Quantum simulation with photons

8.1.1.1 Formula¸c˜ao do Problema

Uma forma simples de testar a acur´acia da an´alise de Chapman-Enskog em rela¸c˜ao a sua previs˜ao dos coeficientes de transporte dos fluidos simulados e `a estabilidade num´erica dos m´etodos desenvolvidos ´e medir a difusividade de densidade, quantidade de movimento ou energia em um dom´ınio unidimensional em equil´ıbrio mecˆanico, alinhado com uma certa dire¸c˜ao x e dividido em duas cˆamaras com densidades, velocidades na dire¸c˜ao y ou temperaturas diferentes, representadas pela fun¸c˜ao gen´erica g (x, t) de acordo com a figura abaixo,

Figura 29: Difus˜ao de um degrau de uma propriedade.

A evolu¸c˜ao temporal da difus˜ao deste degrau pode ser medida e, atrav´es dela, determi- nados o valor da difusividade de massa em fenˆomenos puramente difusivos, a viscosidade cinem´atica quando o degrau se refere `a velocidade do fluido na dire¸c˜ao y e esta velocidade ´e pequena ou a difusividade t´ermica quando o degrau ´e formado por duas temperaturas diferentes.

Admitindo que a equa¸c˜ao abaixo ´e representativa deste fenˆomeno, ∂g (x, t)

∂t = α

∂2_{g (x, t)}

∂x2 , (8.1)

pode-se obter, quando as seguintes condi¸c˜oes de contorno s˜ao impostas:

g (x, 0) = g0+ ∆, ∀ x < 0, g (x, 0) = g0− ∆, ∀ x > 0, (8.2)

8.1 Medi¸c˜ao dos Coeficientes de Transporte 117

a solu¸c˜ao anal´ıtica abaixo,

g (x, t) = g0− ∆ Erf  x 2(αt)1/2  , (8.4)

onde Erf ´e a fun¸c˜ao erro. O coeficiente de difusividade α pode ser medido atrav´es do ajuste da equa¸c˜ao acima `a fun¸c˜ao g (x, t) determinada atrav´es de simula¸c˜ao.

De modo a garantir que esta solu¸c˜ao seja representativa das simula¸c˜oes realizadas, utiliza-se uma malha bastante extensa e peri´odica, eliminando completamente a influˆencia das condi¸c˜oes de contorno do m´etodo na solu¸c˜ao encontrada em troca de um tempo de processamento maior.

8.1.1.2 Valida¸c˜ao da An´alise de Chapman-Enskog no Esquema de Colis˜ao e Propaga¸c˜ao

Inicialmente foram medidos os coeficientes de transporte em um escoamento n˜ao- isot´ermico representado por um esquema de colis˜ao e propaga¸c˜ao, Se¸c˜ao 5.1.3, Eqs. 5.16 e 5.17, quando τ = τ1 = τ2 = 1. Na figura abaixo s˜ao mostradas as rela¸c˜oes entre a

viscosidade cinem´atica e θ = _RTRT

0 − 1, Se¸c˜ao 6.3, e entre a difusividade t´ermica e θ quando

as redes D2V17, D2V25w6 e D2V37 s˜ao empregadas,

θ (a)

θ (b)

Figura 30: Coeficientes de transporte medidos em diferentes redes utilizando o esquema de colis˜ao e propaga¸c˜ao. Os pontos s˜ao resultados de simula¸c˜oes num´ericas e as linhas a previs˜ao realizada pela an´alise de Chapman-Enskog.

Ambos estes coeficientes de transporte foram medidos em unidades de rede. Note que o fator de escala nas diferentes redes foi definido pela rela¸c˜ao a = √δx/δt

RT0, Equa¸c˜ao 6.13.

Quando δx = 1 e δt = 1 (em unidades de rede), pode-se encontrar RT0 a partir do fator

8.1 Medi¸c˜ao dos Coeficientes de Transporte 118

6.3. Como este fator ´e caracter´ıstico de cada rede, Apˆendice B.2, existe uma pequena diferen¸ca entre os valores dos coeficientes de transporte em cada uma delas quando um mesmo θ ´e utilizado, Se¸c˜ao 5.1.3.

Analisando os gr´aficos acima percebe-se que as redes D2V25w6 e D2V37 apresentam grande concordˆancia entre os resultados num´ericos e anal´ıticos, tendˆencia que se repetiu quando as redes D2V53 e D2V81 foram testadas. Entretanto, a rede D2V17 apresenta grande discrepˆancia entre os resultados das simula¸c˜oes e os resultados anal´ıticos no caso da difusividade t´ermica. Esta discrepˆancia ´e explicada pelo modo como foi realizada a an´alise de Chapman-Enskog, Se¸c˜ao 5.1.3, que admitiu que todos os momentos de at´e quarta ordem eram iguais no espa¸co discreto e no espa¸co cont´ınuo.

Siebert[28] mostrou que quando esta an´alise ´e realizada considerando os momentos de feq discretos especialmente para a rede D2V17, Se¸c˜ao 6.7.3, pode-se prever com exatid˜ao a dependˆencia da difusividade t´ermica em rela¸c˜ao a temperatura, corrigindo o resultado anal´ıtico mostrado acima. Ainda assim, a equa¸c˜ao de balan¸co de energia para a rede D2V17 em primeira ordem de Knudsen apresenta diversos termos esp´urios que podem influenciar significativamente o comportamento do fluido simulado em baixa ordem de Knudsen.

A dependˆencia dos coeficientes de transporte deste fluido em fun¸c˜ao do tempo de relaxa¸c˜ao τ quando θ = 0 ´e mostrada na figura abaixo, Eqs. 5.16 e 5.17,

τ−1/2 (a)

τ−1/2 (b)

Figura 31: Coeficientes de transporte medidos em diferentes redes utilizando o esquema de colis˜ao e propaga¸c˜ao. Os pontos s˜ao resultados de simula¸c˜oes num´ericas e as linhas a previs˜ao realizada pela an´alise de Chapman-Enskog.

Esta compara¸c˜ao mostrou uma excelente concordˆancia entre os resultados num´ericos e anal´ıticos em uma ampla faixa de parˆametros. Diferen¸cas entre os coeficientes medidos

8.1 Medi¸c˜ao dos Coeficientes de Transporte 119

e os te´oricos foram observadas apenas quando a viscosidade ou a difusividade t´ermica era muito baixa, causando problemas de instabilidade nos m´etodos devido `a dissipa¸c˜ao muito lenta dos erros num´ericos, ou quando este coeficiente de transporte era muito alto e efeitos f´ısicos relacionados a um n´umero de Knudsen finito se tornavam importantes.

Nie e colaboradores[67] mediram a viscosidade cinem´atica de um fluido quando eram utilizadas, em um escoamento isot´ermico, as redes D2V9 e D2V17, em uma condi¸c˜ao de velocidade na dire¸c˜ao x constante e n˜ao nula. Os resultados encontrados por eles chamam a aten¸c˜ao pela constata¸c˜ao da quebra de invariˆancia galileana nas simula¸c˜oes realizadas com a rede D2Q9. Conforme discutido na Se¸c˜ao 6.7.2, esta quebra ´e esperada quando a velocidade de transla¸c˜ao do dom´ınio cresce, aumentando o erro relacionado `a discretiza¸c˜ao do espa¸co de velocidades na equa¸c˜ao de balan¸co de quantidade de movimento do m´etodo a baixo n´umero de Knudsen.

Os mesmos testes foram realizados em um modelo de colis˜ao TRT utilizando um esquema de colis˜ao e propaga¸c˜ao. A excelente concordˆancia entre os resultados anal´ıticos e num´ericos em redes de alta ordem valida a an´alise de Chapman-Enskog realizada, Se¸c˜ao 5.2. No gr´afico abaixo ´e mostrada a varia¸c˜ao da viscosidade cinem´atica em fun¸c˜ao do n´umero de Prandtl quando a difusividade t´ermica do fluido simulado ´e constante,

0,001 0,010 0,100 1,000 10,000 100,000 0,001 0,010 0,100 1,000 10,000 100,000

Viscosidade Cinemá

tic

a

Prandtl

Figura 32: Viscosidade cinem´atica medida em rela¸c˜ao ao n´umero de Prandtl do fluido, comparada a previs˜ao anal´ıtica realizada (retas).

Note que como os dois fenˆomenos difusivos aqui mostrados, i.e., difus˜ao da quantidade de movimento e da energia, tˆem escalas temporais diferentes quando o n´umero de Prandtl ´e diferente de um, s˜ao esperados efeitos relacionados a instabilidades num´ericas a baixo coeficiente de transporte e efeitos de n´umero de Knudsen finito a alto coeficiente de transporte em duas escalas.

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