Nous avons vu que la (sub-)mésoéchelle jouaient un rôle important dans la représention de la convection profonde durant l’hiver 10-11. Cette section est consacrée à l’évaluation et à l’évolution de l’intensité de l’activité des petites échelles à partir du modèle à 1km de résolution.
On propose de décomposer le champ de vitesse horizontale comme la somme de sa moyenne temporelle et de sa fluctuation.
u(x, y) = u(x, y) + u0(x, y) v(x, y) = v(x, y) + v0(x, y)
où la barre fait référence à une moyenne temporelle suffisamment longue pour que :
u0(x, y) = 0
v0(x, y) = 0
Il s’agit de la décomposition de Reynolds, introduite dans le chapitre 2 (2.1.4). Le terme moyenné est associé aux grandes échelles, alors que le terme fluctuant est associé aux petites échelles. Pour quantifier l’activité du champ fluctuant par rapport au champ moyenné, on peut regarder l’énergie contenue dans chacun. En effet, la (sub-)mésoéchelle contient une grande partie de l’énergie contenue dans le champ fluctuant. On fait alors apparaitre une énergie cinétique tour- billonnaire (EKE pour Eddy Kinetic Energy) et une énergie cinétique du champ moyen :
K(x, y) ≡ 1 2ρ0(u 2(x, y) + v2(x, y)) K0(x, y) ≡ 1 2ρ0(u02(x, y) + v02(x, y))
avec ρ0une densité de référence que l’on prendra ici égale à 1028.7kg.m−3. Cela correspond à la
densité à 100m moyennée spatialement sur tout le domaine et temporellement sur une année de simulation. On choisit de se focaliser sur des champs à 100m car cette profondeur présente l’avan- tage d’être à la fois suffisamment profonde pour éviter la dynamique liée à la couche limite d’Ek- man et suffisamment superficielle pour présenter une importante activité de (sub-)mésoéchelle.
FIGURE4.7 – (A gauche) Champ moyen de vitesse à 100m sur une période d’un an allant du 15 décembre 2010 au 14 décembre 2011 avec l’énergie cinétique moyenne K qui lui correspond. (A droite) L’énergie cinétique turbulente K0associée.
Le champ de vitesse à 100m moyenné sur une durée d’un an (15/12/2010 → 14/12/2011) est représenté sur la figure4.7associé à son énergie cinétique K. On peut observer les caractéris- tiques de la circulation générale : le courant Nord est très marqué et la circulation moyenne dans le milieu du bassin est très faible. Le front Baléares est cependant visible. Le champ d’énergie ci- nétique fluctuante qui lui est associé est présenté sur la même figure. Il permet d’avoir un aperçu des régions où l’activité tourbillonnaire de (sub-)mésoéchelle est importante. Premièrement, il est à noter que K0 peut être localement plus important que K. C’est le cas au centre de bassin car
la circulation associée au champ moyen y est presque nulle et, plus particulièrement, au nord-est et à l’est de Minorque. Ces deux régions sont marquées par la présence de tourbillons de mé- soéchelle présentant des structures verticales plutôt barotropes. A l’est de Minorque, il s’agit de tourbillons Algériens qui ne sont pas forcément très bien représentés en raison de leur proximité avec la frontière sud du domaine. Au nord-est de l’île, une structure tourbillonnaire de rayon en- viron égal à 18km à 100m de profondeur se déplace dans une région très restreinte. En raison de sa circulation anticyclonique, elle est associée à un déplacement des isopycnes vers le bas. En hiver, cela a des conséquences importantes puisqu’il s’agit d’une zone où la convection ne se
produit pas facilement en raison de cette structure verticale, à l’inverse de la zone de précondi- tionnement. Elle représente donc souvent une frontière sud à l’étendue de la zone de convection (voir l’image satellite de chlorophylle3.12à la date 04/02/2011). En raison des instabilités baro- clines et des méandres qu’il développe (Crépon et al.[1982]), le courant Nord présente également une signature de K0 importante tout au long de son parcours le long des côtes. Elle devient très importante au niveau de la côte Varoise qui est, dans nos simulations, le siège d’importantes instabilités qui mènent à la formation de tourbillons. Cet élèment a également été observé dans l’étude numérique deRubio et al. [2009] qui font de cette région un point privilégié pour la for- mation de tourbillons de mésoéchelle dans le bassin Nord-Occidental. La génération de structure tourbillonnaire serait liée à un décollement du courant en raison de la variation d’orientation de la côte.
FIGURE4.8 – (A gauche) Champ moyen de vitesse à 100m sur une période estivale de 3 mois allant du 15 juin 2011 au 14 septembre 2011 avec l’énergie cinétique moyenne K qui lui correspond. (A droite) L’énergie cinétique turbulente K0associée.
FIGURE4.9 – (A gauche) Champ moyen de vitesse à 100m sur une période hivernale de 3 mois allant du 15 décembre 2010 au 14 mars 2011 avec l’énergie cinétique moyenne K qui lui correspond. (A droite) L’énergie cinétique turbulente K0associée.
La Méditerranée Nord-Occidentale est un bassin qui présente une forte variabilité saisonnière. Pour s’en persuader, la figure4.8(respectivement4.9) représente le champ de vitesse modélisé à 100m et moyenné sur une période estivale (resp. hivernale) allant du 15 juin 2011 au 14 sep- tembre 2011 (resp. 15/12/2010 → 14/03/2011) ainsi que les champs de K et K0 associés. Les différences entre les deux saisons sont importantes. Tout d’abord, on observe une augmentation
de l’énergie cinétique des grandes et des petites échelles en hiver. Dans les grandes échelles, l’énergie cinétique du bassin à 100m de profondeur est multipliée par environ 2.6 en hiver par rapport à l’été. Elle se traduit par une intensification de l’énergie cinétique transportée par le cou- rant Nord qui s’intensifie et s’élargit. Il en est de même pour le courant Nord Baléares et pour les courants Corse et Sarde. Il y a une augmentation de la circulation de bord en hiver. L’éner- gie cinétique tourbillonnaire qui est globalement faible dans l’ensemble du bassin en été, devient très importante en hiver. En moyenne sur tout le domaine de calcul, elle est multipliée par 2.4. Ce découplement de K0 en hiver se produit aussi bien au centre du bassin et dans la zone de convection qu’au niveau de la circulation de bord. Durant cette saison, le courant Nord présente une très forte variabilité à mésoéchelle.
Nous voyons qu’il existe une augmentation de l’énergie cinétique en hiver et que cette aug- mentation se produit de manière particulièrement spéctaculaire dans la (sub-)mésoéchelle au milieu du bassin. De manière à se faire une idée de la répartition de l’énergie cinétique dans la gamme d’échelle développée par le modèle et de son évolution au cours du cycle saisonnier, on souhaite s’intéresser aux spectres d’énergie cinétique sur des champs de vitesses journaliers.
FIGURE4.10 – Spectres d’énergie cinétiques réalisés au 15 de chaque mois entre le 15 octobre 2010 et le 15 août 2011 à la profondeur (gauche) 50m et (droite (100m).
Leur réalisation repose sur une méthode simple mais qui fait appel à un autre type de décom- position de Reynolds. Au lieu de calculer un champ moyen sur une base temporelle, le champ moyen est ici calculé sur une base spatiale :
u(x, y) = hu(x, y)ik+ u0(x, y)k
v(x, y) = hv(x, y)ik+ v0(x, y)k
Dans cette notation, h.ik représente une moyenne horizontale sur une échelle de k km. Pour
chaque échelle, l’énergie cinétique se divise en une partie associée aux plus grandes échelles et une partie fluctuante par rapport à cette échelle. Le spectre se construit alors par soustractions successives. L’énergie cinétique contenue dans la gamme d’échelle k1→ k2(k1< k2) s’écrit :
Eck1→k2 = 1 2ρ0.[(hui 2 k1+ hvi 2 k1) − (hui 2 k2+ hvi 2 k2)]
Dans le domaine de calcul, les spectres sont calculés à 50 et 100m de profondeur (fig.4.10). Pour ces deux profondeurs, on remarque une augmentation de l’énergie cinétique à toute les échelles en hiver. Pour des échelles d’environ 50km, l’énergie cinétique est augmentée de ~110% à la profondeur de 50m entre l’hiver et l’été (respectivement ~35% à 100m). L’accroissement est encore plus important aux petites échelles. A 15km, elle est augmentée de ~250% aux deux profondeurs représentées. Cette augmentation s’accompagne d’une diminution de l’échelle contenant le maximum d’énergie cinétique. A 50m, elle passe progressivement d’environ 28km en août à 22km en décembre. Ensuite, elle diminue brusquement jusqu’à atteindre 14km en février. Cette brusque diminition est liée aux évèvènements violents de perte de chaleur en
surface et à l’approfondissement de la couche de mélange qui s’en suit. La phase de restra- tification intervient à partir de mars. On observe d’abord une diminution de l’intensité du pic d’énergie accompagnée d’une légère augmentation de l’échelle à laquelle il est associé. Puis, à partir du 15 avril, l’augmentation de l’échelle du maximum d’énergie se fait de manière plus rapide alors que la baisse globale d’énergie cinétique se stabilise. Globalement, les commen- taires sont identiques à 100m de profondeur, exepté l’énergie cinétique qui y est plus faible. La figure additionnelle (ci-contre) présente les
deux spectres extrêmes à 100m de profondeur. Le maximum d’énergie cinétique est associé à 29km le 10 septembre 2011 et à 12km le 7 février 2011. Ce décalage vers les petites échelles s’accompagne d’une augmentation de l’énergie contenue à son pic d’environ 230%. Le spectre estival contient moins d’énergie, un pic très peu marqué qui s’étend sur une grande gamme d’échelle. En revanche, le spectre hiver- nal contient beaucoup plus d’énergie dont l’es- sentiel se trouve dans une bande étroite de pe- tites échelles.
Notes : Deux opérateurs de moyenne différents ont été utilisés pour réaliser la décomposition
de Reynolds. Dans un premier temps, une moyenne temporelle sur un temps suffisamment grand a été utilisée, puis dans un second temps, une moyenne spatiale a servi à la réalisation des spectres. Pour que la décomposition de Reynolds soit juste, l’opérateur de moyenne doit vérifier la linéarité et la commutativité. De plus, lorsqu’on l’applique à la fluctuation de la variable, le résultat doit être nul. Plus l’espace spatial et/ou temporel sur lequel on l’applique est grand, plus la décomposition sera juste. Cependant, lorsque l’on restreint cet espace, on atteint la limite de validité. De plus, on peut remarquer que hui 6= u. En effet, l’hypothèse d’ergodicité n’est pas vérifiée notamment à cause de l’inhomogénéité des variables.
La méthode utilisée pour réaliser les spectres permet de voir la variabilité saisonnière de l’acti- vité de (sub-)mésoéchelle sur une année de simulation. Cependant, elle représente des spectres très "lissés". Pour approfondir cette étude, on propose de réaliser trois indices reflètant cette acti- vité et d’étudier leurs évolutions dans le temps.
— Indice basé sur la curvilinéarité : La (sub-)mésoéchelle a une grande influence sur les
champs de traceurs physiques comme la température, la salinité ou la densité. Ces der- niers présentent une variabilité beaucoup plus importante en sa présence. Par exemple, sur la figure4.4, un contour de densité de surface sera beaucoup plus long et présentera beaucoup plus de circonvolutions et de sinuosités sur le modèle à 1km de résolution que sur le modèle à 5km de résolution à la même date. Pour traduire cette différence dans un indice, on selectionne un contour de densité adapté à la zone. On choisit sa valeur moyenne à une profondeur donnée. Puis, on calcule la courbure du contour obtenu. Après application d’un filtre pour éliminer le bruit, le nombre d’inversion de signe donne le nombre de méandres le long du contour selectionné. L’indice s’exprime en méandres par 100km (km−1). Pour limiter les biais associés au choix de la valeur de l’isopycne, l’indice de cur- vilinéarité final est le résultat de la moyenne des 3 indices associés aux isopycnes hρi, (hρi + 2.std(ρ))et (hρi − 2.std(ρ)). std représente l’opérateur d’écart type. Cette méthode est largement inspirée de la méthode proposée parCapet[2010]. Appliquée à la simulation sur deux profondeurs (50 en noir et 100 en rouge), elle donne les résultats exposés sur la figure4.11(en haut) et commentés par la suite.
— Indice basé sur la vorticité : La (sub-)mésoéchelle développe une circulation secondaire
qui s’organise en fronts, filaments et tourbillons. Ces structures présentent des signatures de vorticité verticale relative particulières. A une profondeur donnée, la vorticité est le rota-
tionnel du champ des vecteurs vitesse projeté sur la verticale :
ζ = ∂v ∂x −
∂u ∂y
Pour construire cet indice, on balaye le champ de vorticité et on incrémente un compteur à chaque changement de signe . L’indice de vorticité correspond à la valeur finale de ce compteur que l’on divise par la surface balayée ; il s’exprime en (km−2). De manière à limiter un biais éventuellement causé par une anisotropie du champ de vorticité, l’indice de vorticité final est la moyenne de deux indices calculés avec deux balayages orthogonaux du champ. Appliquée à la simulation sur deux profondeurs (50 en noir et 100 en rouge), elle donne les résultats exposés sur la figure4.11(au milieu) et commentés par la suite. — Indice basé sur l’EKE : Cette indice reprend la décomposition de Reynolds. Il s’agit de
la moyenne sur toute la zone de l’énergie cinétique turbulente : hK0
ki. On choisit k égal
à 10km. L’évolution de l’indice de EKE est présenté sur la figure4.11(en bas) à quatres profondeurs : 10m (bleu), 50m (noir), 100m (rouge) et 500m (vert).
Le cycle saisonnier est révélé par les trois indices aux différentes profondeurs sur lesquelles on les a appliqués. Leus valeurs sont environ doublées entre l’hiver et l’été, ce qui démontre une nouvelle fois la forte activité des petites échelles en hiver. A partir du mois de mars (bande jaune), la phase de restratification s’accompage d’une diminution progressive de la valeur des indices. Pendant la phase de convection, la submésoéchelle serait très active alors que pendant la phase de restratification, ce serait plutôt la mésoéchelle qui prendrait progressivement le relai. En effet, il faut souligner que l’évolution de ces indices est fortement corrélée à la stratification de la zone (fig.4.3) et donc au rayon interne de déformation. On sait que la restratification est initiée par des méandres qui se développent autour de la zone de convection et qui mènent au développement de tourbillons de mésoéchelle (Gascard[1978],Madec et al.[1991],Herrmann et al.[2008])
Pendant l’hiver, on remarque une importante réponse des indices aux épisodes d’intenses pertes de chaleur en surface (bandes bleues). La réponse est d’autant plus importante que l’indice est calculé à une profondeur proche de la surface. Elle traduit une brusque augmentation de l’activité de submésoéchelle, principalement localisée dans la couche de mélange, suite à ces évènements. A l’inverse, quand les flux atmosphériques perdent en intensité pendant certaines périodes (bandes vertes), les indices tendent à diminuer également : la submésoéchelle perd en activité.
L’utilisation de ces indices s’avère instructive puisqu’à l’inverse des spectres, ils traduisent re- lativement bien l’impression qu’un observateur peut avoir en observant le champ d’une variable. Même s’ils ne permettent pas de faire clairement la disctinction entre submésoéchelle et mésoé- chelle, ils permettent de présumer de l’importance de la submésoéchelle dans l’approfondisse- ment de la couche de mélange à grande échelle et de la mésoéchelle dans l’exportation des eaux nouvellement formées vers l’extérieur de la zone de convection et dans la restratification de cette zone.
Ces constatations nous renseignent sur les méchanismes à l’origine du développement de la (sub-)mésoéchelle. Sans apports extérieurs, l’énergie contenue dans les petites échelles tend à se dissiper sous l’action de la viscosité. Pour la maintenir, elle doit donc être alimentée. Dans l’océan, cette énergie est fournie par deux mécanismes (Robinson, A.R.[1983] p.381) :
— Un transfert d’énergie contenue dans le flux moyen via la tension de Reynolds u0v0. In-
tégré sur tout le bassin, il peut s’écrire hKi → hK0i. Dans ce cas, on parle d’instabilités barotropes. Ce transfert est intimement lié à la cascade d’énergie de Kolmogorov.
— Un transfert d’énergie contenue dans l’énergie potentielle moyenne P faisant intervenir des vitesses verticales. Intégré sur le bassin, il s’écrit hP i → hK0i ; on parle alors d’instabilités
baroclines.
Dans un contexte hivernal d’approfondissement de la couche de mélange en Méditerranée Nord- Occidentale, les forçages atmosphériques contribuent au stockage d’énergie potentielle dans la couche de surface des océans. Ils déclenchent des processus de submésoéchelle via un transfert hP i → hK0i. Les indices sont tout à fait révélateurs de ce phénomène puisque leurs valeurs aug-
FIGURE4.11 – Evolution des indices de (sub-)mésoéchelle dans le domaine de calcul : (En haut) l’indice de curvilinéarité, (au milieu) l’indice de vorticité et (en bas) l’indice de EKE. Elle est réprésentée sur une période d’un an, du 1 novembre 2010 au 1 novembre 2011, à différentes profondeurs : 10m (bleu), 50m (noir), 100m (rouge) et 500m (vert).
bleues). En effet, ces évènements injectent de l’énergie potentielle dans l’océan. Lorsque le milieu n’a plus (ou moins) d’apport en énergie potentielle (bandes vertes), la submésoéchelle diminue rapidement sous l’effet de la dissipation. Ce résultat est en accord avec les travaux deBoccaletti et al.[2007],Fox-Kemper et al.[2008] etFox-Kemper and Ferrari[2008] qui montrent que l’activité
de submésoéchelle dans la couche de mélange provient principalement d’un transfert d’énergie potentielle hP i. Au début de la phase de restratification, un stock important d’énergie potentielle est disponible. Comme l’a montré Madec et al. [1991] par des simulations numériques, on as- siste alors à une conversion d’énergie potentielle en énergie cinétique horizontale à mésoéchelle. L’étape finale de cette conversion est la formation de certains tourbillons qui advectent de l’eau légère dans la zone de convection (restratification) et d’autres qui advectent de l’eau dense en dehors de la zone de convection (export de nWMDW).
Cette section fait apparaitre plusieurs régimes d’activité des petites échelles en Méditérranée Nord-Occidentale. En hiver, sous l’influence des forçages atmosphériques, la couche de mélange se densifie et mène au phénomène de convection profonde. Cette étape est associée à une diminution de l’échelle contenant le maximum d’énergie cinétique, jusqu’à la submésoéchelle. Elle devient particulièrement importante dans la couche de mélange en réponse aux violents évènements de perte de chaleur en surface. A la fin de l’hiver, la phase de restratification totale de la zone de convection s’accompagne d’une augmentation progressive de l’échelle contenant le maximum d’énergie en passant par la mésoéchelle. L’activité des petites échelles est fortement corrélée aux forçages atmosphériques et à la stratification de la colonne d’eau. Elle est fortement alimentée par un transfert d’énergie potentielle.