Quantum noise and fast-light medium

O escoamento de um fluido ´e descrito, usando a hip´otese do cont´ınuo [4], atrav´es dos seus campos de densidade, velocidade e temperatura. Nesta escala, chamada neste trabalho de macrosc´opica, os detalhes microsc´opicos deste fluido, e.g., a representa¸c˜ao de cada mol´ecula do fluido e suas for¸cas intermoleculares, n˜ao s˜ao relevantes, desde que sejam propriamente definidas rela¸c˜oes constitutivas nas equa¸c˜oes de balan¸co da quantidade de movimento e energia.

Neste tipo de descri¸c˜ao, quando as equa¸c˜oes de balan¸co da massa, quantidade de movimento e energia s˜ao escritas, a press˜ao ´e relacionada a densidade e a temperatura localmente e o fluxo de calor e o tensor tens˜ao s˜ao definidos empiricamente, a modelagem do escoamento deste fluido ´e conclu´ıda quando condi¸c˜oes de contorno fisicamente repre- sentativas, dependentes diretamente da densidade, velocidade e temperatura, s˜ao fixadas nas fronteiras do dom´ınio de solu¸c˜ao.

Existem, todavia, fenˆomenos dif´ıceis de representar atrav´es das equa¸c˜oes de Navier- Stokes, em que os detalhes da dinˆamica molecular tem grande influˆencia sobre os padr˜oes de escoamento observados[5], e.g., os escoamentos a n´umero de Knudsen alto, definido como a raz˜ao entre o livre caminho m´edio de uma mol´ecula de um fluido e um compri- mento macrosc´opico caracter´ıstico ou os escoamentos envolvendo mais de uma fase ou componente. Neste caso ´e necess´ario o desenvolvimento de modelos alternativos ao acima descrito.

Para que estes modelos sejam concebidos ´e necess´ario diminuir a escala de observa¸c˜ao do fenˆomeno considerado de maneira a tornar mais claros os seus detalhes. Quando esta escala ´e suficientemente diminu´ıda, o fluido pode ser modelado, em uma primeira aproxima¸c˜ao, como um conjunto de mol´eculas sem qualquer estrutura interna distingu´ıvel,

2.1 Equa¸c˜ao de Transporte de Boltzmann 6

representadas por pontos materiais. Equa¸c˜oes descrevendo o movimento destas mol´eculas podem ent˜ao ser escritas como

ξi = dxi dt , (2.1) Fi = dξi dt , (2.2)

onde xi representa a posi¸c˜ao e ξi a velocidade de cada mol´ecula i no fluido e Fi representa

a for¸ca total por unidade de massa que age nesta mesma mol´ecula devido `a for¸ca gravitaci- onal, `a presen¸ca de outras mol´eculas ou `a presen¸ca de paredes s´olidas por exemplo. Neste tipo de descri¸c˜ao, chamada neste trabalho de microsc´opica, a for¸ca de intera¸c˜ao entre quaisquer duas mol´eculas pertencentes ao sistema considerado precisa ser determinada a priori para que o modelo possa ser aplicado.

Uma vez que o potencial de intera¸c˜ao e a estrutura molecular s˜ao definidos, a mo- delagem do escoamento do fluido considerado ´e conclu´ıda quando condi¸c˜oes de contorno fisicamente representativas nesta escala s˜ao fixadas nas fronteiras do dom´ınio de solu¸c˜ao, e.g., quando a for¸ca de intera¸c˜ao entre as mol´eculas do fluido e as mol´eculas da fronteira s´olida ´e determinada.

Descrever corretamente a for¸ca de intera¸c˜ao intermolecular representa a primeira difi- culdade encontrada quando um modelo microsc´opico ´e aplicado. O potencial de intera¸c˜ao entre duas mol´eculas quaisquer depende das suas propriedades el´etricas, sendo muito com- plexo de ser modelado mesmo nas condi¸c˜oes mais simples, e.g., em gases monoatˆomicos. Desta maneira ´e muito comum que formas simplificadas destes potenciais sejam adota- das para descrever a intera¸c˜ao intermolecular, e.g., o potencial de Lennard-Jones [6], e a intera¸c˜ao entre as mol´eculas do fluido e da parede, e.g., atrav´es de condi¸c˜oes de re- flex˜ao especular, reflex˜ao difusa ou uma combina¸c˜oes destas duas usando um coeficiente de acomoda¸c˜ao[3].

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E muito importante reconhecer as diferen¸cas entre as condi¸c˜oes de contorno aplicadas em modelos da micro e da macroescala. Na escala macrosc´opica, a velocidade, densidade, press˜ao, temperatura e suas derivadas podem ser impostas diretamente nas fronteiras do sistema considerado. Na escala microsc´opica, somente a forma de intera¸c˜ao entre as mol´eculas do fluido e as mol´eculas nas fronteiras do sistema pode ser imposta, sendo as vari´aveis macrosc´opicas determinadas nas fronteiras somente quando algum tipo de m´edia estat´ıstica, i.e., temporal e/ou espacial e/ou de ensemble, ´e realizada. Isso pode levar a dificuldades conceituais na modelagem da intera¸c˜ao entre o fluido e as fronteiras do sistema quando as ´unicas condi¸c˜oes de contorno conhecidas s˜ao as condi¸c˜oes na escala macrosc´opica.

2.1 Equa¸c˜ao de Transporte de Boltzmann 7

crosc´opicas de resposta a um determinado problema resolvido nesta escala imp˜oe um segundo obst´aculo a modelagem destes sistemas, que ´e a necessidade de simula¸c˜ao da dinˆamica de um grande n´umero de mol´eculas por um longo tempo, muitas vezes conside- rando muitos sistemas ao mesmo tempo para que os resultados sejam representativos, o que faz com que o custo computacional desta modelagem seja bastante elevado. Contudo, mesmo que um supercomputador pudesse realizar este tipo de simula¸c˜ao e armazena- mento, os resultados encontrados possivelmente estariam contaminados pelos combina¸c˜ao dos erros cometidos na dispendiosa determina¸c˜ao das condi¸c˜oes iniciais de velocidade e posi¸c˜ao de um grande n´umero de mol´eculas e pelo erro de computa¸c˜ao acumulado, que cresce rapidamente[7].

Todavia, se o interesse do modelista n˜ao ´e acompanhar a evolu¸c˜ao de cada uma das mol´eculas de um sistema particular, mas estudar o comportamento na escala microsc´opica de diferentes sistemas que compartilham uma mesma caracter´ıstica macrosc´opica, e.g., n´umero total de mol´eculas e/ou energia total, a formula¸c˜ao microsc´opica destes sistemas pode ser manipulada atrav´es das ferramentas da Mecˆanica Estat´ıstica de forma a produzir uma formula¸c˜ao, neste trabalho chamada de mesosc´opica, em que os detalhes da intera¸c˜ao intermolecular e a ignorˆancia sobre as condi¸c˜oes iniciais do problema s˜ao filtrados.

Nesta formula¸c˜ao a descri¸c˜ao individual da trajet´oria de cada mol´ecula no espa¸co de fa- ses n˜ao ´e mais realizada, sendo o g´as modelado agora pela fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de mol´eculas f (x, ξ, t). Esta distribui¸c˜ao representa a probabilidade de que uma certa mol´ecula de um determinado g´as esteja localizada entre x e x + dx, com velocidade entre ξ e ξ + dξ, no tempo entre t e t + dt. Ao definir a fun¸c˜ao f desta maneira est˜ao sendo ignorados todos os graus de liberdade de movimento da mol´ecula exceto o de transla¸c˜ao.

Espera-se, ao conceber este modelo, preservar v´arios detalhes da dinˆamica molecular n˜ao acess´ıveis atrav´es da descri¸c˜ao macrosc´opica do escoamento considerado e, ao mesmo tempo, facilitar a obten¸c˜ao das quantidades macrosc´opicas de interesse na solu¸c˜ao de escoamentos de fluidos, e.g., densidade, velocidade, temperatura, tens˜oes e fluxos de calor, atrav´es de m´edias da fun¸c˜ao f no espa¸co de fases.

Nas pr´oximas se¸c˜oes os principais passos que levam, a partir da formula¸c˜ao mi- crosc´opica dada pelas Eqs. 2.1 e 2.2, `a equa¸c˜ao de transporte de Boltzmann, que descreve a evolu¸c˜ao temporal de f , ser˜ao revisados [3, 7, 8].