Propri´et´es de notre syst`eme d’inf´erence

Nous prouvons dans cette section des invariants exprimant certaines propri´et´es satisfaites par des termes ou par des contraintes se produisant dans certains syst`emes de contraintes d´eriv´es `a une certaine ´etape de la normalisation.

Nous commen¸cons par le premier invariant (Invariant 6.4.1.1), selon lequel tout terme quel- conque de notre syst`eme de contraintes contient au plus une seule variable d’indice. Cet invariant sera utilis´e pour la preuve de correction et compl´etude de la R`egle [5.35].

Invariant 6.4.1.1 #V arI(t) ≤ 1 pour t ∈ T .

Preuve. _{Initialement, les contraintes sont de la forme t ∈ F orge(E, K). Selon la propri´et´e d’au-} tonomie de mpair sur P (voir D´efinition 5.6.2.1), on a V arI(t) = ∅. Ainsi, l’Invariant 6.4.1.1 est valide pour les contraintes initiales. Nous montrons que l’application des r`egles de SR conserve cet invariant.

Les R`egles [5.1], [5.4], [5.5], [5.6] et [5.8] ne changent aucune contraintes. L’Invariant 6.4.1.1 reste donc valide.

La R`egle [5.2] change une contrainte en une autre tout en conservant les mˆemes termes des contraintes initiales. Ainsi, l’Invariant 6.4.1.1 est satisfait. La R`egle [5.3] ´elimine tout le bloc. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.7] ajoute une nouvelle contrainte Yj = Z au bloc. Or, cette contrainte satisfait l’invariant.

La R`egle [5.9] transforme une contrainte t ∈ F orge(E, K) soit en une contrainte t ∈ F orgec(E, K) en pr´eservant le mˆeme t, ou en une contrainte de type Sub en utilisant les deux termes t et w ∈ E. Or, par hypoth`ese d’induction, #V arI(t) ≤ 1. En outre, selon la propri´et´e d’autonomie de mpair sur P, on a V arI(w) = ∅, et donc #V arI(w) = 0. Ainsi, l’invariant est satisfait.

La R`egle [5.10] d´ecompose le terme `a composer ht1, . . . , tmi en ses sous-termes ti, i = 1 . . . m. Vu que #V arI(ht1, . . . , tmi) ≤ 1 (par hypoth`ese d’induction), on a #V arI(ti) ≤ 1 ∀i = 1 . . . m. Le mˆeme raisonnement est appliqu´e pour les R`egles [5.11] and [5.12].

Pour la R`egle [5.13], grˆace `a la propri´et´e d’autonomie de mpair, on a V arI(t) = {k}. L’invariant est donc valide.

La R`egle [5.14] ´elimine tout le bloc. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.15] transforme une contrainte de type Sub soit en une autre contrainte Sub, soit en une contrainte d’´egalit´e tout

6.4. Correction et compl´etude 161 en conservant les deux termes utilis´es dans le Sub (t et u). L’invariant est donc valide dans les deux cas.

Pour la R`egle [5.16], la contrainte Sub est transform´ee en une contrainte de type Sub avec le mˆeme terme t et le sous-terme ti de ht1, . . . , tmi. Vu que #V arI(ht1, . . . , tmi) ≤ 1 (par hypoth`ese d’induction), on a #V arI(ti) ≤ 1 ∀i = 1 . . . m.

Un raisonnement similaire est valide pour les R`egles [5.17] et [5.18] (avec l’ajout d’une contrainte de type F orge utilisant un sous-terme du terme initial t).

Pour la R`egle [5.19], grˆace `a la propri´et´e d’autonomie de mpair, on a V arI(u) = {k}. La R`egle [5.20] ´elimine tout le bloc. Ainsi, l’invariant est valide pour ces deux r`egles. Les R`egles [5.21] et [5.22] ´eliminent soit une contrainte (⊤) soit un bloc (⊥). L’invariant reste donc satisfait. La R`egle [5.23] transforme une contrainte d’´egalit´e de deux termes t et t′ en des contraintes d’´egalit´e des sous-termes de t et t′. L’invariant est donc valide.

Pour la R`egle [5.24], selon la propri´et´e d’autonomie de mpair, on a V arI(u) = {k} et V arI(v) = {l}. Ainsi, l’invariant est valide.

La R`egle [5.25] remplace une variable d’indice par une autre dans un bloc. L’invariant reste donc satisfait.

Pour les R`egles [5.26], [5.27], [5.28], [5.29], [5.30] et [5.31], le syst`eme de contraintes r´esultant de l’application de ces r`egles a les mˆemes termes que le syst`eme avant application de ces r`egles. De mˆeme, les R`egles [5.33], [5.34] et [5.35], transforment un syst`eme de contraintes en un autre construit sur les mˆemes termes que le syst`eme initial modulo un remplacement d’indices. Enfin, la R`egle [5.32] ´elimine un bloc. L’invariant est alors satisfait par ces diff´erents r`egles.  La deuxi`eme propri´et´e exprime la conservation d’au moins une contrainte pour chaque va- riable, une fois que cette variable a d´ej`a admis une contrainte. Cette propri´et´e est repr´esent´ee par l’Invariant 6.4.1.2 qui sera utilis´e pour les preuves des corollaires 6.4.1.9 et 6.4.1.10.

Invariant 6.4.1.2 Nous disons qu’une contrainte ctr est une contrainte pour X (ou X admet une contrainte ctr) si ctr = (X ∈ F orgec(E, K)) ou ctr = (X = u).

∀X ∈ X ∪ XI, pour toute r`egle r dans SR ∪ {Rule [5.4]}, si X admet une contrainte dans pre(r), alors elle admet une contrainte dans tout bloc B de post(r).

Preuve. _{Nous montrons que l’application des r`egles de SR ∪ {Rule [5.4]} conservent l’Inva-} riant 6.4.1.2.

La R`egle [5.2] transforme une contrainte pour Y en une autre contrainte pour Y sans ´eliminer les autres contraintes. Ainsi, nous avons toujours des contraintes pour X et Y . La R`egle [5.3] ´elimine tout le bloc. L’invariant reste donc valide. Les R`egles [5.4], [5.5], et [5.8] ne changent pas de contraintes. La R`egle [5.6] transforme une contrainte pour X en une autre contrainte pour X sans ´eliminer d’autres contraintes. Ainsi, nous avons toujours des contraintes pour X et Yj. La R`egle [5.7] transforme une contrainte pour X en une autre contrainte pour X, tout en ajoutant une nouvelle contrainte pour Yj. Nous concluons que les r`egles du premier groupe satisfont l’invariant.

La R`egle [5.9] peut ajouter une contrainte pour une variable mais ne peut pas ´eliminer d’autres. Quant aux autres r`egles du groupe G2, elles ne manipulent pas de contraintes pour des variables. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.15] peut ajouter de contraintes pour une variable mais ne peut pas ´eliminer d’autres. Quant aux autres r`egles du groupe G3, elles ne manipulent pas de contraintes pour des variables. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.23] peut ajouter de contraintes pour une variable mais ne peut pas ´eliminer d’autres. Quant aux autres r`egles du groupe G4, elles ne manipulent pas de contraintes pour des variables. L’invariant reste donc

162 Chapitre 6. D´ecidabilit´e pour les protocoles param´etr´es bien tagu´es `a clefs autonomes valide.

Les R`egles [5.26], [5.27], [5.30] et [5.31] n’´eliminent pas de contraintes pour des variables. La R`egle [5.28] ´elimine une contrainte pour Xi (Xi ∈ F orgec(E′, K)) mais il reste dans le mˆeme bloc une autre contrainte pour Xi : Xi = u. Nous raisonnons d’une mani`ere similaire pour la R`egle [5.29]. La R`egle [5.32] ´elimine le bloc. Nous concluons que les r`egles du groupe G5satisfont l’Invariant 6.4.1.2.

Pour la R`egle [5.34], la contrainte pour Xm : Xm ∈ F orgec(E′, K) serait transform´ee soit en Xm ∈ F orgec(E′, K) soit en Xm = u0δ0. Dans les deux cas, il reste toujours une contrainte pour Xm. Pour la R`egle [5.35], la contrainte pour Xm : Xm = v est soit conserv´ee soit transform´ee en une autre contrainte : Xm = u0δ0. Dans les deux cas, il reste encore une contrainte pour Xm. Nous concluons que les r`egles du groupe G6 satisfont l’Invariant 6.4.1.2. L’invariant est donc

valide par application des r`egles de SR ∪ {Rule [5.4]}. 

La troisi`eme propri´et´e exprime que le niveau des variables `a l’int´erieur du Sub est inclus dans l’ensemble de connaissances consid´er´e dans le Sub. Cette propri´et´e est illustr´ee par l’Inva- riant 6.4.1.3 qui sera utilis´e pour la preuve de la Proposition 6.4.2.25.

Invariant 6.4.1.3 Pour une contrainte (t ∈ Sub(w, E, E, K)), nous avons ∀X ≤ w o`u X ∈ X ∪ XI, L(X) ⊂ E.

Preuve. <sub>Initialement, les contraintes de type Sub sont obtenues `a partir des contraintes de</sub> type F orge par la R`egle [5.9]. Dans ce cas, nous obtenons la contrainte t ∈ Sub(w, E, E, K) o`u w ∈ E. Ainsi, ∀X ≤ w, selon la notion d’ex´ecution correcte, et par d´efinition de L(X), nous avons L(X) ⊂ E. Nous nous focalisons uniquement sur les r`egles manipulant des contraintes de type Sub. La R`egle [5.15] transforme une contrainte t ∈ Sub(u, E, E, K) en la contrainte t ∈ Subd(u, E, E, K) sans modifier ni u ni E. L’Invariant 6.4.1.3 reste donc valide. Pour la R`egle [5.16], vu que l’invariant est satisfait pour ht1, . . . , tmi et E, alors il le reste pour un sous- terme de ht1, . . . , tmi : ti et E. Le mˆeme raisonnement est valide pour les R`egles [5.17], [5.18] et [5.19]. Les R`egles [5.20] et [5.32] ´eliminent tout le bloc. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.31] produit une contrainte t ∈ Sub(w, E′, E, K) o`u w est donn´ee par la contrainte X = w qui appartient `a E. Cependant, par construction de E, L(w) ⊂ E′. Enfin, le raisonnement est

similaire pour la R`egle [5.33]. 

Pour toute la suite, les propri´et´es et les lemmes introduits sont limit´es `a la premi`ere phase du calcul d’un certain CBSi. Celle-ci est donc effectu´ee avant la phase d’´etiquetage des contraintes maˆıtres du niveau Ei−1.

La premi`ere propri´et´e concernant cette premi`ere phase du calcul de CBSi se focalise sur la comparaison des niveaux des variables existants dans les deux termes d’une certaine contrainte Sub. Elle exprime que le niveau d’une variable `a l’int´erieur du Sub est inclus dans le niveau d’une variable `a l’ext´erieur du Sub. Cette propri´et´e est ´enonc´ee par l’Invariant 6.4.1.4. Cet invariant sera utilis´e pour la preuve de la Proposition 6.4.1.7.

Invariant 6.4.1.4 ∀ctr du calcul d’un certain CBSi au cours de la phase 1, ∀X ∈ X ∪ XI t.q. L(X) = Ei−1, si ctr = t ∈ Sub(w, E, E, K) t.q. X ≤ t et ∀Y ≤ w alors L(Y ) ⊂ L(X).

Preuve. _{Initialement, les contraintes sont de type F orge, ce qui valide l’invariant. Nous mon-} trons que l’Invariant 6.4.1.4 est valide apr`es chaque application des r`egles d’inf´erence. Le premier groupe ne manipule pas de contraintes de type Sub. L’invariant est donc valide. La R`egle [5.9] g´en`ere une contrainte t ∈ Sub(w, E, E, K) o`u w ∈ E. Cependant, selon la notion d’ex´ecution

6.4. Correction et compl´etude 163 correcte, et par d´efinition de L(Y ), E ⊂ Ei et L(Y ) ⊆ E. Ainsi, L(Y ) ⊂ L(X), ce qui satisfait l’invariant. Les autres r`egles du groupe G2 ne manipulent pas de contraintes de type Sub. Les r`egles du groupe G2 satisfont donc l’invariant. La R`egle [5.15] transforme une contrainte de type Sub en une autre de type Subd tout en conservant les mˆemes termes t et u, ce qui satisfait l’invariant. La R`egle [5.20] ´elimine tout le bloc. Les autres r`egles du groupe G3 d´ecomposent le terme `a l’int´erieur de la contrainte Sub. L’invariant reste donc valide. Les r`egles du groupe G4 ne manipulent pas de contraintes de type Sub. L’invariant reste donc valide. La R`egle [5.31] g´en`ere une contrainte t ∈ Subd(w, E, E, K). Cependant, w provient d’une contrainte sous-maˆıtre (X = w) ∈ E. Par construction de l’environnement, L(Y ) ⊂ L(X), ce qui satisfait l’invariant. Les autres r`egles du groupe G5 ne manipulent pas de contraintes de type Sub. Ainsi, les r`egles du groupe G5 satisfont l’invariant. La R`egle [5.33] g´en`ere une contrainte t ∈ Subd(uδ, E′, E, K). Cependant, uδ provient d’une contrainte maˆıtre Xi= u ∈ E. En outre, par construction de E, L(Y ) ⊂ L(X), ce qui satisfait l’invariant. Les autres r`egles du groupe G6 ne manipulent pas de contraintes de type Sub. Ainsi, les r`egles du groupe G6 satisfont l’invariant. Nous concluons que l’Invariant 6.4.1.4 est valide apr`es application de nos r`egles d’inf´erence.  Pour exprimer la deuxi`eme propri´et´e concernant toujours cette premi`ere phase du calcul de CBSi, nous introduisons la D´efinition 6.4.1.5 qui d´esigne les diff´erentes formes de contraintes que l’on puisse avoir pour une variable X dans notre syst`eme de contraintes.

D´efinition 6.4.1.5 Une contrainte ctr′ est dite de type (1) ou (1′) ou (2) ou (2′) ou encore (3) pour une variable X si

ctr′ = (t ∈ F orge(E, K)) o`u X ≤ t, (1) ou ctr′ = (t ∈ F orgec(E, K)) o`u X ≤ t, (1′) ou ctr′ = (t ∈ Sub(u, E, E, K)) o`u X ≤ t (2) ou ctr′ = (t ∈ Subd(u, E, E, K)) o‘u X ≤ t (2′)

ou ctr′ = (u = v) o`u X ≤ u ou X ≤ v (3)

La propri´et´e suivante assure que, si une variable de niveau courant admet une contrainte d’un des types de la D´efinition 6.4.1.5, alors nous conserverons, dans tous les blocs r´esultant de toute r`egle d’inf´erence utilis´ee sur celle-ci, une contrainte de l’un de ces mˆemes types.

Invariant 6.4.1.6 Pour toute r`egle r dans SR `a l’exception des R`egles [5.26] et [5.27] (i.e. R`egles de la phase 1), ∀X ∈ X ∪ XI t.q. L(X) = Ei−1, si pre(r) contient une contrainte de type (1), (1′), (2), (2′) ou (3) pour X alors ∀B ∈ post(r), B contient une contrainte de type (1), (1′), (2), (2′) ou (3) pour X.

Preuve. <sub>Les R`egles [5.3], [5.14], [5.20],[5.22] et [5.32] ´eliminent tout le bloc, ce qui valide l’inva-</sub> riant. Les R`egles [5.1], [5.2], [5.4], [5.5] et [5.8] ne changent pas de contraintes. L’invariant reste donc valide.

Pour les R`egles [5.6] et [5.7], les contraintes pour d’autres variables que Yj ne changent pas. Pour la variable Yj, il existe une contrainte de type (3). Ainsi, l’invariant est valide.

Pour la R`egle [5.9], nous obtenons soit une contrainte de type (1′), soit une contrainte de type (2) pour la variable X. Pour les R`egles [5.10], [5.11], [5.12] et [5.13], le terme t est d´ecompos´e. Cette r`egle g´en`ere une contrainte de type (1) pour X. Nous concluons que les r`egles du deuxi`eme groupe satisfont l’invariant.

La R`egle [5.15] g´en`ere soit une contrainte de type (3), soit une contrainte de type (2′) pour X. Pour les R`egles [5.16], [5.17], [5.18] et [5.19], le terme t est d´ecompos´e. Ils g´en`erent de contraintes

164 Chapitre 6. D´ecidabilit´e pour les protocoles param´etr´es bien tagu´es `a clefs autonomes de type (2) pour X. Nous concluons que les r`egles du troisi`eme groupe satisfont l’invariant. Pour les R`egles [5.21] et [5.25], pre(r) ne contiennent pas de contraintes de type (1), (1′),(2),(2′) ou (3) pour X. Pour les R`egles [5.23] et [5.24], le terme t est d´ecompos´e. Ils g´en`erent de contraintes de type (3) pour X. Nous concluons que les r`egles du quatri`eme groupe satisfont l’invariant.

La R`egle [5.28] transforme la contrainte (Xi∈ F orgec(E, K)) en une autre : (u ∈ F orgec(E, K)). N´eanmoins, il existe encore une contrainte de type (3) pour la variable Xi qui est (Xi = u). Le mˆeme raisonnement est valide pour la R`egle [5.29]. Pour la r`egle [5.30], il existe une contrainte de type (1′) pour A. Nous concluons que les r`egles du cinqui`eme groupe satisfont l’invariant. Les R`egles [5.33] et [5.34] conservent la mˆeme contrainte donn´ee par pre(r). Le R`egle [5.35] utilise les mˆemes termes pour les contraintes d’´egalit´e. Elle transforme une contrainte de type (3) pour les variables de v ou Xm en d’autres contraintes de mˆeme type. Nous concluons que les

r`egles du sixi`eme groupe satisfont l’invariant. 

Nous pr´esentons maintenant la propri´et´e qui caract´erise la premi`ere phase de la normali- sation. Elle exprime l’existence d’une contrainte de type F orge ou de type ´egalit´e pour toute variable de notre syst`eme d’inf´erence `a la fin de la premi`ere phase du calcul d’un certain CBSi. Cette propri´et´e est ´enonc´ee par la Proposition 6.4.1.7.

Proposition 6.4.1.7 `A la fin de la phase 1 dans le calcul de CBSi, pour tout X ∈ X ∪ XI, pour tout bloc B, il existe une contrainte ctr ∈ B telle que ctr = (X ∈ F orgec(E, K)) ou ctr = (X = u).

Preuve. _{Nous introduisons tout d’abord la pr´etention suivante :}

Pr´etention 6.4.1.8 ∀ctr dans le calcul d’un certain CBSi `a la phase 1, ∀X ∈ X ∪ XI t.q. L(X) = Ei−1, si ctr = (Y = u) et X ≤ u alors L(Y ) < L(X).

Preuve. _{Nous montrons par contradiction que si ctr = (Y = u) et X ≤ u alors L(Y ) < L(X).} Soit ctr = (Y = u) tel que L(Y ) = L(X). Consid´erons une d´erivation d = d′_j.Lj.dj telle que (Y = u) ∈ post(Lj). Ainsi, ∃l < j tel que (u′ = v′) ∈ post(Ll) o`u Y ≤ v′ et u ≤ u′ et pre(Ll) 6= (u” = v”) o`u u′ < u” et v′ < v”. La contrainte (u′ = v′) est obtenue soit en transformant une contrainte de type Sub en une contrainte d’´egalit´e par la R`egle [5.15], soit par entrelacement (R`egle [5.35]). Notons que les R`egles [5.33] et [5.34] g´en`erent des contraintes d’´egalit´e mais qui ne suivent pas la forme de contraintes d´efinies dans la Pr´etention 6.4.1.8. En effet, ces contraintes g´en´er´ees ne peuvent pas contenir X vu que ces contraintes appartiennent `

a E et L(X) = Ei−1.

1. Cas o`u pre(Ll) = (u′∈ Sub(v′, E, E, K)). Vu que X < u′_{, L(X) = E}

i−1 et qu’on calcule CBSi, selon l’Invariant 6.4.1.4, L(Y ) ⊂ L(X), ce qui contredit l’hypoth`ese : L(Y ) = L(X). Le mˆeme raisonnement est valide si pre(Ll) = (v′ ∈ Sub(u′, E, E, K)).

2. Cas o`u L<sub>l</sub> = R [5.35], alors pre(L<sub>l</sub>) = (Xm = u′) et comme contrainte maˆıtre, nous avons (Xi = v′). Vu que nous sommes dans la premi`ere phase, i.e. avant ´etiquetage des labels maˆıtres et sous-maˆıtres pour les variables de niveau Ei−1, alors L(v′) ⊂ Ei−1. Vu que L(X) = Ei−1 et Y < v′ alors L(Y ) ⊂ L(X), ce qui contredit l’hypoth`ese de L(Y ) = L(X).  Notons que, `a la fin de la premi`ere phase du calcul de CBSi, nous avons uniquement des contraintes r´esolues (Hypoth`ese H1). Nous montrons par contradiction qu’il existe une contrainte ctr pour X dans chaque bloc du syst`eme de contraintes S. Soit B un bloc de S tel que∄ctr ∈ B

6.4. Correction et compl´etude 165 pour X (Hypoth`ese H2). Selon l’Invariant 6.4.1.6, ∃ctr′ ∈ B tel que ctr′ est de type (1), (1′), (2), (2′) ou (3) pour X. Nous distinguons cinq cas. Dans le premier cas, ctr′ = (t ∈ F orge(E, K)) o`u X < t, sinon (quand t ∈ X ∪ XI) ctr = ctr′, ce qui contredit l’hypoth`ese H1. Dans ce cas, la R`egle [5.9] peut ˆetre appliqu´ee, ce qui contredit l’hypoth`ese H1.

Dans le deuxi`eme cas, ctr′ = (t ∈ F orgec(E, K)) o`u X < t. Les R`egles [5.10], [5.11], [5.12] et [5.13] peuvent ˆetre alors appliqu´ees, ce qui contredit l’hypoth`ese H1.

Dans le troisi`eme cas, ctr′ = (t ∈ Sub(u, E, E, K)) o`u X ≤ t. La R`egle [5.15] peut alors ˆetre appliqu´ee, ce qui contredit l’hypoth`ese H1.

Dans le quatri`eme cas, ctr′ = (t ∈ Subd(u, E, E, K)) o`u X ≤ t. Nous distinguons deux cas. Dans le premier cas, u /∈ X ∪ XI. Les R`egles [5.16], [5.17], [5.18], [5.19] et [5.20] peuvent alors ˆetre appliqu´ees, ce qui contredit l’hypoth`ese H1. Dans le deuxi`eme cas, u = Y ∈ X ∪ XI. Or, selon l’Invariant 6.4.1.4, L(Y ) ⊂ L(X). Ainsi, ∃ctr3 ∈ E tel que ctr3 = (Y ∈ F orge(E3, K′)) ou ctr3 = (Y = u3) (par construction de E). Les R`egles [5.31], [5.32] et [5.33] peuvent alors ˆetre appliqu´ees, ce qui contredit l’hypoth`ese H1.

Dans le cinqui`eme cas, ctr′ <sub>= (u = v) o`u X ≤ v ou X ≤ u. Nous distinguons deux cas. Dans le</sub> premier cas, u /∈ X ∪ XI. Les R`egles [5.22], [5.23] et [5.24] peuvent alors ˆetre appliqu´ees, ce qui contredit l’hypoth`ese H1. Dans le deuxi`eme cas, u ∈ X ∪ XI. Si u = X alors ctr′ = ctr, ce qui contredit l’hypoth`ese H2. Si u = Y et X ≤ v alors, selon la Pr´etention 6.4.1.8, L(Y ) ⊂ L(X). Ainsi, ∃ctr” ∈ E pour Y et donc les R`egles [5.27] et [5.35] peuvent ˆetre appliqu´ees, ce qui

contredit l’hypoth`ese H1. 

Nous ´etendons le r´esultat ´enonc´e par la Proposition 6.4.1.7 pour exprimer en Corollaire 6.4.1.9 l’existence d’une contrainte maˆıtre unique pour chaque variable et ceci `a la fin de toute phase de la normalisation.

Corollaire 6.4.1.9 `A la fin de toute phase, pour tout bloc B, ∀Xi ∈ XI, il existe une unique contrainte maˆıtre (ctr)m∈ B telle que ctr = (Xi ∈ F orgec(E, K)) ou ctr = (Xi = u).

Preuve. <sub>Pour la premi`ere phase, c’est une cons´equence imm´ediate de la Proposition 6.4.1.7.</sub> L’unicit´e de la contrainte maˆıtre est garantie par la condition B∩M(−→X ) = ∅ de la R`egle [5.4]. Au d´ebut de la deuxi`eme phase, pour un bloc B, ∀Xi∈ XI, il existe une seule contrainte (ctr)m ∈ B telle que ctr = (Xi ∈ F orgec(E, K)) ou ctr = (Xi= u) vu que l’Invariant 6.4.1.9 est pr´eserv´e par la premi`ere phase.

Selon l’Invariant 6.4.1.2, notre syst`eme de r`egles conserve des contraintes pour Xi(des contraintes de type F orge ou d’´egalit´e pour Xi) qui sont des contraintes maˆıtres candidates pour Xi. Nos r`egles n’´eliminent jamais des contraintes maˆıtres pour les variables. Elles peuvent seulement changer des contraintes maˆıtres pour les variables par introduction de nouvelles contraintes can- didates (de type ´egalit´e). Ceci est assur´e par la R`egle [5.5]. Cette r`egle proc`ede `a l’´etiquetage d’une nouvelle contrainte maˆıtre pour −→X (Xj = u) tout en ´eliminant le label de l’ancienne contrainte maˆıtre. Ainsi, il ne reste qu’une seule contrainte maˆıtre pour −→X .  Finalement, nous ´etendons le r´esultat donn´e par le Corollaire 6.4.1.9 pour exprimer l’exis- tance d’une contrainte de type F orge ou ´egalit´e pour toute variable non indic´ee de notre syst`eme de contraintes, et ceci `a la fin de chaque phase. Cette propri´et´e est ´enonc´ee par le Corollaire 6.4.1.10.

Corollaire 6.4.1.10 `A la fin de toute phase de la normalisation, pour tout bloc B, ∀X ∈ X , il existe une contrainte ctr ∈ B telle que ctr = (X ∈ F orgec(E, K)) ou ctr = (X = u).

166 Chapitre 6. D´ecidabilit´e pour les protocoles param´etr´es bien tagu´es `a clefs autonomes