (´el´ement lin´eaire) ou `a 20 nœuds (´el´ement quadratique).
La mousse est ainsi maill´ee directement `a partir des images de sa structure comme l’illustre
la figure I.11(a). Le maillage obtenu comporte g´en´eralement un tr`es grand nombre d’´el´ements
ce qui peut rapidement limiter les possibilit´es de calculs. Afin de diminuer ce nombre
d’´el´e-ments des techniques de sous-r´esolution expos´ees dans [21, 22], qui consistent `a remplacer un
groupement de voxels par un seul ´el´ement hexa´edrique, sont g´en´eralement utilis´ees.
Maillage «liss´e» : les images subissent un traitement de type Marching Cubes [23] qui permet
de lisser la surface de la mousse en rempla¸cant les faces des voxels par des ´el´ements
trian-gulaires. Un algorithme d’avanc´ee de front g´en`ere ensuite un maillage volumique avec des
´el´ements t´etra´edriques `a 4 nœuds (´el´ement lin´eaire) ou `a 10 nœuds (´el´ement quadratique).
Ces op´erations sont d´ecrites dans [21] et [24,25]. Le maillage obtenu, figure I.11(b), repr´esente
la g´eom´etrie de la mousse de mani`ere plus ou moins pr´ecise selon le degr´e de «lissage» des
images initiales.
Fig. I.11 : Illustration des maillages issus d’images 3D de la structure r´eelle d’une mousse (a) Maillage
«voxels»avec des ´el´ements h´exa´edriques. (b) Maillage«liss´e» avec des ´el´ements t´etra´edriques.
Extrait de [21].
Les maillages obtenus `a partir d’images de structures r´eelles comportent g´en´eralement un grand
nombre d’´el´ements afin d’assurer un r´esultat de calcul correct. Ces simulations requi`erent donc des
moyens informatiques importants et imposent des temps de calcul assez longs. Ainsi uniquement
des petits volumes de mousses peuvent ˆetre mod´elis´es et ne sont probablement pas repr´esentatifs
du comportement global du mat´eriau en terme de propri´et´es effectives. C’est pourquoi les
simula-tions sur des g´eom´etries r´eelles sont plus g´en´eralement utilis´ees pour observer et comprendre les
m´ecanismes de d´eformation `a l’´echelle locale. Elles permettent de mettre en ´evidence les effets des
irr´egularit´es et des d´efauts des cellules.
A l’heure actuelle avec le d´eveloppement rapide de moyens de calculs toujours plus puissants on
commence `a pouvoir effectuer des simulations sur des ´echantillons plus cons´equents. On peut ainsi
imaginer r´ealiser dans un futur proche de v´eritables calculs de structure en grandes d´eformations
avec prise en compte d’une loi de comportement du mat´eriau constitutif non lin´eaire, sur un volume
repr´esentatif de mousse.
4) Lois de comportement macroscopiques
Des mod`eles ph´enom´enologiques de plasticit´e ont ´et´e propos´es par diff´erents auteurs pour
d´e-crire le comportement macroscopique multiaxial des mat´eriaux cellulaires [26–28]. Ces mod`eles
fournissent des lois de comportement qui d´ecrivent convenablement les surfaces de plasticit´e
ex-p´erimentales. Elles consid`erent le mat´eriau comme homog`ene et donnent un crit`ere de plasticit´e
d´ependant des deux premiers invariants du tenseur des contraintes σ
m=
trace(3 σ)la pression
hydro-statique et σ
ela contrainte effective deVon Mises.
Les deux mod`eles les plus fr´equemment utilis´es pour la plasticit´e des mousses m´etalliques sont
ceux de Miller et Deshpande et al.
Miller a propos´e dans [26] la fonction de charge suivante, ´eq. (I.4), inspir´e du crit`ere de
Drucker-Prager d´evelopp´e pour la m´ecanique des sols.
f =σ
e−γ σ
m+ α
d
0σ
∗ yσ
2m−d
0σ
∗ y≤0 (I.4)
Avec σ
∗y
la limite d’´elasticit´e en compression de la mousse. Cette loi comporte trois param`etres
γ, α et d
0permettant d’ajuster le mod`ele aux mesures et donn´ees exp´erimentales. Ils sont reli´es
au rapport β entre la limite d’´elasticit´e en compression et en traction et au coefficient de Poisson
plastique ν
ppar les relations suivantes :
γ = 6β
2−12β+ 6 + 9 β
2−1
/(1 +ν
p)
2 (β+ 1)
2(I.5)
α= 45 + 24γ−4γ
2+ 4ν
p(2 +ν
p) −9 + 6γ−γ
216 (1 +ν
p)
2(I.6)
d
0= 1
2
!
1−γ
3 +
r
1−γ
3
2+4α
9
"
(I.7)
Dans les travaux de Deshpande et Fleck [27] le comportement sous chargement compressif
multiaxial de mousses d’aluminiumAlporas etDuocel a ´et´e ´etudi´e. Ils ont observ´e que les surfaces
de charge exp´erimentales pour ces mousses ont une forme plus ou moins elliptique et ont alors
propos´e la fonction de charge suivante, ´eq. (I.8) :
Φ = ˆσ−σ
∗y
≤0 (I.8)
o`u la contrainte ´equivalente ˆσ est donn´ee par l’´equation (I.9) :
ˆ
σ
2= 1
1 + (α/3)
2σ
2e+α
2σ
m2(I.9)
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Structure et propriétés mécaniques d'empilements aléatoires de sphères creuses : caractérisation et modélisation
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