Les bouteilles d’une boisson tr`es populaire devraient contenir 300 mL. Comme la machine qui remplit ces bouteilles n’est pas tr`es pr´ecise, il existe des dif-f´erences d’une bouteille `a l’autre. On peut supposer que la distribution du
188 Maˆıtriser l’al´eatoire
contenu d’une bouteille est normale avec ´ecart-type ´egal `a 3 mL. Un ´etudiant qui soup¸conne que les bouteilles sont moins remplies qu’elles le doivent, mesure le contenu de 6 bouteilles et obtient les valeurs
299,4 2 97,7 301,0 2 98,9 300,2297,0.
Est-ce qu’on peut affirmer que le contenu des bouteilles est inf´erieur `a 300 mL?
Un calcul de puissance nous permet de d´eterminer `a partir de quelle quan-tit´e de liquide manquant le test arrive `a d´etecter le mauvais remplissage. Pour cela on suppose un niveau de test α = 5 %.
1. D´eterminer la puissance du test par rapport `a l’alternative µ = 299. 2 . D´eterminer la puissance du test par rapport `a l’alternative µ = 295. 3. Est-ce que la puissance par rapport `a l’alternative µ = 2 90 va ˆetre
su-p´erieure ou inf´erieure `a celle trouv´ee en 2. ? Expliquer les raisons de ce comportement.
8.23
Deux types de pi`eces de monnaie sont produites dans une fabrique : des pi`eces homog`enes et des pi`eces mal ´equilibr´ees, lesquelles montrent la face pile dans 55 % des cas. Supposons que nous poss´edons une pi`ece dont nous ignorons la provenance. Pour pouvoir d´eterminer de quelle pi`ece il s’agit, nous effectuons le test suivant : la pi`ece est lanc´ee 1 000 fois ; si l’on obtient pile 525 fois ou plus, alors on conclut que c’est une pi`ece mal ´equilibr´ee, tandis que si l’on obtient pile moins de 525 fois, alors on conclut que c’est une pi`ece homog`ene.
1. Si la pi`ece est r´eellement homog`ene, quelle est la probabilit´e que l’on aboutisse `a une conclusion fausse?
2 . Si la pi`ece est r´eellement mal ´equilibr´ee, quelle est la probabilit´e que l’on aboutisse `a une conclusion fausse?
8.24
On fait passer un test d’aptitude `a 500 ´etudiants genevois. Les r´esultats ind´ependants de ces 500 ´etudiants donnent une moyenne de x = 461.
1. En supposant que l’´ecart-type de la population est connu et ´egal `a 100, peut-on dire que l’esp´erance des r´esultats de tous les ´etudiants de Gen`eve n’est pas sup´erieure `a 450 ?
2. Est-ce que le test utilis´e au seuil de 5 % est suffisamment puissant pour d´etecter une augmentation de 10 points dans le r´esultat des ´etudiants?
8. Inf´erence 189
8.25
On d´esire tester si la dur´ee de vie moyenne d’un tube ´electronique est ´egale `
a 1 600 heures ou si elle est plutˆot inf´erieure `a cette valeur. Les observations sur un ´echantillon de taille 16 suivent une loi normale avec X = 1 590 heures et ˆσ = s = 30 heures.
1. Donner les hypoth`eses H0 et HA. 2. Quelle statistique de test utilisez-vous? 3. Peut-on rejeter H0 `a un seuil de 1 %?
4. Calculer l’erreur de 2eesp`ece et la puissance du test au seuil de 1 % pour
µ = 1 570.
8.26
Soient X1, . . . , Xnprovenant d’une loi Gamma (θ, α). Donner le test le plus puissant pour tester :
1. H0: θ = θ0contre HA: θ = θ1; 2. H0: θ = θ0contre HA: θ > θ0.
8.27
La dur´ee de vie des ampoules servant `a l’illumination des auditoriums est mod´elis´ee par une loi exponentielleE(λ) avec densit´e
fλ(x) =
λ exp(−λx) x > 0
0 sinon.
Pour optimiser le service d’entretien (coupures budg´etaires obligent), on veut savoir si la dur´ee de vie de ces ampoules est de 30 jours. La service d’entretien proc`ede `a des mesures sur un ´echantillon de taille n = 400 pour lequel il observe ¯
x = 2 7,6. Avec ces donn´ees peut-on infirmer que la dur´ee est de 30 jours? Pour un seuil α = 5 % fix´e, calculer la puissance du test pour les valeurs suivantes de l’alternative : dur´ee de vie de 25, 28 et 35 jours.
8.28
Le point de fusion de 16 ´echantillons d’une marque d’huile v´eg´etale a ´et´e d´etermin´e et on a obtenu x = 94,32. On suppose que la distribution de ce point de fusion suit une loi normale avec esp´erance µ et ´ecart-type σ = 1,2.
1. Tester H0: µ = 95 contre H1: µ < 95 avec un seuil α = 0,01.
2. Si la vraie valeur de µ est 94, quelle est la valeur de la puissance pour le test d´efini en 1.?
190 Maˆıtriser l’al´eatoire
3. Quelle est la valeur de n n´ecessaire pour assurer que l’erreur de 2eesp`ece soit ´egale `a 0,01 pour un niveau α = 0,01 ?
8.29
Une banque d´esire v´erifier l’hypoth`ese que l’omission des frais sur les cartes de cr´edits des clients qui ont un chiffre d’affaire annuel sup´erieur `a 5 200 e am`ene `a une augmentation du chiffre d’affaire annuel moyen. Cette offre d’omis-sion de frais est accord´ee `a un ´echantillon al´eatoire de 200 clients et le chiffre d’affaire obtenu dans l’ann´ee courante est compar´e avec celui de l’ann´ee pr´ec´ e-dente. L’augmentation moyenne du chiffre d’affaire parmi les clients de l’´ echan-tillon est ´egale `a 332e avec une variance estim´ee de l’augmentation moyenne ´
egale `a 1082e2.
1. Peut-on dire, `a un seuil de 1 %, que l’offre de la banque a g´en´er´e une augmentation du chiffre d’affaire?
2. Donner un intervalle de confiance au degr´e 99 % pour l’esp´erance de l’augmentation annuelle µ du chiffre d’affaire.
3. Utiliser l’approximation normale pour d´eterminer la puissance du test effectu´e au point 1. par rapport `a l’alternative que l’esp´erance de l’aug-mentation µ est ´egale `a 150e.
4. Quelle est la taille n de l’´echantillon que la banque doit choisir pour que la puissance du test par rapport `a l’alternative µ = 150 soit ´egale `a 80 %?
8.30
Vingt informaticiens ont install´e chacun soit Linux, soit WinNT. Le temps n´ecessaire (en minutes) `a chacun pour l’installation est r´epertori´e dans le ta-bleau suivant. Linux WinNT 154 145 164 162 198 156 168 152 180 168 172 157 142 155 165 140 172 145 158 160
On suppose que les donn´ees proviennent de la loi normale.
1. Calculer l’intervalle de confiance de la dur´ee moyenne d’installation de chacun des 2logiciels.
8. Inf´erence 191
2. Par un test statistique, d´eterminer au seuil de 5 % si la dur´ee d’installation de Linux est sup´erieure `a celle de WinNT.
3. Supposons maintenant que les variances des temps d’installation sont connues : σL2 = 225 pour Linux et σW2 = 100 pour WinNT.
(a) Que devient la statistique de test utilis´ee au point 2.? (b) Quelle est sa distribution?
(c) Quelle taille d’´echantillon faudrait-il pour garantir une puissance de 80 % afin de d´etecter des diff´erences de dur´ee de 10 minutes?