3.2 Techniques de R´esolution de Syst`emes Lin´eaires Exploitant
3.3.4 M´ethode `a deux grilles Alg´ebrique
Une fa¸con d’exploiter l’information spectrale pr´e-calcul´ee est de d´efinir un cycle `a deux grilles en tant que solveur it´eratif stationnaire. Cette ap- proche n’a de sens que lorsque le calcul de l’information spectrale n’est pas trop pr´ecis. Pour illustrer le comportement num´erique de cet arrangement, nous exhibons dans la figure3.8, la courbe de convergence d’un solveur alg´e- brique `a deux grilles en utilisant diff´erents lisseurs. Plus pr´ecis´ement, pour ces exp´eriences num´eriques, nous avons utilis´e trois lisseurs diff´erents : le gradient conjugu´e, l’it´eration de Tchebycheff, et la m´ethode de relaxation de Richardson.
Pour le facteur de relaxation de Richardson, nous prenons αopt = 2/ λmax+ µafin de minimiser le rayon spectral de la matrice pro-
jet´ee (´egal `a max|1 − α λmax|, |1 − α µ| ), en supposant que la correction
sur la grille grossi`ere supprime l’effet des valeurs propres dans l’intervalle [λmin, µ]. Dans la figure3.8, nous avons pris ξ = 5 comme pas de lissage (i.e.
le nombre d’it´erations dans le lisseur). Il apparaˆıt que chacun de ces trois diff´erents lisseurs exhibe un taux de convergence lin´eaire, et que Tchebycheff et le gradient conjugu´e ont les mˆemes propri´et´es de lissage.
Pour ˆetre efficace, nous utilisons un nombre de pas de lissage ξ aussi grand que possible afin de r´eduire le nombre de cycles, et par cons´equent diminuer le nombre de projections obliques, tout en pr´eservant le mˆeme taux de convergence. Dans la figure3.9, nous montrons, pour les probl`emes test BCSSTK14 and EDP1, la courbe de convergence du solveur alg´ebrique `a deux grilles quand le nombre de pas de lissage change. Le gradient conjugu´e est le lisseur consid´er´e pour ces exp´eriences. Nous observons que l’utilisa- tion de grandes valeurs de ξ peut retarder la convergence. Ces situations se produisent quand le lisseur a r´eussi `a att´enuer la plupart des hautes fr´e- quences de l’erreur, et n´ecessite alors plus d’efforts pour r´eduire les basses fr´equences. L’application d’une correction de grille grossi`ere, `a ce moment pr´ecis, est une mani`ere efficace pour acc´el´erer la convergence. Sur la base de cette observation, une heuristique pourrait ˆetre mise en oeuvre pour adapter automatiquement le nombre de pas de lissage.
L’algorithme Init-Tchebycheff peut ´egalement ˆetre vu comme une ´etape d’un cycle `a deux grilles, o`u le lisseur correspond `a l’it´eration de Tche- bycheff. Dans la figure 3.10, nous comparons la courbe de convergence de Init-Tchebycheff, obtenue avec une base W(ε) calcul´ee avec un niveau de filtrage ε ´egal `a 10−16, versus le solveur alg´ebrique `a deux grilles bas´e sur l’it´eration de Tchebycheff avec un nombre de pas de lissage ξ = 5, et une base W(ε) calcul´ee avec un niveau ε de 10−4.
(a) Le probl`eme test BCSSTK14 0 20 40 60 80 100 10−20 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
smoother : CG smoother : Chebyshev smoother : Richardson
(b) Le probl`eme test EDP1
0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
smoother : CG smoother : Chebyshev smoother : Richardson
Fig. 3.8 – Courbe de Convergence du solveur `a deux grilles avec diff´erents lisseurs, pour une base W initialement calcul´ee avec un niveau de filtrage ε = 10−4.
(a) Le Probl`eme test BCSSTK14 0 20 40 60 80 100 10−20 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
Steps of smoother = 5 Steps of smoother = 15 Steps of smoother = 25
(b) Le Probl`eme test EDP1
0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
Steps of smoother = 5 Steps of smoother = 15 Steps of smoother = 25
Fig. 3.9 – Courbe de Convergence du cycle `a deux grilles quand le nombre de pas de lissage du gradient conjugu´e change. Le niveau de filtrage de la base W est ε = 10−4.
(a) Le Probl`eme test BCSSTK14 0 20 40 60 80 100 10−20 10−15 10−10 10−5 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
Init−Chebyshev smoother : Chebyshev
(b) Le Probl`eme test EDP1
0 20 40 60 80 100 10−14 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Nombre d’itérations
Norme relative du résidu
Init−Chebyshev smoother : Chebyshev
Fig. 3.10 – Courbe de Convergence de Init-Tchebycheff avec une base W(10−16) versus le solveur `a deux grilles avec Tchebycheff comme lisseur.
Le pas de lissage est fix´e `a ξ = 5, et la base W(ε) est calcul´ee avec un niveau de filtrage ε ´egal `a 10−4.
Nous avions mentionn´e au§3.3.3que, quand la base W n’´etait pas calcul´ee avec une tr`es grande pr´ecision, la courbe de convergence de Init-Tchebycheff pouvait ˆetre perturb´ee, avec une stagnation de la norme relative du r´esidu `a un niveau proche du niveau de filtrage ε. Le solveur alg´ebrique `a deux grilles, par contre, avec Tchebycheff comme lisseur, montre la mˆeme courbe de convergence que celle obtenue avec Init-Tchebycheff et une base W(ε) o`u ε = 10−16. Ceci illustre l’avantage d’employer un arrangement du type cycle `a deux grilles, notamment quand l’information spectrale n’est pas trop pr´ecise.
Dans le cas de nos essais num´eriques, l’algorithme `a deux grilles alg´e- brique exploitant le gradient conjugu´e comme lisseur, et avec une valeur appropri´ee de ξ (c-`a-d. pas trop grande), exhibe une courbe de convergence tr`es semblable `a celle obtenue avec SLRU quand ε est assez petit (c-`a-d. inf´erieur ou ´egal `a 10−4). Par cons´equent, le cycle `a deux grilles devance
SLRU en termes d’op´erations flottantes, puisqu’il r´ealise moins de projec- tions obliques au total que l’algorithme SLRU. Cette observation n’est pas tout le temps vraie, en particulier quand la base W(ε) est mal approch´ee (c-`a-d. avec ε = 10−2, dans nos exp´eriences). Dans cette situation, la m´e- thode alg´ebrique `a deux grilles ne converge plus, quel que soit le lisseur consid´er´e, parce que la correction sur la grille grossi`ere corrompt syst´emati- quement l’it´er´e calcul´e par le lisseur. Par opposition `a cela, nous rappelons que SLRU, Def-CG et Proj-CG arrivent toujours `a tirer profit de l’espace propre, y compris dans ce cas l`a (voir la figure3.5).
Enfin, il faut noter que le cycle `a deux grilles avec une m´ethode station- naire comme lisseur peut ´egalement ˆetre utilis´e pour d´efinir un pr´econdition- neur pour le gradient conjugu´e, et nous r´ef´erons `a [11] pour plus de d´etails sur cette approche.