Quand la base approch´ee W est moins pr´ecise

Ces diff´erentes techniques de r´esolution peuvent cependant pr´esenter un comportement (historique de convergence) tr`es diff´erent quand le calcul des vecteurs de la base approch´ee W(ε), est r´ealis´e avec de plus grandes valeurs du niveau de filtrage ε.

La figure 3.4 montre, pour les probl`emes tests BCSSTK15 et EDP1, l’impact du changement du niveau de filtrage ε (quand on calcule la base W(ε)) sur la convergence de l’Algorithme 3.1 (Init-CG). Quand le niveau de filtrage ε est ´egal `a 10−8_{, le ph´enom`ene des plateaux se produit encore, mais}

(a) Le Probl`eme test BCSSTK15 0 20 40 60 80 100 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−16

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

(b) Le Probl`eme test EDP1

0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−16

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

Fig. 3.4 – Courbe de Convergence de Init-CG pour diff´erentes valeurs du niveau de filtrage ε.

En effet, les courbes correspondantes pour l’Algorithme 3.1 (Init-CG) (gra- dient conjugu´e avec projection oblique initiale) se d´ecomposent en deux par- ties diff´erentes. La premi`ere partie correspond `a une phase de convergence lin´eaire tr`es semblable `a celle observ´ee dans la figure 3.2 lorsque la base W(ε) est calcul´ee avec une tr`es bonne pr´ecision. Dans la deuxi`eme partie, la vitesse de convergence commence `a ˆetre perturb´ee `a un niveau interm´ediaire de la norme relative du r´esidu, ´etroitement li´ee `a la valeur du niveau de fil- trage ε, et enfin, la courbe de convergence rejoint celle du gradient conjugu´e sur le syst`eme original.

Les raisons `a cela sont que Init-CG fournit, au gradient conjugu´e, un vec- teur r´esidu initial dont les plus grandes composantes propres sont dans le compl´ementaire orthogonal de la base W(ε), et dans l’espace de projection [W(ε)] ses composantes propres sont de l’ordre ε. Une fois que la norme du r´esidu est r´eduite au niveau du filtrage ε, le gradient conjugu´e se re- trouve `a nouveau avec une direction de Krylov dont toutes les composantes propres sont du mˆeme ordre de grandeur, et le comportement num´erique devient alors identique `a celui obtenu dans le cas d’un r´esidu initial non projet´e et “activant” le spectre complet du syst`eme lin´eaire. Pour ˆetre effi- cace, il est clair que nous devrions alors arrˆeter la convergence de Init-CG quand la norme relative du r´esidu est inf´erieure au niveau de filtrage ε, avant d’atteindre le plateau interm´ediaire. En outre, comme nous pouvons l’obser- ver dans la figure 3.6 (a), quand la taille du syst`eme lin´eaire devient tr`es importante, le ph´enom`ene des plateaux peut ´egalement apparˆıtre dans le comportement num´erique de l’algorithme Init-CG , mˆeme avec une base tr`es bien calcul´ee W(10−16). Ceci est dˆu `a la sensibilit´e num´erique du projecteur oblique relativement `a la taille du syst`eme lin´eaire [4].

Les courbes de convergence des algorithmes Def-CG et SLRU, repr´esent´ees dans la figure 3.5 pour diff´erents niveaux de filtrage ε, prouvent que ces deux algorithmes ont exactement le mˆeme comportement num´erique dans tous les cas. Nous observons ´egalement que, si l’exactitude dans le calcul de la base approch´ee W(ε) est fortement d´et´erior´ee (par exemple ε = 10−2), alors la vitesse de la convergence peut changer l´eg`erement. Par opposition `a l’algorithme Init-CG, Def-CG et SLRU montrent cependant un comportement num´erique tr`es stable, semblable `a celui observ´e dans les figures 3.2 et 3.3, mˆeme lorsque le niveau de filtrage ε est dans l’intervalle [10−8, 10−4] (voir la figure3.5). C’est l’avantage d’´etablir `a chaque it´eration du gradient conjugu´e une projection oblique avec la base de W(ε), ce qui permet de maintenir une s´eparation constante entre les composantes propres correspondant aux plus petites valeurs propres et les autres.

Dans la figure 3.6 (b), nous comparons le comportement num´erique de Def-CG et de SLRU quand le niveau de filtrage ε est grand. Nous pouvons remarquer que la convergence de Def-CG est un peu plus rapide que celle de l’algorithme SLRU. Sachant que la convergence de Def-CG et de Proj-CG

(a) Courbe de convergence de SLRU 0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

(b) Courbe de convergence de Def-CG

0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

Fig.3.5 – Courbes de Convergence pour diff´erents niveaux de filtrage ε sur le probl`eme test EDP1.

(a) Courbe de convergence de Init-CG 0 500 1000 1500 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

Classical CG Init−CG , ε = 10−16 Init−CG , ε = 10−8 Init−CG , ε = 10−4 Init−CG , ε = 10−2

(b) Courbes de convergence de SLRU et Def-CG

0 500 1000 1500 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

Classical CG Def−CG , ε = 10−4 SLRU , ε = 10−4 Def−CG , ε = 10−2 SLRU , ε = 10−2

Fig.3.6 – Courbes de Convergence de Init-CG, Def-CG et SLRU, pour diff´e- rentes valeurs du niveau du filtrage ε, sur le probl`eme test EDP2.

restent n´eanmoins tr`es identiques, une explication possible de cette l´eg`ere diff´erence est que le conditionnement du syst`eme projet´e est toujours inf´e- rieur `a celui du syst`eme pr´econditionn´e par la correction spectrale de rang faible [51].

3.3.3 Combinaison de la Projection Oblique avec l’It´eration de Tchebycheff

l’Algorithme 3.5 (Init-Tchebycheff) correspond fondamentalement `a la jux- taposition de l’it´eration de Tchebycheff et d’une projection oblique, qui agissent ind´ependemment sur deux parties s´epar´ees du spectre de A. `A cet ´egard, cette technique peut ˆetre vue comme une m´ethode directe [4], si le sous-espace propre est calcul´e tr`es exactement, ou comme un cycle `a deux grilles, o`u le lisseur est d´efini par quelques ´etapes de Tchebycheff (voir§3.2.5).

Dans l’int´erˆet de la comparaison avec les r´esultats obtenus pour les autres techniques de r´esolution de type Krylov, nous pr´esentons, dans la figure3.7, la norme relative du r´esidu calcul´ee `a chaque it´eration de Tchebycheff, et combin´ee directement avec la projection oblique finale. Naturellement, ce n’est pas de cette fa¸con que l’Algorithme 3.5 (Init-Tchebycheff) est impl´e- ment´e, puisque la projection oblique n’a besoin d’ˆetre appliqu´ee qu’une seule fois, apr`es la terminaison des it´erations de Tchebycheff.

Dans la figure 3.7, nous illustrons l’effet du changement de niveau de filtrage ε sur le comportement et la convergence de Init-Tchebycheff. Quand le niveau du filtrage ε est ´egal `a 10−16, Init-Tchebycheff se comporte comme les autres algorithmes, mais avec une petite diff´erence sur le nombre d’it´erations. C’est simplement dˆu au fait que les taux de convergence dans la m´ethode semi-it´erative de Tchebycheff et dans la m´ethode du gradient conjugu´e ne sont pas les mˆemes en g´en´eral.

Cependant, pour de plus grandes valeurs du niveau du filtrage ε, nous pouvons observer que la courbe de convergence de l’algorithme Init-Tchebycheff est perturb´ee, avec une stagnation de la norme relative du r´esidu tr`es proche du niveau du filtrage ε. Ceci peut s’expliquer par le fait que la base W(ε) a des composantes propres de l’ordre de ε dans l’intervalle [µ, λmax]. Cette

information spectrale est incorpor´ee de mani`ere explicite dans la projection oblique, appliqu´ee `a l’´etape finale, et perturbe les composantes propres dans le r´esidu final `a l’ordre de ce niveau de filtrage. Pour une analyse plus d´e- taill´ee de ce ph´enom`ene, nous nous r´ef´erons `a [4].

Il est ´egalement int´eressant de mentionner que cette combinaison de la projection oblique avec les it´erations de Tchebycheff exige seulement des produits “matrice-vecteur”, ainsi que quelques mises `a jour de vecteur, mais aucun produit scalaire, par opposition aux autres techniques de r´esolution du type Krylov. Cette remarque a ´egalement de l’importance dans le contexte

(a) Le Probl`eme test BCSSTK14 0 20 40 60 80 100 10−20 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−16

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

(b) Le Probl`eme test EDP1

0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations

Norme relative du résidu

ε = 10−16

ε = 10−8

ε = 10−4

ε = 10−2 Classical CG

Fig.3.7 – Courbe de Convergence de Init-Tchebycheff pour diff´erents niveaux de filtrage ε.

du calcul parall`ele, et en particulier dans les environnements `a m´emoire distribu´ee o`u le calcul des produits scalaires exige une attention particuli`ere.